(1)Rozwiązanie: Sposób I Wykonując podstawienie x = t11 i formalnie dx = 11t10dt, a po drodze korzystając ze wzoru Z f0(t) f (t)dt = ln |f (t

Rozwiązanie:

Sposób I

Wykonując podstawienie x = t¹¹ i formalnie dx = 11t¹⁰dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t⁹+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹¹√

x² = 11 ·

Z t¹⁰dt

t¹¹+ t² = 11 ·

Z t⁸dt t⁹+ 1=11

9 ·

Z 9t⁸dt t⁹+ 1=11

9 · lnt⁹+ 1+ C =

=11

9 · lnx^9/11+ 1+ C . Sposób II

Wykonując podstawienie t = ¹¹√

x², czyli x = t^11/2 i formalnie dx =11

2 t^9/2dt, a po dro- dze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t^9/2+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹¹√

x² =11 2 ·

Z t^9/2dt t^11/2+ t=11

2 ·

Z t^7/2dt t^9/2+ 1 =11

9 ·

Z ⁹

2t^7/2dt t^9/2+ 1 =11

9 · lnt^9/2+ 1+ C =

=11

9 · lnx^9/11+ 1+ C . Sposób III

Wykonując podstawienie x = t^11/9 i formalnie dx =11t^2/9dt

9 , otrzymujemy

Z dx

x + ¹¹√

x² =11 9 ·

Z t^2/9dt

t^11/9+ t^2/9=11 9 ·

Z dt

t + 1=11

9 · ln |t + 1| + C =

=11

9 · lnx^9/11+ 1+ C . Sposób IV

Korzystając ze wzoru

Z f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + C dla f (x) = x^9/11+ 1 otrzymujemy

Z dx

11√ =

Z x^−2/11dx

=11

·

Z ⁹

11x^−2/11dx

=11

· lnx^9/11+ 1+ C .

Sposób I

Wykonując podstawienie x = t¹³ i formalnie dx = 13t¹²dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t¹¹+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹³√

x² = 13 ·

Z t¹²dt

t¹³+ t² = 13 ·

Z t¹⁰dt t¹¹+ 1 =13

11·

Z 11t¹⁰dt t¹¹+ 1 =13

11· lnt¹¹+ 1+ C =

=13

11· lnx^11/13+ 1+ C . Sposób II

Wykonując podstawienie t = ¹³√

x², czyli x = t^13/2 i formalnie dx = 13

2 t^11/2dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t^11/2+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹³√

x² =13 2 ·

Z t^11/2dt t^13/2+ t=13

2 ·

Z t^9/2dt t^11/2+ 1 =13

11·

Z ¹¹

2t^9/2dt t^11/2+ 1 =13

11· lnt^11/2+ 1+ C =

=13

11· lnx^11/13+ 1+ C . Sposób III

Wykonując podstawienie x = t^13/11 i formalnie dx =13t^2/11dt

11 , otrzymujemy

Z dx

x + ¹³√

x² =13 11·

Z t^2/11dt

t^13/11+ t^2/11 =13 11·

Z dt t + 1=13

11· ln |t + 1| + C =

=13

11· lnx^11/13+ 1+ C . Sposób IV

Korzystając ze wzoru

Z f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + C dla f (x) = x^11/13+ 1 otrzymujemy

Z dx

x + ¹³√ x² =

Z x^−2/13dx x^11/13+ 1=13

11·

Z ¹¹

13x^−2/13dx x^11/13+ 1 =13

11· lnx^11/13+ 1+ C .

Sposób I

Wykonując podstawienie x = t¹⁷ i formalnie dx = 17t¹⁶dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t¹⁵+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁷√

x² = 17 ·

Z t¹⁶dt

t¹⁷+ t² = 17 ·

Z t¹⁴dt t¹⁵+ 1 =17

15·

Z 15t¹⁴dt t¹⁵+ 1 =17

15· lnt¹⁵+ 1+ C =

=17

15· lnx^15/17+ 1+ C . Sposób II

Wykonując podstawienie t = ¹⁷√

x², czyli x = t^17/2 i formalnie dx = 17

2 t^15/2dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t^15/2+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁷√

x²=17 2 ·

Z t^15/2dt t^17/2+ t=17

2 ·

Z t^13/2dt t^15/2+ 1=17

15·

Z ¹⁵

2t^13/2dt t^15/2+ 1 =17

15· lnt^15/2+ 1+ C =

=17

15· lnx^15/17+ 1+ C . Sposób III

Wykonując podstawienie x = t^17/15 i formalnie dx =17t^2/15dt

15 , otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁷√

x² =17 15·

Z t^2/15dt

t^17/15+ t^2/15 =17 15·

Z dt t + 1=17

15· ln |t + 1| + C =

=17

15· lnx^15/17+ 1+ C . Sposób IV

Korzystając ze wzoru

Z f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + C dla f (x) = x^15/17+ 1 otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁷√ x² =

Z x^−2/17dx x^15/17+ 1=17

15·

Z ¹⁵

17x^−2/17dx x^15/17+ 1 =17

15· lnx^15/17+ 1+ C .

Sposób I

Wykonując podstawienie x = t¹⁹ i formalnie dx = 19t¹⁸dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t¹⁷+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁹√

x² = 19 ·

Z t¹⁸dt

t¹⁹+ t² = 19 ·

Z t¹⁶dt t¹⁷+ 1 =19

17·

Z 17t¹⁶dt t¹⁷+ 1 =19

17· lnt¹⁷+ 1+ C =

=19

17· lnx^17/19+ 1+ C . Sposób II

Wykonując podstawienie t = ¹⁹√

x², czyli x = t^19/2 i formalnie dx = 19

2 t^17/2dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t^17/2+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁹√

x²=19 2 ·

Z t^17/2dt t^19/2+ t=19

2 ·

Z t^15/2dt t^17/2+ 1=19

17·

Z ¹⁷

2t^15/2dt t^17/2+ 1 =19

17· lnt^17/2+ 1+ C =

=19

17· lnx^17/19+ 1+ C . Sposób III

Wykonując podstawienie x = t^19/17 i formalnie dx =19t^2/17dt

17 , otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁹√

x² =19 17·

Z t^2/17dt

t^19/17+ t^2/17 =19 17·

Z dt t + 1=19

17· ln |t + 1| + C =

=19

17· lnx^17/19+ 1+ C . Sposób IV

Korzystając ze wzoru

Z f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + C dla f (x) = x^17/19+ 1 otrzymujemy

Z dx

x + ¹⁹√ x² =

Z x^−2/19dx x^17/19+ 1=19

17·

Z ¹⁷

19x^−2/19dx x^17/19+ 1 =19

17· lnx^17/19+ 1+ C .

Sposób I

Wykonując podstawienie x = t²³ i formalnie dx = 23t²²dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t²¹+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ²³√

x² = 23 ·

Z t²²dt

t²³+ t² = 23 ·

Z t²⁰dt t²¹+ 1 =23

21·

Z 21t²⁰dt t²¹+ 1 =23

21· lnt²¹+ 1+ C =

=23

21· lnx^21/23+ 1+ C . Sposób II

Wykonując podstawienie t = ²³√

x², czyli x = t^23/2 i formalnie dx = 23

2 t^21/2dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t^21/2+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ²³√

x²=23 2 ·

Z t^21/2dt t^23/2+ t=23

2 ·

Z t^19/2dt t^21/2+ 1=23

21·

Z ²¹

2t^19/2dt t^21/2+ 1 =23

21· lnt^21/2+ 1+ C =

=23

21· lnx^21/23+ 1+ C . Sposób III

Wykonując podstawienie x = t^23/21 i formalnie dx =23t^2/21dt

21 , otrzymujemy

Z dx

x + ²³√

x² =23 21·

Z t^2/21dt

t^23/21+ t^2/21 =23 21·

Z dt t + 1=23

21· ln |t + 1| + C =

=23

21· lnx^21/23+ 1+ C . Sposób IV

Korzystając ze wzoru

Z f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + C dla f (x) = x^21/23+ 1 otrzymujemy

Z dx

x + ²³√ x² =

Z x^−2/23dx x^21/23+ 1=23

21·

Z ²¹

23x^−2/23dx x^21/23+ 1 =23

21· lnx^21/23+ 1+ C .

Sposób I

Wykonując podstawienie x = t²⁹ i formalnie dx = 29t²⁸dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t²⁷+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ²⁹√

x² = 29 ·

Z t²⁸dt

t²⁹+ t² = 29 ·

Z t²⁶dt t²⁷+ 1 =29

27·

Z 27t²⁶dt t²⁷+ 1 =29

27· lnt²⁷+ 1+ C =

=29

27· lnx^27/29+ 1+ C . Sposób II

Wykonując podstawienie t = ²⁹√

x², czyli x = t^29/2 i formalnie dx = 29

2 t^27/2dt, a po drodze korzystając ze wzoru

Z f⁰(t)

f (t)dt = ln |f (t)| + C dla f (t) = t^27/2+ 1, otrzymujemy

Z dx

x + ²⁹√

x²=29 2 ·

Z t^27/2dt t^29/2+ t=29

2 ·

Z t^25/2dt t^27/2+ 1=29

27·

Z ²⁷

2t^25/2dt t^27/2+ 1 =29

27· lnt^27/2+ 1+ C =

=29

27· lnx^27/29+ 1+ C . Sposób III

Wykonując podstawienie x = t^29/27 i formalnie dx =29t^2/27dt

27 , otrzymujemy

Z dx

x + ²⁹√

x² =29 27·

Z t^2/27dt

t^29/27+ t^2/27 =29 27·

Z dt t + 1=29

27· ln |t + 1| + C =

=29

27· lnx^27/29+ 1+ C . Sposób IV

Korzystając ze wzoru

Z f⁰(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + C dla f (x) = x^27/29+ 1 otrzymujemy

Z dx

x + ²⁹√ x² =

Z x^−2/29dx x^27/29+ 1=29

27·

Z ²⁷

29x^−2/29dx x^27/29+ 1 =29

27· lnx^27/29+ 1+ C .