Ćwiczenia nr 10
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki
Schemat Bernoulliego, pojęcie zmiennej losowej, 16.12.2019
Załóżmy, że pewne doświadczenie losowe składa się z serii jednakowych n doświadczeń, które będziemy nazywać próbami. Zakładamy, że te próby są niezależne oraz każda próba kończy się jednym z dwóch wyni- ków: sukcesem lub porażką. Takie właśnie doświadczenie losowe nazywamy schematem Bernoulliego. Zwykle prawdopodobieństwo sukcesu będziemy oznaczać przez p, a porażki przez q = 1 − p.
Twierdzenie 1. Prawdopodobieństwo uzyskanie dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego wynosi
n k
pkqn−k.
Zadanie 1. Rzucamy monetą 10 razy. Oblicz szanse wyrzucenia dokładnie 5 orłów.
Zadanie 2. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem (a) 3 partie z 4, czy 5 partii z 8,
(b) co najmniej 3 partie z 4, czy co najmniej 5 partii z 8?
Zadanie 3. W meczu piłki nożnej goście wygrywają z prawdopodobieństwem 1/6, gospodarze - z prawdopodo- bieństwem 1/2, a z prawdopodobieństwem 1/3 jest remis. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 14 meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i 3 remisy.
Zadanie 4. Adam i Bolek grają w ping-ponga kończą seta grą na ”przewagę” przy stanie 20 : 20. Wiadomo, że Adam wygrywa 2 piłki na 3. Jaką ma szansę wygranej?
Twierdzenie 2. Najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów w schemacie Bernoulliego (n-prób) jest k = bp(n + 1)c.
Zadanie 5. Rzucamy 10 razy kostką do gry. Niech pk oznacza prawdopodobieństwo, że szóstka pojawi się k-krotnie. Która z liczb p0, p1, p2, p3 jest największa?
Zadanie 6. W kieszeniach, lewej i prawej, mamy po jednym pudełku zapałek. W każdym z pudełek jest na początku m zapałek. Chcąc zapalić papierosa, sięgamy do kieszeni lewej, bądź prawej z jednakowym prawdopodobieństwem, po czym wyciągamy z niej pudełko i jedną z zapałek. Oblicz prawdopodobieństwo, że gdy po raz pierwszy w wylosowanym pudełku nie będzie już zapałek, w drugim będzie ich k.
Zadanie 7. Adam i Bartek grają w „orła i reszkę”. Adam wygrywa, jeśli wyrzuci orła. Jeśli wyrzuci reszkę to monetę oddaje Bartkowi. Celem Bartka jest wyrzucenie reszki. Jeśli wyrzuci orła, moneta wraca do Adama, i tak dalej. Zaczyna Adam. Jakie są szanse wygrania Adama, jeśli
(a) moneta jest symetryczna,
(b) jeśli moneta jest asymetryczna i orzeł wypada dwa razy rzadziej niż reszka.
Zadanie 8. Gracz wpłaca 10 zł za uczestnictwo w następującej grze. Trzy kości są rzucane. W przypadku jednej szóstki gracz otrzymuje nagrodę 20 zł, w przypadku dwóch szóstek – 40 zł, a trzech 80 zł. Czy opłaca się grać?
Zadanie 9. W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy 3 kule (a) ze zwracaniem,
(b) bez zwracania.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby wylosowanych kul czarnych.
Zadanie 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucając
(a) symetryczną monetą 99 razy, orzeł wypadnie co najmniej 50 razy,
(b) kostką sześcienna 9 razy, liczba oczek podzielna przez wypadnie co najmniej 3 razy.
Zadanie 11. W grze bierze udział 10 osób, z których każdy, niezależnie, otrzyma nagrodę z prawdopodobień- stwem p, przy czym pula nagród wynosi 1000 zł i jest rozdzielana pomiędzy zwycięzców po równo. Jeśli nie ma zwycięscy, to (a) nagroda jest rozdzielana po równo, czyli po 100 zł; (b) nagroda przepada. Podaj rozkład zmiennej losowej X będącej wysokością wygranej.
Zadania domowe na 13.1.2020
Zadanie 1. Na n kartonikach napisano n różnych liczb. Kartoniki włożono do pudełka, starannie wymieszano, a następnie losowano kolejno bez zwracania. Niech Ak oznacza zdarzenie, że k-ta wylosowana liczba jest większa od poprzednich.
(a) Uzasadnij, że P (Ak) =k1.
(b) Czy n-tka zdarzeń A1, . . . , An jest niezależna?
Zadanie 2. Dwie drużyny atletyczne A i B rozgrywają serię meczów dopóki jedna z drużyn nie wygra 4 meczów.
Prawdopodobieństwo zwycięstwa każdej z drużyn w każdym meczu wynosi 1/2. Znajdź prawdopodobień- stwo, że rozegranych zostanie (a) co najwyżej 6 meczów; (b) dokładnie 6 meczów, jeśli wiadomo, że drużyna A wygrała pierwsze dwa mecze.
Zadanie 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek sześciennych, suma oczek 8 pojawi się przed sumą równą 7?
2
