II.3 Rozszczepienie subtelne.

II.3 Rozszczepienie subtelne.

Poprawka relatywistyczna

Sommerfelda

II.3.1 Mechanizmy fizyczne odpowiedzialne za rozszczepienie subtelne

Istnieją dwie przyczyny fizyczne rozszczepienia subtelnego:

•Efekt relatywistyczny zależny od zmiennej prędkości elektronów na orbitach eliptycznych dookoła jąder.

•Oddziaływanie momentów magnetycznych w atomie tzw. sprzężenie spin-orbita. To zagadnienie będzie

omówione w cz. II.4.

Oba mechanizmy uzyskały wspólny i spójny opis za

pomocą relatywistycznego równania Diraca.

II.3.2 Poprawka relatywistyczna- omówienie jakościowe

Sommerfeld (1916) doszedł do wniosku, że powinno się dopuścić orbity eliptyczne, podobnie jak w problemie Keplera.

Na kolistych orbitach Bohra prędkość elektronów jest stała. Na orbitach eliptycznych prędkość zmienia się w zależności od

odległości od jądra. Prędkość elektronów w atomie wodoru jest

<1%c ale relatywistyczny wzór na pęd i energię powoduje niewielkie zmiany energii orbit o różnych małych półosiach (których długość zależy od orbitalnego momentu pędu L).

Sommerfeld policzył wielkość tych zmian energii w zależności od orbitalnej liczby kwantowej l. Pokazał także, że wartości

orbitalnej liczby kwantowej zależą od n- głównej liczby kwantowej w modelu Bohra: l = 0,...n-1, zaś poziom Bohra

opisywany przez n rozszczepia się na n podpoziomów o różnych l.

Mówimy, że efekty relatywistyczne znoszą degenerację energii

poziomów ze względu na orbitalną liczbę kwantową l.

II.3.2 Poprawka relatywistyczna omówienie jakościowe

Podstawową konsekwencją uzupełnienia modelu Bohra jest cd.

pojawienie się zależności energii poziomów nie tylko od głównej liczby kwantowej n ale także od orbitalnej liczby kwantowej l (poprawki relatywistyczne) i/lub liczby kwantowej j związanej z całkowitym momentem pędu (poprawki spin-orbita).

n=2 n=3

p: l =1 s: l=0 d: l=2

p: l=1 BOHR

SOMMERFELD E

H _α

II.3.2 Poprawka relatywistyczna omówienie jakościowe cd.

Wzór Sommerfelda na energie poziomów atomów wodoropodobnych uwzględniający pierwszą

poprawkę relatywistyczną (rzędu (v/c) ² ≈ α ² ):

ł

2

gdzie sta a struktury subtelnej dana jest wzorem:

= e

n,

E R hc n

n n

v( sza orbita Bo Z

hra) Z

c c

α

α πε

•

Ï Ê ˆ ¸

= - Ì Ó + Ë - ¯ ˝ ˛

ª ª -

+

2 2

2 4

4

0

1

3 4 1 1

4 137

II.3.3 Dygresja: symbole spektroskopowe Poziomy (termy, stany) w atomach oznaczamy symbolami spektroskopowymi np..:

2 ² S _1/2

kwantowa n.

Tu n=2.

Główna liczba Multipletowość 2s+1;

Tu s=1/2.

J = + L S

Wartość orbitalnej liczby kwantowej l . Tradycyjnie

oznaczana literami: S (l=0), P (l=1), D (l=2), F (l=3) itd.

Tu l=0. Wartość liczby całkowitego

momentu pędu j=1/2

Dygresja: symbole spektroskopowe cd.

Komentarze:

• Oznaczenia l:

– małe litery – stany jednoelektronowe np. w atomie wodoru 1s, – duże litery – stany wieloelektronowe, wszystkie liczby

dotyczą sum wektorowych spinów, orbitalnych momentów pędu i całkowitych momentów pędu stanu

wieloelektronowego.

•Pochodzenie oznaczeń literowych dla l:

Nazwy serii widmowych w widmie sodu:

P= Principal: przejścia z n=3, 4,..., l=1 na n=3, l=0,

S=Sharp: przejścia z n=4, 5,... l=0 na n=3, 4,... l=1,

D=Diffuse: przejścia z n=3, 4,... l=2 na n=3,4...l=1,

F=Fundamental: przejścia z n>3, l=3 na n=3, l=2

Dygresja: symbole spektroskopowe cd.

S=shar p

P=princ ipal

D=diffu se F=fundamen

tal

Diagram Grotariana dla przejść elektronów

walencyjnych sodu Na

II.3.3 Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda

ó

ł ół

ł ź

ś

r

Relatyw istyczny w z r na pęd:

p=m v

Sk adow e radialna i transw ersalna pędu (w e w sp rzędnych biegunow ych w p aszczy nie ruchu):

p p za w

m r

m r L const

γ

γ γ φ

= =

= =

ó

ł

ł

2

2

2

z r na czynnik Lorentza:

= 1 1- 1

c

Ruch odbyw a się w polu si y kulom bow skiej o potencjale V=- e Energia ca kow ita: E= m c e

(r r )

( ) p

r γ

φ

γ

πε +

- =

-

2 2 2

4

1 (

^{c + m c}

^{- mc}

) ^{- e}

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

ą

ąć

Ruch cz stki relatywistycznej odbywa się po krzywej rozetkowej danej wzorem:

r(

parametr g 1 sprawia, że elipsa się nie zamyka, tworz roz ) p

cos(g )

φ = ε φ

- π

1

etę.

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

ł ł ł ó

ł

ó ść

1

Sommerfeld za oży spe nienie t.zw. warunk w kwantowania osobno dla radialnej i transwersalnej sk adowej pędu:

J

Przedostatnia r wno wynika z tego, że p

r r

p dr mr dr

J p d mr d p

n h

φ φ

kh

γ

φ φ φ π

= = =

= = = =

Ú Ú

Ú Ú

2

2

ó ść jest zachowane. Ostatnia r wno jest warunkiem kwantowania.

kh

φ

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

ł ł ą

ł ą

ą

1

r r

2

Obliczymy ca kę J przekszta caj c relatyw istyczne w yrażenia na sk adow e pędu oraz korzystaj c z zasady zachow ania energii:

p gdzie

St d r

r r

r

r

r

p c p c

m r m c

E p c

p c mc

r

p c

p p r

φ

φ φ

γ γβ β

= = = =

+ +

= + +

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

( )

Analogicznie

r

r

m c

p c r

p p m c

r

φ φ

φ =

+ +

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

( )

ą

ł ł ł

r 1 1

Korzystaj c z prawa zachowania energii i zachowania momentu pędu obliczymy p podstawimy pod ca kę J i skorzystamy z regu y ca kowania J

oraz

r

r

, n h.

p e p kh

E c p mc mc

r r r r

φ φ

πε π

=

Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ

= + Ë ¯ + - - Ë ¯ = Ë ¯

2 2 2 2

2 2 2 2

4

2

( )

ą

r

daj nam

p E e E me e

c mE r c r

k h

πε πε πε π

Ê ˆ

Ê ˆ

Ê ˆ

= + + Á + + Á - Ê ˆ ˜

Á ˜

Ë ¯

Á ˜ ˜

Ë ¯ Ë ¯ Á Ë ˜ ¯

2 2 2 4

2 2 2 2

0

2

0 0

2 2

2 1

2 4 4 4 4

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

ł ł

ł ś

Ca kow anie oznacza ca kowanie od minimalnej do maksymalnej odleg o ci od jadra: od r do r

r r

r max

r min

J p dr n h

J Ar Br C

r

Ar B

B Br C

Ar Br C arc sin C arc sin

A B AC r B AC

dr

= =

= + + =

Ê - - ˆ Ê + ˆ

Á ˜

= + + + - Ë Á Á - ˜ ˜ ¯ + ◊ Ë Á - ¯ ˜

Ú Ú

Ú

1

2 1

2

2 2

1

2

( )

ą ś

ax

1

W obec tego oba arcusy daj po 2 za

w yrażenie pod pierw iastkiem zeruje się dla r_max i r_min co daje nam ostatecznie:

J

o

.

me e

B c h e

C h

A c

m

k E

E E

n π

πε πε

π π

π πε

Ê + ˆ

Á ˜

Ê ˆ Á ˜

= Á Ë - + ˜ ¯ = Á Á - - - - ˜ ˜ =

2 2

2

2 2 4

0 0

2 2

2

4 4

2 2

4 4

2

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

( )

( )

( )

ą

ź łą

1

r

J

Poszukujem y rozw i zania E=E n

W prow ad m y sta

r o

r

m e e

c h e

c h

m c

, k .

m e E

m c kh e

J n

k h c

k n

E E E

m c E

m c

πε πε

π π πε

πε π

π π

π πε

Ê + ˆ

Á ˜

Á ˜

= - - =

Á - - ˜

Á ˜

Ë ¯

Ê Ê + ˆ ˆ

Á Ë ¯ ˜

Á ˜

= Á Ë Á Á - È Î Í Ê Ë + ˆ ¯ - ˘ ˙ ˚ - - ˜ ˜ ˜ ¯ =

2 2

2 2 4

0 0

2 2 2

2

2 2 4

0

1 2 2 2 2

2 2 0

2

2 2

4 4

2 4 4

2

4 1 4

2 1 2

2 4

1 1

ą ą

2

struktury subtelnej

oraz zm ienn

e

pom ocnicz Do

=

stajem y E .

m c

π

ξ

ε

= +

0

1

4

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

( )

( )

( ) ( )

ł ą

2

r

P rzekszta caj c dostajem y

1-

O ddtw arzam y w ięc w ynik B ohra z n=n

oraz dostajem y popra

r

r

r

r r

Z

n k

E m

n k

n n

c

n k

n

n k n k k

k

E m c Z

ξ α

ξ α

ξ α

α

α α

α α

= + -

Ê ˆ

= Ë + ¯ = ª

+ + -

Ê ˆ

ª - + - + Ë + - ¯ +

+

È Ê ˆ ˘

= - Í Î + Ë - ¯ + ˙ ˚

2 2

2 2

2 2 2

2 4

2 4

2

2 2

2

2 2

2

1 1 1

1

1 3

1 1

2 2 4

1 3

2 1 4

…

…

w ki w yższego rzędu w α

Wyprowadzenie wzoru Sommerfelda cd.

Wprowadzając główną liczbę kwantową n=n _r +k

oraz orbitalną liczbę kwantową

Dostajemy ostatecznie wzór Bohra- Sommerfelda

= + 1 k

( ) ^mc

E n,

R hc n n

Z

n Z

n n

α α n

α

•

È Ê ˆ ˘

- Í Î + Ë - ¯ + ˙ ˚ =

È Ê ˆ ˘

= - Í + Ë - ¯ + ˙

+

Î + ˚

2 2 2

2

2 2

2

2 2

4

1 3

2 1 4

1 3

4

1 1

…

…

II.3.4 Struktura subtelna wodoru dla kilku pierwszych n :

• n=1, l = 0

• n=2, l = 0,1

gdzie

E

= - R h c Ï Ì + α ¸ ˝

Ó ˛

2

1 0

1

4

,

,

Rhc Rhc

E

Rhc Rhc

E

α α

α α

Ï Ê ˆ ¸ Ï ¸

= - Ì Ó + Ë - ¯ ˝ ˛ = - Ì Ó + ˝ ˛

Ï Ê ˆ ¸ Ï ¸

= - Ì Ó + Ë - ¯ ˝ ˛ = - Ì Ó + ˝ ˛

2 2

2 2

2 0

2 2

2 2

2 1

2 3 5

1 1

2 2 1 4 4 16

1 1 3 1

2 2 4 4 16

c m

a R α ~ .

=

ª 0 3 6

Struktura subtelna wodoru dla kilku pierwszych n cd.

n=3, l =0,1,2:

gdzie

,

,

,

Rhc Rhc

E /

Rhc Rhc

E /

Rhc Rhc

E /

α α

α α

α α

Ï Ê ˆ ¸ Ï ¸

= - Ì Ó + Ë - ¯ ˝ ˛ = - Ì Ó + ˝ ˛

Ï Ê ˆ ¸ Ï ¸

= - Ì Ó + Ë - ¯ ˝ ˛ = - Ì Ó + ˝ ˛

Ï Ê ˆ ¸ Ï ¸

= - Ì Ó + Ë - ¯ ˝ ˛ = - Ì Ó + ˝ ˛

2 2

2 2

3 0

2 2

2 2

3 1

2 2

2 2

3 2

3 9

1 3 4 1

3 3 1 9 9 4

3 3

1 3 4 1

3 3 2 9 9 4

3 1

1 3 4 1

3 3 3 9 9 4

cm

a R α ~ .

=

ª

3

0 01

36

Struktura subtelna wodoru dla kilku pierwszych n cd.

Linia H _α jest więc dubletem dwóch linii odległych o a ₂ ~0.36 cm ^-1 (przejścia do stanów 2s i 2p). Każda z tych linii powinna się składać z trypletu linii

rozszczepionych na poziomie n=3 (stany 3s, 3p, 3d).

Rozszczepienie poziomów o n=3 wynosi a ₃ /9 ~ 0.001 cm ^-1 i jest bardzo małe. Naprawdę widać 3 silne i 2 słabe linie.

Obowiązują bowiem dodatkowe reguły tzw. reguły wyboru, które wymagają, żeby dla silnych linii:

ń brak ogranicze n

∆

∆

= ± -

1

Struktura subtelna wodoru dla kilku pierwszych n cd.

n=2

n=3 Struktura linii H _α

2s 2p 3s 3p 3d

Bohr

Sommerfeld

E