MODELOWANIE NORMALNYCH
CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCIOWYCH NIELINIOWEGO PODŁOŻA SPRĘŻYSTEGO
Rafał Grzejda
1a1Katedra Mechaniki i PKM, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
arafal.grzejda@zut.edu.pl
Streszczenie
Przedstawiono modelowanie i obliczenia połączenia stykowego obciążonego niesymetrycznie. Przyjęto fizyczny model połączenia dwóch elementów korpusowych traktowanych jako ciała odkształcalne lub nieodkształcalne.
Umowną warstwę stykową pomiędzy elementami łączonymi opisano za pomocą nieliniowego modelu Winklera.
Zaproponowano model połączenia stykowego uwzględniający sztywność stykową uzyskaną na podstawie badań do- świadczalnych. Zamieszczono przykładowe obliczenia rozkładu normalnych nacisków i odkształceń stykowych normalnych na powierzchni ściskanych elementów.
Słowa kluczowe: nieliniowe połączenie stykowe, linearyzacja, metoda siecznych
MODELLING OF NORMAL STIFFNESS CHARACTERISTICS OF THE NONLINEAR ELASTIC FOUNDATION
Summary
In the paper modelling and calculations of a contact joint loaded by an asymmetrical force is presented. The physi- cal model of the joint consists of two flange elements treated as flexible or inflexible bodies. Between joined elements the nonlinear Winkler model of a contact layer is taken into account. The model of the contact joint considering ex- perimental characteristics of the nonlinear elastic foundation is proposed. As results obtained from the calculations, examples of pressure and normal contact deformations distributions are shown.
Keywords: nonlinear contact joint, linearization, secant method
1. WPROWADZENIE
Nawet w wyniku dokładnej obróbki nie można uzy- skać idealnego połączenia powierzchni łączonych elemen- tów maszyn. Tym samym styk pomiędzy parą elemen- tów ma miejsce nie na całej nominalnej powierzchni kontaktu, ale tylko na niewielkiej jej części [11,16,17]
(rys. 1). Na rozmiar rzeczywistej powierzchni styku wpływ mają m. in. [6]:
- kształt i wymiary mikronierówności,
- wartości sił normalnych, dociskających rozpatrywane elementy,
- właściwości materiałów, z których wykonane zostały stykające się ze sobą elementy.
Z tych powodów w obrębie pojedynczych mikrostyków dochodzi do znacznych odkształceń, które mają istotny wpływ na rozkład sił oddziaływania i wzajemne prze-
mieszczenia kontaktujących się ze sobą ciał, a tym samym na globalne zachowanie się całego złożonego układu mechanicznego.
Numeryczna analiza zagadnień kontaktowych w do- stępnych komercyjnych systemach komputerowych determinowana jest przez zawartość bibliotek elementów skończonych [1] przeznaczonych do modelowania styku.
Korzystając z takich programów, użytkownik natrafia na bardzo ograniczone możliwości opisu właściwości mode- lowanego styku. W najlepszym wypadku w programach tego typu możliwe jest zadanie stałych współczynników sztywności stykowej dla danego elementu kontaktowego na powierzchni styku, jak ma to miejsce na przykład w systemach ANSYS [12] i Nastran FX [13].
Rys. 1. Styk dwóch powierzchni (Ari – fragment rzeczywistej powierzchni styku, Aki – fragment konturowej powierzchni styku,
An – nominalna powierzchnia styku)
Aby przeprowadzić obliczenia z uwzględnieniem zmienności współczynników sztywności dla każdego z elementów warstwy stykowej, wynikającej z nieliniowej charakterystyki podatnościowej połączenia stykowego, konieczne jest utworzenie specjalnych procedur oblicze- niowych i wykorzystanie ich w połączeniu z obliczeniami prowadzonymi w danym systemie komputerowym.
W niniejszej pracy, na przykładzie połączenia stykowego dwóch elementów korpusowych obciążonych normalną siłą zewnętrzną, zawarto porównawczą analizę kilku modeli i metod modelowania układu dwóch ciał stałych tworzących połączenie stykowe. Praca stanowi pewien fragment badań prowadzonych nad rozwojem metod modelowania i obliczeń połączeń śrubowych [7,19], które najczęściej należy traktować jako układy nieliniowe [4,8].
Analizy dokonano na podstawie rozkładów normalnych nacisków powierzchniowych i odkształceń stykowych normalnych wyznaczonych z wykorzystaniem autorskiej procedury obliczeniowej, umożliwiającej uwzględnienie w modelu odmiennych współczynników sztywności dla każdego z elementów warstwy stykowej.
2. OGÓLNY MODEL PŁASKIEGO STYKU DWÓCH POWIERZCHNI
Aby zjawiska zachodzące w obszarze kontaktu 88le- mentów korpusowych poddać rozważaniom 88lement88 nym, należy przyjąć konkretny model powierzchni danych ciał oraz ich styku. Rozpatrując zagadnienia mechaniki kontaktu w skali makroskopowej, można zrezygnować z wielu szczegółów dotyczących styku.
Celowe jest wówczas wydzielenie obszaru kontaktu z dwóch przylegających do siebie ciał i traktowanie go jako umownej warstwy stykowej, posiadającej właściwo- ści odmienne od łączonych części korpusu, związane m.
88l. Z nieciągłością strefy kontaktu, różną strukturą, czy niejednorodnymi właściwościami fizykochemicznymi [10].
Przejście od styku ciał rzeczywistych do fizycznego modelu polega na myślowym wycięciu płaszczyznami
przypowierzchniowych warstw wraz z nierównościami i wstawieniu w ich miejsce umownej warstwy stykowej.
Tak określonej warstwie stykowej można przypisać najistotniejsze cechy styku ciał rzeczywistych, wynikają- ce bezpośrednio z charakterystyk otrzymanych doświad- czalnie. Dzięki temu w modelu uwzględniony zostaje rzeczywisty wpływ 88lement88 równości łączonych powierzchni.
Rys. 2. Połączenie dwóch płaskowników: a) układ rzeczywisty, b) fragment przekroju przez rzeczywistą powierzchnię styku,
c) model warstwy stykowej
Budowa modelu fizycznego połączenia stykowego zo- stanie przedstawiona na przykładzie połączenia dwóch płaskowników tworzących stos, posadowionych na nieodkształcalnym podłożu i obciążonych mimośrodowo siłą Fn (rys. 2).
Warstwę stykową pomiędzy łączonymi elementami modeluje się za pomocą modelu Winklera [18] opisanego za pomocą j (j = 1, 2, 3, …, l) sprężyn nieliniowych o charakterystyce
= ∙ = ∙ (1)
gdzie:
Rj – siła zaczepiona w środku ciężkości j-tej elementar- nej powierzchni styku,
pnj – normalne naciski powierzchniowe na elementarnej powierzchni styku,
nj – odkształcenia stykowe normalne elementarnej części warstwy stykowej (sprężyny nieliniowej), Aj – pole elementarnej powierzchni styku.
Tworzenie struktury modelu warstwy stykowej pro- wadzi się według następującej procedury:
- podział powierzchni styku między łączonymi 88le- menttami na elementarne powierzchnie (o polu Aj), - wyznaczenie środków ciężkości dla każdej elementar-
nej powierzchni styku,
- wprowadzenie węzłów siatki w środkach ciężkości elementarnych powierzchni styku,
- dodanie nieliniowych sprężyn w węzłach zdefiniowa- nych w poprzednim kroku.
An
Ari
Aki
Fn
Rys. 3. Modele styku ciał stałych (na podstawie [5,14]) Współczynniki sztywności elementów warstwy sty- kowej kj wyznacza się ze wzoru [9]
= (2)
Przyjmując założenie o odkształcalności warstwy styko- wej, można rozpatrzyć dwa modele połączenia stykowe- go:
- model A, w którym ciała łączone są nieodkształcal- ne,
- model B, w którym ciała łączone są odkształcalne.
Wyżej wymienione modele w przypadku obciążenia symetrycznego, w sposób poglądowy przedstawiono na rys. 3.
Rys. 4. Linearyzacja krzywej metodą siecznych Równanie równowagi układu (rys. 2) zapisuje się w postaci:
∙ = (3)
gdzie:
K – macierz sztywności,
q – wektor przemieszczeń uogólnionych, p – wektor sił uogólnionych.
Tak zdefiniowany fizyczny model połączenia stykowego podlega dyskretyzacji, a następnie obliczeniom z wyko- rzystaniem metody elementów skończonych (MES) [1].
Rozwiązanie układu równań (3) przebiega w procesie iteracyjnym prowadzonym z wykorzystaniem metody siecznych [3]. W kolejnych przybliżeniach poszukuje się takich wartości reakcji (rys. 4), dla których spełniony zostanie warunek
≤ (4)
gdzie:
R’j – reakcja w j-tej sprężynie, wyznaczona na podsta- wie zastępczej charakterystyki liniowej,
– dopuszczalny błąd względny linearyzacji.
3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Zgodnie z przedstawioną metodą wykonano oblicze- nia połączenia dwóch stalowych płaskowników stykają- cych się na długości 50 mm. Założono prostokątny przekrój płaskowników. Powierzchnię kontaktu pomię- dzy elementami łączonymi podzielono na 10 równych powierzchni elementarnych o polu Aj = 25 mm2. W środku ciężkości każdego z pól elementarnych po- wierzchni dodano nieliniową sprężynę. W modelu oblic- zeniowym wprowadzono zatem 10 sprężyn tworzących warstwę stykową (oznaczonych kolorem czerwonym na rys. 5). Na powierzchniach płaskowników przylegających do warstwy stykowej utworzono po 20 elementów skończonych.
Właściwości sprężyste warstwy stykowej na kierunku normalnym opisano przykładową nieliniową charaktery- styką, uzyskaną eksperymentalnie dla elementów łączo- nych w połączeniu wielośrubowym, według metody przedstawionej w pracy [7]
= ∙ 3,428 ∙ , (5)
Układ posadowiono na nieodkształcalnym podłożu i obciążono mimośrodowo siłą Fn = 1,25 kN, normalną do powierzchni styku, przyłożoną w odległości 10 mm od lewego końca górnego płaskownika (rys. 5). Obliczenia wykonano przy użyciu programu Nastran FX [13] oraz procedury przygotowanej w arkuszu kalkulacyjnym Excel [2].
Przyjęto dwa modele obliczeniowe (model A i model B) o cechach zdefiniowanych w rozdziale 2. pracy.
W przypadku modelu A przyjęto moduł Younga E = 2·108 MPa, jak dla materiału nieodkształcalnego [15].
Wyniki obliczeń w formie graficznej przedstawiono na rys. 6 i 7. Pokazano na nich rozkłady normalnych nacisków powierzchniowych oraz odkształceń stykowych normalnych otrzymane dla przyjętego połączenia styko- wego. Maksymalne wartości nacisków i odkształceń wyznaczone dla modelu z nieodkształcalnymi elementa- Fn
Fn
CIAŁA ODKSZTAŁCALNENIEODKSZTAŁCALNE pn,śr
Fn
Fn
pn,śr pn,śr pn
= f(F )n
Model A
Model B
R
R’j
Rj
nj n
mi ściskanymi są niższe niż dla modelu z elementami odkształcalnymi. Za pomocą modelu, w którym pominię- to odkształcalność ściskanych elementów, uzyskano liniowe charakterystyki nacisków i odkształceń. Przesu-
nięcie wykresów dla modelu B w stronę przyłożonego obciążenia oraz odchylenie wykresów od osi odciętych dla modelu A związane są z niesymetrycznym obciąże- niem układu i odkształcalnością warstwy stykowej.
Rys. 5. Model połączenia stykowego w konwencji MES
Rys. 6. Rozkłady normalnych nacisków powierzchniowych dla badanego połączenia stykowego 0
2 4 6 8 10 12 14 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
pnj[MPa]
Numer elementarnej powierzchni styku
Model A Model B
Rys. 7. Rozkłady odkształceń stykowych normalnych dla badanego połączenia stykowego
4. PODSUMOWANIE
Używając do modelowania styku modeli dostępnych w komercyjnych systemach elementów skończonych, w analizie połączenia stykowego nie można uwzględnić wszystkich jego charakterystycznych właściwości. Roz- budowanie tych modeli o możliwość zadania odrębnych wartości sztywności stykowej, wyznaczonych z charakte- rystyk doświadczalnych, dla każdego z elementów war- stwy stykowej, pozwala na zwiększenie adekwatności fizycznego modelu styku do jego obrazu rzeczywistego.
Takiego rozwiązania nie można zastosować bezpośred- nio. Wymaga ono wyboru jednej z dwóch następujących możliwości:
- napisanie dodatkowych procedur numerycznych i dołączenie ich do wybranego do analiz komputero- wego systemu elementów skończonych (jeżeli jest ta- ka możliwość),
- potraktowanie systemu elementów skończonych jako narzędzia podrzędnego, wykorzystanego w innym, nadrzędnym programie komputerowym (jak to uczy- niono w niniejszej pracy).
Pominięcie w modelowaniu i analizie połączeń sty- kowych odkształcalności elementów ściskanych może skutkować otrzymaniem rozkładów normalnych naci- sków powierzchniowych i odkształceń stykowych nor- malnych odbiegających od rozkładów rzeczywistych.
Takie uproszczenia w modelowaniu dopuszczalne są jedynie na etapie obliczeń wstępnych i szacowań.
W modelu w pełni dopasowanym do rzeczywistego układu mechanicznego powinno się uwzględniać od- kształcalność elementów łączonych.
Przedstawiony sposób podejścia do modelowania i obliczeń połączeń stykowych proponuje się stosować szczególnie do analizy połączeń, dla których ważna jest historia obciążenia. Przykładem takiego połączenia jest złącze wielośrubowe, w którym stan napięcia w śrubach i stan naprężeń w elementach łączonych zależą od historii montażu (czyli od kolejności napinania poszcze- gólnych śrub) oraz od przykładanego obciążenia ze- wnętrznego [7,19].
Literatura
1. Adams V., Askenazi A.: Building better products with finite element analysis. Santa Fe: OnWord Press, 1999.
2. Etheridge D.: Programowanie w Excelu 2007 PL. Gliwice: Helion, 2009.
3. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. Warszawa: WNT, 2005.
4. Fukuoka T.: Finite element analysis of the thermal and mechanical behaviors of bolted joint. ,,Analysis of bolted joints”, The 2003 ASME Pressure Vessels and Piping Conference, Cleveland 2003, p. 125–131.
5. Grudziński K.: Rola, modelowanie i obliczanie połączeń elementów w konstrukcjach maszynowych. W: Mat. XIII Sympozjonu PKM. Cz. 2, Świnoujście 1987, s. 61 - 87.
6. Grudziński K., Konowalski K.: Badania charakterystyk mechanicznych połączeń stykowych przy obciążeniach dynamicznych. Cz. 1: Podstawy badań doświadczalnych i stanowisko badawcze. ,,Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji” 2002, vol. 22, nr 2, s. 105 - 114.
0 0,5 1 1,5 2 2,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
dnj[mm]
Numer elementarnej powierzchni styku
Model A Model B
7. Grzejda R.: Modelowanie i obliczenia wielośrubowego połączenia elementu korpusowego na nieliniowym podłożu sprężystym. Rozprawa doktorska. Szczecin: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, 2009.
8. Kobayashi T., Nishida T., Yamanaka Y.: Effect of creep-relaxation characteristics of gaskets on the bolt loads of gasketed joints. ,,Analysis of bolted joints”, The 2003 ASME Pressure Vessels and Piping Conference, Cleveland 2003, p. 111 - 118.
9. Konowalski K.: Experimental research and modeling of normal contact stiffness and contact damping of ma- chined joint surfaces. ,,Advances in Manufacturing Science and Technology” 2009, Vol. 33, No. 3, p. 53 - 68.
10. Konowalski K. i in.: Badania doświadczalne oraz modelowanie sztywności dynamicznej i tłumienia styków połączeń spoczynkowych. Sprawozdanie z projektu badawczego nr 7 T07C 04115, Szczecin: Politechnika Szcze- cińska, 2001.
11. Kostek R.: Modelowanie charakterystyki kontaktu ciał chropowatych obciążonych w kierunku normalnym.
,,Modelowanie inżynierskie” 2012, nr 43, t. 12, s. 113 - 120.
12. Łaczek S.: Modelowanie i analiza konstrukcji w systemie MES ANSYS v.11. Kraków: Wyd. Pol. Krak., 2011.
13. Nastran FX On-line Manual, 2010.
14. Niektóre zagadnienia mechaniki kontaktu w budowie maszyn. Praca zbiorowa pod red. K. Grudzińskiego. Prace Naukowe Politechniki Szczecińskiej, nr 339. Szczecin: Wyd. Uczel.Politechniki Szczecińskiej, 1987.
15. Nonlinear Analysis. Przewodnik do nauki obsługi programu Nastran FX, 2010.
16. Poulios K., Klit P.: Implementation and applications of a finite-element model for the contact between rough surfaces. ,,Wear” 2013, Vol. 303, No. 1 - 2, p. 1 - 8.
17. Sellgren U., Björklund S., Andersson S.: A finite element-based model of normal contact between rough surfaces.
,,Wear” 2003, Vol. 254, No. 11, p. 1180 - 1188.
18. Wang Y.H., Tham L.G., Cheung Y.K.: Beams and plates on elastic foundations: a review. ,,Progress in Struc- tural Engineering and Materials” 2005, Vol. 7, No. 4, p. 174 - 182.
19. Witek A. i in.: Rozwój metod modelowania i obliczeń połączeń wielośrubowych. Sprawozdanie z projektu ba- dawczego nr 4 T07C 05527. Szczecin: Politechnika Szczecińska, 2007.
