• Ruch po okręgu. Wektor prędkości  kątowej

II.4 Przykłady opisów ruchu

• Ruch gdy prędkość i/lub przyspieszenie  jest znaną funkcją czasu:

–Ruch prostoliniowy

–Ruch ze stałym przyspieszeniem

• Ruch po okręgu. Wektor prędkości  kątowej

•Ruch drgający

czasu

Prędkość jest znaną funkcją czasu:

( )

( ) ( )

0

t 0

t

v v t

r t r v t ' dt '

=

− = ∫

G G

G G G

Przyspieszenie jest znaną funkcją czasu:

Warunek początkowy: r(t ₀ )=r ₀

( )

( ) ( )

0

t

0 t

a a t

v t a t ' d t ' v

=

= ∫ +

G G

G

G G

Warunki początkowe:

v(t ₀ ) = v ₀

r(t ₀ ) = r ₀

Ruch prostoliniowy

Wybieramy UW tak, żeby ruch odbywał się wzdłuż  osi OX:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

t 0

t t ' 0

t

x t x v t ' dt ' v t ' v a t '' dt ''

− =

− =

∫

∫

Ruch ze stałym przyspieszeniem

Ruch jest płaski odbywa się w płaszczyźnie  wyznaczonej przez wektory przyspieszenia i  prędkości początkowej

( )

( )

( ) ( )

0

t '

0 0

t

0 0 0

t 2

0

0 0 0

v t ' adt '' a(t ' t ) v v t ' t v

a(t t ) r t v t ' r v (t t )

2

= = − +

= =

= = + − + −

∫

∫

G G

G G

G G

G G G G G

Ruch po okręgu

Wektor prędkości kątowej  orientujemy zgodnie z regułą 

śruby prawoskrętnej: G r

v G

ω G

1

2

t n

-2

s r v = ds/dt = r d dt r r

[ ] s

dv v

a dt r r ; a r przyspieszenie kątowe [ ]=s

−

= φ φ = φ = ω

ω =

= = ω = ε =

ε − ε



φ ^s 

ε G

v G = ω× G G r

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

( )

( ) t n

d d dr

a r r

dt dt dt

r r a a

= ω× = ω × + ω× =

= ε × + ω× ω× = +

G G

G G G G G

G G G G G G G

Podwójny iloczyn wektorowy ^{ω× ω× = −ω G} ( ^{G G r} ) ^{2 G r}

Ruch drgający harmoniczny

Przykładowo, rzut punktu poruszającego się  jednostajnie po okręgu porusza się 

harmonicznym ruchem drgającym 

(okresowym) z amplitudą x ₀ , częstością ω i  fazą początkową φ ₀ : x t ( ) = x cos 0 ( ω + φ t 0 )

Jest to szczególny przykład ruchu okresowego.

Ruch okresowy może być opisany dowolną okresową funkcją czasu np.:

( ) ( )

x t = A cos ω + t Bsin(2 t) C cos(3 t) ω + ω

Równanie oscylatora harmonicznego

Ruch drgający harmoniczny jest rozwiązaniem  szczególnie ważnego w fizyce równania 

różniczkowego‐ równania oscylatora  harmonicznego:

( ) ²

x t + ω = x 0