ANALIZA II 21 lutego 2014
Semestr letni
Podstawienie Eulera
Cwiczenie 1. Podstawienie Eulera s lu˙z¸ ´ a do znajdowania funkcji pierwotnych do funkcji postaci f (x) = R(x, √
ax
2+ bx + c), gdzie R jest wymiern¸ a funkcj¸ a dw´ och zmiennych.
Chodzi o to, ˙zeby funkcj¸e zawieraj¸ ac¸ a pierwiastek sprowadzi´ c do funkcji wymiernej.
Je´sli oznaczymy y := √
ax
2+ bx + c sprowadza si¸e to do sparametryzowania fragmentu krzywej
x 7→ (x, √
ax
2+ bx + c) ∈ R
2dla y > 0 parametrem t w taki spos´ ob, aby x(t) i y(t) by ly wymierne.
1. Pierwsze podstawienie Eulera dzia la gdy a > 0, podstawiamy y = √
ax + t.
Wyznaczamy x(t), y(t) i dx = x
0(t)dt;
2. Drugie podstawienie Eulera dzia la gdy c > 0, podstawiamy y = tx + √ c;
3. Trzecie podstawienie Eulera dzia la gdy latwo jest wybra´c punkt (x
0, y
0) na krzywej, tzn y
0= pax
20+ bx
0+ c, podstawiamy y − y
0= t(x − x
0). Prowadz¸ ac rachunki warto zapisa´ c y
2w pot¸egach x − x
0zamiast x.
Zadanie polega na obliczeniu trzema sposobami ca lki nieoznaczonej
Z dx
x + √
x
2− x + 1 oraz jej wersji oznaczonej Z
10
