T f generowanej przez f (x) = 12 |x − a|.

Zadanie 1 (byªo na¢wi zenia h,ale dlaprzypomnienia...)

Obli zy¢

m

^{-t¡ po hodn¡ (}

m > 1

⁾ dystrybu ji

T = x ^m−1 θ(x)

^.

Obli zy¢ drug¡ po hodn¡ dystrybu ji

T f

generowanej przez

f (x) = ¹ ₂ |x − a|

^.

Odpowied¹: W pierwszym przypadku

T ^(m) = (m − 1)!δ ⁰

^{, wdrugim przypadku}

T _f ^′′ = δ a

(gdzie

δ a (ϕ) = ϕ(a)

⁾

Zadanie 2 (te» byªo na ¢wi zenia h, aledlaprzypomnienia...)

Pokaza¢, »e je±li

f (x) = ln |x|

^{, to}

T _f ^′ = P 1 x .

Wykaza¢ wzorek

1

x ± i0 = P 1

x ∓ iπδ ⁰ .

Pokaza¢, »e

 P 1

x

 _′

(ϕ) = − lim

ε→0

Z ε

−∞

+ Z _∞

ε



dx ϕ(x) − ϕ(0) x ² .

Pokaza¢, »e je±li

f (x) = x ^λ θ(x)

^,

|λ| < 1

^{, to}

T _f ^′ (ϕ) = λ

Z _∞

0

dx x ^λ−1 [ϕ(x) − ϕ(0)] .

Pokaza¢, »e je±li

f (x) = θ(x) ln x

^{, to}

T _f ^′ (ϕ) =

Z _∞

0

dx

x [ϕ(x) − ϕ(0) θ(1 − x)] .

Zapisa¢ dystrybu je

T _s = sin x δ ₀ ^′′

^oraz

T _c = cos x δ ₀ ^′′

^{przez delty i i h pierwsze po hodne.}

Sprawdzi¢, zy prawdziwy jest wzór

sin ² x δ ₀ ^′′ + cos ² x δ ₀ ^′′ = δ ^′′ ₀

^.

Zadanie 3

Zapisa¢ dystrybu je

T s = sin x δ ₀ ^′′

^oraz

T c = cos x δ ₀ ^′′

^{przez delty i i h pierwsze po hodne.}

Sprawdzi¢, zy prawdziwy jest wzór

sin ² x δ ₀ ^′′ + cos ² x δ ₀ ^′′ = δ ^′′ ₀

^.

Zadanie 4

Znale¹¢ grani  i¡gu dystrybu ji generowany h przez i¡gi funk ji:

a) f n (x) = n

√ π e ^{−n 2 x 2} ,

Odpowied¹: W obu przypadka h

lim _n→∞ T f ⁿ = δ 0

^{(tylko jedna delta jest na funk ja h}

zdeniowany h na

R

^{, adruga nafunk ja h} zdeniowany h na

R ²

^).

Zadanie 5

Nie h

f (x, y)

^{bdzie funk j¡} harakterysty zn¡ zbioru

A = { (x, y) ∈ R ² | x > 0, y > 0}

(funk ja harakterysty zna jest równa 1 nazbiorze i 0poza nim). Obli zy¢

∂ ² T _f /∂x∂y

^.

Odpowied¹:

∂ ² T f /∂x∂y = δ 0

^.

Zadanie 6

W

R ²

^{obli zy¢ laplasjan} dystrybu ji

T f

generowanej przez funk j

f (x, y) = ln r

^{, gdzie}

r = px ² + y ²

^.

Odpowied¹: Przy okazji zaadaptowa¢ do

R ²

^{wzorki z formami, »eby udowodni¢ z tw.}

Stokesa potrzebn¡ to»samo±¢ Greena. Wynik:

∆T f = 2πδ 0

^.

Zadanie 7

Dla przypomnienia oblizy¢ sobie transformat Fouriera funk ji

f (x) = x e ^{−a 2 x 2}

^aªkuj¡

bezpo±rednio (aniekorzystaj¡ ze sztu zkipodanej na ko« u)

Zadanie 8

Obli zy¢sobietransformatFourierafunk ji

f (x) = (x ² +a ² ) ⁻¹

^(wynik:

f (k) = (π/a)e ˜ ^−|ak|

^),

a potem zurü k, zyli odwrotn¡ transformat Fouriera tego, o wyszªo, »eby sprawdzi¢,

»e wyjdzie

f (x)

^.

Zadanie 9

Obli zy¢ transformat Fourierafunk ji

f (x) = θ(x) e ^−ax sin(bx)

^(dla

a > 0

^).

Odpowied¹:

f (k) = b/[b ˜ ² + (a + ik) ² ]

^.

Zadanie 10

Obli zy¢ transformat Fourierafunk ji

f (x) = 1/(x ⁴ + a ⁴ )

^.

Odpowied¹:

f (k) = (π/a)e ˜ ^{−|ka|/ √ 2} cos( ^{|ka| √} ₂ + ^π ₄ )

^.

Zadanie 11

Obli zy¢ aªk

R _∞

−∞ dx e ^{−x 2}

^{aªkuj¡ funk j}

f (z) = e ^{−z 2}

1 + e ^−2az , w ktorej a = √ π e ^{i π 4} ,

po równolegªobokuktórego wierz hoªki wyzna zaj¡ punkty (na pªasz zy¹nei zespolonej):

z ₁ = −R

^,

z ₂ = R

^,

z ₃ = R + a

^,

z ₄ = −R + a

^,i prze hodz¡ do grani y

R → ∞

^.

Zadanie 12

Obli zy¢kwadratmoduªutransformatyFourierafunk ji harakterysty znejod inka

[a, b] ⊂ R

^.

Odpowied¹:

(4/k ² ) sin ² ( ¹ ₂ k(a − b))

^.

Obli zy¢ transformat Fourierafunk ji

f (x) = x e ^ax

1 + e ^x , 0 < a < 1 .

Odpowied¹: Caªkowa¢ podu»ym prostok¡ ie, którego podstaw¡ jestod inek

(−R, +R)

osi

x

^{, a górnym brzeg jest na} ospowiedniej (jakiej?) wysoko± i i potem przej±¢ z

R

^do

niesko« zono± i.

f (k) = i ˜ d dk

π

sin[π(a − ik)] .

Zadanie 14

Sple±¢ aªkuj¡ bezpo±rednio funk je

f (x) = (a/π)/[x ² + a ² ]

ⁱ

g(x) = (b/π)/[x ² + b ² ]

^.

Odpowied¹:

(f ∗ g)(x) = ((a + b)/π)/[x ² + (a + b) ² ]

^.

Zadanie 15

Sple±¢

f (x) = x

^oraz

g(x) = x ² θ(1 − x)

^{i zoba zy¢, »e}

(f ∗ g)(x) = (g ∗ f)(x)

^{. Zrobi¢ to}

samo z funk jami

f (x) = θ(x)

ⁱ

g(x) = θ(x) sin x

^.

Zadanie 16

Sple±¢

f (x) = e ^{−a 2 x 2}

^z

g(x) = x e ^{−b 2 x 2}

^.

Zadanie 17

Znale¹¢ dystrybu yjn¡ transformat Fourierafunk ji

f (x) = (x ² + 1) cos x + 2x sin x .

Dystrybu yjn¡ tzn. transformat Fouriera

T ˜ f

dystrybu ji

T f

generowanej przez

f (x)

^.

Odpowied¹:

T ˜ f = 1

2 [δ(k − 1) + δ(k + 1)] + δ ^′ (k − 1) − δ ^′ (k + 1) − 1

2 [δ ^′′ (k − 1) + δ ^′′ (k + 1)] .

Zadanie 18

Obli zy¢transformatFourieradystrybu ji

T f

generowanejprzezfunk je

f (x) = (sin ² x)/(1+

x ² )

^,

h(x) = x ² /(x ² + a ² )

^,

g(x) = (x ³ sin x)/(x ² + 1)

Odpowied¹: (tylko tjedn¡ mam podrk¡)

˜h(k) = 2πδ(k) − aπ e ^−|ak|

^.

Zadanie 19 (byªo na¢wi zenia h,ale dlautrwalenia)

Pokaza¢, »e je±li

x ^l T = 0

^,to

T =

l−1

X

n=0

c n δ ₀ ⁽ⁿ⁾ .

Znale¹¢ ogólnerozwi¡zanie równaniadystrybu yjnego

xT = 1

^.

Zadanie 21(byªo na ¢wi zenia h,ale dlautrwalenia)

Pokaza¢ (te» induk yjnie),»e je±li

T ^(l) = 0

^{, to}

T =

l−1

X

n=0

c n x ⁿ .

Zadanie 22 (byªo na¢wi zenia h,ale dlautrwalenia)

Znale¹¢ ogólnerozwi¡zanie równaniadystrybu yjnego

x(x − 1)T ^′ = δ 0

^.

Odpowied¹:

T = c + c 0 θ(x) + c 1 θ(x − 1) + δ ⁰

^.

Zadanie 23

Znale¹¢ ogólnerozwi¡zanie równaniadystrybu yjnego

x ^r T ^(k) = 0

^.

Odpowied¹: Dla

k ≥ r T =

X k−1

l=0

d l x ^l + X r−1

p=0

c p x ^k−p−1 θ(x) .

a odla

k ≤ r

^?

Zadanie 24

Znale¹¢ najogólniejsze rozwi¡zanie równania

(x − x ² ) T = 1

^.

Odpowied¹:

T = c 0 δ(x) + c 1 δ(x − 1) + P 1

x + P 1 1 − x .

Zadanie 25

Znale¹¢ najogólniejsze rozwi¡zanie równania

x T = θ(x) .

Podpowied¹:

T = T jednorodne + T szczegolne

^{. Jednorodne - wiadomo. Zgadn¡¢ jakie± sz ze-}

golne.

Deni je transformatFouriera(dla ogólno± i w

R ⁿ

⁾

f (k) = ˜

Z

R ⁿ x

d ⁿ x e ^−ik·x f (x) , f (x) =

Z

R ⁿ k

d ⁿ k

(2π) ⁿ e ^+ix·k f (k) . ˜

U»yte zne sztu zki: je±li

f (x) = ∂g(x)/∂x l

^{, to}

f (k) = ik ˜ l g(k) , ˜

je±li

f (x) = x l g(x)

^,to

f (k) = i ˜ ∂

∂k _l ˜ g(k) ,

Delty Dira a

δ ⁽ⁿ⁾ (x) = Z

R ⁿ k

d ⁿ k

(2π) ⁿ e ^+ix·k , (2π) ⁿ δ ⁽ⁿ⁾ (k) =

Z

R ^{n x}

d ⁿ x e ^−ik·x .

(Uwaga: tusymbol

δ ⁽ⁿ⁾

^{nieozna za}

n

^{-tejpo hodnej delty, tylko delt w}

R ⁿ

^.)