Udowodnij, że π &gt

Ćwiczenia nr 7, AM I, 6.12.2019

Szeregi potęgowe, e^z, exp(z), liczby zespolone Definicja. Liczba π jest obwodem koła o średnicy 1.

Zadanie 1. Udowodnij, że π > 3.

Zadanie 2. Udowodnij, że pole koła o promieniu r dane jest wzorem πr².

W drugim semestrze Analizy matematycznej I poznają Państwo uzasadnienie następujących wzorów (x ∈ R):

sin x = x − x³ 3! + x⁵

5! − x⁷ 7! + . . . cos x = 1 −x²

2! +x⁴ 4! − x⁶

6! + . . .

W poniższych zadaniach wolno z nich korzystać. Co więcej, powyższe rozwinięcia przyjmiemy za definicję funkcji sin i cos dla argumentów zespolonych.

Definicja. Definiujemy funkcję exp : C → C wzorem exp(z) = 1 + z + z²

2! +z³ 3! + z⁴

4! + . . . Proszę zauważyć, że dla t ∈ R mamy exp(t) = e^t. (Dlaczego?) Twierdzenie. Dla dowolnych z, w ∈ C mamy

exp(z + w) = exp(z) exp(w).

Zadanie 3. Wyznacz zbiór tych liczb x ∈ R, dla których zbieżny jest szereg:

(a) ^P∞_n=1xⁿ², (b) ^P∞_n=1 ^(2x+1)_n ⁿ,

(c) ^P∞_n=2 ^x_n^n!,

(d) ^P∞_n=1 ⁽⁻¹⁾_2n−1^n1−x_1+x^n,

(e) ^P∞_n=1 ^n·3₂nⁿxⁿ(1 − x)ⁿ. Zadanie 4. Oblicz

(a)

2 + i (1 + i)³ − 2

i, (b)

1 − i

√3 + i

!2019

,

(c) √

2 − i√ 6 1 − i

!2019

.

Zadanie 5. Kąty 0 < α, β, γ < π/2 są takie, że tg α = 1, tg β = 1/2, tg γ = 1/3. Znajdź α + β + γ.

Zadanie 6. Wyraź cos 5x i sin 5x jako wielomian od cos x i sin x.

Zadanie 7. Znajdź wzór na (a) ^P_k­0(−1)^k_2k^n,

(b) ^n₁^cos α +^n₂^cos(2α) +^n₃^cos(3α) + . . ., (c) ^n₀^+^n₃^+^n₆^+ . . .

Zadanie 8. Oblicz wartości wyrażeń:

(a) cos^2π₅ + cos^4π₅ + cos^6π₅ + cos^8π₅ , (b) cos^π₇ + cos^3π₇ + cos^5π₇ ,

(c)

sin² π

18+ sin²5π

18 + sin² 7π 18.

Zadanie 9. Znajdź wszystkie z ∈ C, dla których 1, z², z są kolejnymi wierzchołkami kwadratu.

Zadanie 10. Udowodnij tożsamość 1

1 + x² = 1 2

 1

1 − ix + 1 1 + ix



oraz znajdź rozwinięcia funkcji _1+x¹2, _1−ix¹ oraz _1+ix¹ w szereg potęgowy.

Zadanie 11. Dla jakich z ∈ C zbieżne są ciągi (a) zⁿ, (b) zⁿ², (c) zⁿ⁺¹− zⁿ, (d) z²ⁿ. Zadanie 12. Uzasadnij, że szereg

∞

X

n=1

a n

!

zⁿ

jest zbieżny dla każdej liczby zespolonej a ∈ C. Uwaga, przyjmujemy definicję a

k

!

:= a(a − 1) · . . . · (a − k + 1) k!

gdzie a ∈ C, k = 1, 2, 3, . . ..

Zadanie 13. Uzasadnij, że exp t = e^t dla t ∈ R.

Zadanie 14. Uzasadnij, że dla t ∈ R zachodzi wzór

exp(t · i) = cos t + i sin t.

Przypomnij definicję cos z, sin z, gdy z ∈ C. Czy powyższy wzór jest prawdziwy również dla t ∈ C?

Zadanie 15. Uzasadnij, że każda liczba zespolona jest wartością funkcji cos : C → C.

Zadanie 16. Wykaż, że (2 + i)ⁿ nie jest liczbą rzeczywistą przy żadnym n.

Zadanie 17. Oblicz iloczyn długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpi- sanego w okrąg o promieniu 1.

2