5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny Przy omawianiu ruchu punktu lub brył

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy.

Można rozpatrzyć taki przypadek, że wspomniany układ odniesienia będzie się poruszał względem innego układu, uważanego wtedy za nieruchomy. Wówczas ruch punktu lub bryły nazywamy ruchem złożonym.

x z

x′

z′

y′

y rO′

O r

r′

L Lw

M O′

Rys. 5.24. Ruch złożony punktu

Ruch punktu lub bryły względem układu

nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a ruch tego samego punktu lub bryły względem układu ruchomego ruchem względnym.

Ruch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia.

W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M porusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem odniesienia x, y, z, ani z ruchomym x y z′ ′ ′, , (rys. 5.24). Jeżeli ruch tego punktu będzie obserwowany przez dwóch obserwatorów − jednego związanego z układem nieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym − to każdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor, prędkość, przyśpieszenie).

′ ′ ′ x y z, ,

Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem bezwzględnym L, a w układzie ruchomym torem względnym Lw. Każdy z punktów toru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M, zakreśli pewien tor Lu. Ruch tego punktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili.

5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu

W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły.

Zatem wektor wodzący r′ punktu M w układzie ruchomym x y z′ ′ ′, , nie będzie stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł:

′ = ′ ≠

r r const. (a) Wektor wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów:

r r= _O′+ ′r . (5.76) Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z:

r_O′

r_O′ =x_O′i+y_O′ j+z_O′k. (5.77) Wektor jest wektorem wodzącym punktu M w układzie r′ x y z′ ′ ′, , . Można go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

r x i y j z k . (5.78) Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z ruchem punktu M względem układu ruchomego x y z′ ′ ′, , . Można je zatem zapisać w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M:

( ) ( ) ( )

′ = ′ ′ ′ ′ ′

x x t , y = y t , z = z t . (5.79) Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu:

v=dr _′ + dr′ d t

O

d t . (5.80) Pochodna wektora jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku ruchomego układu współrzędnych:

r_O′ O′

v r

i j

′ = ′ = ′ + ′ + ′

O d O O O O

dt dx

dt dy

dt dz

dt k . (b) Pochodna wektora po zróżniczkowaniu wzoru (5.78) ma postać: r′

d dt

dx dt

dy dt

dz

dt x d

dt y d

dt z d

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′dt

r i j k i j k

. (c) Pierwsze trzy wyrazy w powyższym wzorze przedstawiają prędkość względną punktu M:

v_w v_w = dx′ ′+ ′ ′+ ′ ′i j

dt dy

dt dz

dt k . (5.81) Po podstawieniu do trzech pozostałych wyrazów wzorów (5.31) na pochodne wersorów i j k′ ′ ′, , otrzymamy:

( ) ( ) ( )

( x y z ) .

z

y

t x

d

d

w w

k

j

i

ω

v

k

ω

j

ω

i

ω

r v

′

+ ′

′

+ ′

′

× ′

+

=

′ =

′ ×

′ +

′ ×

′ +

′ ×

+

′ =

Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie ze wzorem (5.80), jest wektorem wodzącym punktu M. Zatem powyższy wzór upraszcza się do postaci:

r

ω

r ′ = v + × ′

t

w

d

d

. (d)

Po podstawieniu do wzoru (5.80) oznaczenia (b) oraz wzoru (d) otrzymamy zależność na prędkość punktu M w ruchu złożonym względem nieruchomego układu odniesienia (prędkość bezwzględną):

w

O

ω r v

v

v =

_′

+ × ′ +

. (5.82) Po porównaniu ze wzorem (5.32) widzimy, że pierwsze dwa wyrazy w tym wzorze przedstawiają prędkość punktu bryły znajdującego się w tym samym miejscu co punkt M, zatem jest to prędkość unoszenia:

r

ω

v

v

_u

=

_O′

+ × ′

. (5.83) Po uwzględnieniu tego oznaczenia we wzorze (5.82) zauważymy, że prędkość bezwzględna v w ruchu złożonym punktu jest sumą prędkości unoszenia i prędkości względnej :

v_u v_w

v=v_u+v_w. (5.84) Przyśpieszenie bezwzględne a otrzymamy, obliczając pochodną względem czasu prędkości bezwzględnej w postaci (5.82):

t

d

d

t

d

d

t

d

d

t

d

d

t

d

d

_O

r v

_w

ω

ω r

v v

a ′ +

×

′ +

×

+

=

=

^′ . (e)

Pochodna

a v

′ = ′

O d O

dt (f)

jest przyśpieszeniem punktu O , a pochodna ′

ω = ε

t

d

d

(g)

przyśpieszeniem kątowym bryły.

Występującą we wzorze (e) pochodną wektora r′ względem czasu obliczyliśmy już przy wyprowadzaniu wzoru na prędkość punktu M. Jest ona dana wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej prędkości względnej względem czasu zróżniczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zależności (5.31):

v_w

( ) ( ) ′ ( × ′ ) =

′ +

′ ×

′ +

′ ×

+

=

′ =

+ ′

′

+ ′

′

+ ′

′ ′

′ +

+ ′

′ ′

=

k

ω

j

ω

i

ω

a

k

j

k i

j

v

_w

i

t

d

z

d

t

d

y

d

t

d

x

d

t

d

d

t

d

z

d

t

d

d

t

d

y

d

t

d

d

t

d

x

d

t

d

z

d

t

d

y

d

t

d

x

d

t

d

d

w

2 2 2

2 2

2

w w

w

dt

z

d

dt

y

d

dt

x

d i j k a ω v

ω

a ⎟ = + ×

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ′ ′

′ +

+ ′

′ ′

×

+

=

, (h)

gdzie aw jest przyśpieszeniem względnym punktu M:

a_w = d x′ ′+ ′ ′+ ′ ′i j dt

d y dt

d z dt

2 2

2 2

2

2 k . (5.85) Po uwzględnieniu we wzorze (e) oznaczeń (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy przyśpieszenie a punktu M.

( × ′ + ) + + × =

×

′ +

×

+

= a

_O′

ε r ω ω r v

_w

a

_w

ω v

_w

a

( )

_{w w}

O

ε r ω ω r a 2 ω v

a + × ′ + × × ′ + + ×

=

_′ . (5.86)

Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bryły jako przyśpieszenie dowolnego punktu bryły (wzór 5.33), a więc jest to przyśpieszenie unoszenia a : _u

( ^{ω r} )

ω

r

ε

a

a

_u

=

_O′

+ × ′ + × × ′

. (5.87)

Z kolei podwojony iloczyn wektorowy prędkości kątowej jest przyśpieszeniem znanym jako przyśpieszenie Coriolisa:

v_w

w

C

2 ω v

a = ×

. (5.88) Tak więc przyśpieszenie bezwzględne a punktu M w ruchu złożonym jest równe sumie trzech przyśpieszeń: unoszenia a_u, względnego a i Coriolisa _w a_C:

a a= _u+a_w+a_C. (5.89) Przyśpieszenie Coriolisa jest dodatkowym przyśpieszeniem wynikającym z ruchu obrotowego układu unoszenia. Można udowodnić [9], że jest ono wywołane zmianą wektora prędkości względnej wskutek jego obrotu z prędkością kątową

spowodowaną przemieszczaniem

się punktu M z prędkością względną . v_w

v_u v_w

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że przyśpieszenie Coriolisa będzie równe zeru w trzech przypadkach:

a) gdy ω = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem postępowym,

b) gdy wektory prędkości kątowej ω i prędkości względnej v_w punktu M są równoległe,

c) gdy prędkość względna v_w punktu M w pewnej chwili jest równa zeru.

W zagadnieniach technicznych najczęściej przyjmujemy, że układ odniesienia związany z Ziemią jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przyśpieszenie Coriolisa działające na obiekty poruszające się względem Ziemi, np. pojazdy, a wywołane jej obrotem wokół własnej osi. Takie postępowanie jest usprawiedliwione, ponieważ przyśpieszenie to jest bardzo małe [11]. Jednak przyśpieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom występującym w przyrodzie, wywołanym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych należą przykładowo kierunki prądów morskich i wiatrów.

Przykład 5.7. Pozioma rurka obraca się wokół pionowej osi z, przechodzącej przez jej środek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu: , gdzie czas t jest wyrażony w sekundach, a kąt ϕ w radianach. Wewnątrz rurki porusza się punkt M zgodnie równaniem:

t

2

1

t

10 −

=

ϕ

[ ]

^cm

3 t sin 15 s

OM= = π / . Obliczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu M dla czasu t₁=1s.

M x y

x y

y s

ϕ

O M

z

vM

vw

s ω O

M vu

ω

s ε

O

aus

a_uⁿ aw

ac

a) b)

c)

Rys. 5.25. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu M w ruchu złożonym Rozwiązanie. Punkt M porusza się ruchem złożonym z ruchu unoszenia wywołanego obrotem rurki i ruchu względnego względem rurki. Prędkość bezwzględną punktu M obliczymy ze wzoru (5.84):

v_M =v_u+v_w. (a) Wartość prędkości unoszenia punktu M wynikająca z ruchu obrotowego rurki

( ) ( ) ^t

sin 3

t

30

150

3 t

sin

15

t

2

10

s

v

_u

= ω = − π = − π

,

gdzie ω jest wartością prędkości kątowej rurki:

[ ] ^s

¹

t

2

dt 10

d ϕ = −

₋

=

ω

.

Wartość prędkości względnej punktu M

3 t

cos

5

3 t

3 cos

dt 15

v

_w

ds π

π

π =

⋅ π

=

=

.

Wektory prędkości unoszenia i prędkości względnej zaznaczono na rys. 5.25b przedstawiającym rurkę w rzucie z góry. Dla czasu t₁=1s otrzymujemy:

( )

.

s

cm

85

7

5

,

3 2

cos

5

v

,

s

cm

9

,

103

3

3 60

sin

30

150

v

w u

/

/

= ,

π

π =

π

=

=

π =

−

=

Ponieważ wektory tych prędkości są prostopadłe, wartość prędkości bezwzględnej punktu M

s cm 20 104 85

, 7 9 , 103 v

v

v_M = ²_u + ²_w = ² + ² = , / . Przyśpieszenie bezwzględne punktu M obliczymy ze wzoru (5.89):

a=a_u+a_w+a_C =a^s_u+a_uⁿ+a_w+a_c. (b) Wartości przyśpieszeń w ruchu unoszenia są następujące:

( )

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

− ω=

= ε

− π

= ω

=

− π π =

⋅

−

= ε

=

− . s dt 2 d

, 3t sin t 2 10 15 s a

, 3t sin 30 3t

cos 15 2 s a

2 2 2 n u s u

(c)

Wartość przyśpieszenia względnego punktu M obliczymy ze wzoru:

3t 3 sin 5 dt

a_w dv^{w 2} π

π

−

=

= . (d)

Z kolei przyśpieszenie Coriolisa wyraża wzór (5.88):

w

C

2 ω v

a = ×

, a jego wartość

( ) ( ) ^t

cos 3

t

20

100

3 t

cos

t

2

10

2 10

sin

v

2

a

_c

= ω

_w

π = − π π = − π π

. (e)

Wektory składowych przyśpieszeń występujące we wzorze (b) przedstawiono na rys. 2.25c. Wartości tych przyśpieszeń w chwili otrzymamy po podstawieniu do wzorów (c), (d) i (e)

t₁ t=t₁ =1 :s

.

s

cm

66

,

125

3 40

cos

80

a

s

cm

25

,

6 14

3

5

sin 3

3

a 5

s

cm

38

,

831

3

3 480

sin

15

8

a

,

s

cm

98

,

25

3

3 15

sin

30

a

2 c

2 2

2 w

2 2

n u

2 s

u

/

/

/

/

=

π

π =

π

=

−

=

π

−

π =

π

−

=

=

π =

⋅

=

−

=

−

π =

=

,

,

Na podstawie rys. 5.25c wartość przyśpieszenia bezwzględnego punktu M obliczymy ze wzoru:

( ) ( )

a_M = a_w +a_u^{n 2} + a_c −a^s_u ² = 845 63, ² +99 68, ² =851 48, cm/ s².