1 0 0 0 sin θ cos θ 0 − cos θ sin θ

Algebra liniowa – dr Michał Góra Zestaw 7. Macierze

Zadanie 1. Oblicz wyznaczniki nast˛epuj ˛acych macierzy:

a)







2 −1 0

1 4 2

−3 2 5





, b)







1  ² 1 y y² 1 z z²





, c)











1 −1 2 0

0 1 0 −3

3 2 −2 4

2 3 1 1









 ,

d)







1 0 0

0 sin θ cos θ 0 − cos θ sin θ





 e)











1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1









 f)















1 −2 1 2 2

−1 2 −1 2 2

1 −1 1 −1 2 1 −2 −1 −1 2 1 −1 1 −1 1













 .

Zadanie 2. Uzasadnij, ˙ze wyznaczynik macierzy A ∈R^n×n(n > 1) o wyrazach nieparzystych jest liczb ˛a parzyst ˛a.

Zadanie 3. Nie obliczaj ˛ac wyznaczników znajd´z rozwi ˛azania podanych równa´n ( ∈R):

a)        

1 +  1 1 1

2 2 2 2

4 6 −  4 4

6 6 6 

= 0, b)        

² 4 9 3

−1 1 − ² −9 −3

1 4 9 3

1 4 ² 3

= 0,

c)         

1 ₀ ²

0 . . . ⁿ .. 0

. ... ... ... ... 1 ⁿ−1 ²

n−1 . . . ⁿ

n−1

1  ² . . . ⁿ         

= 0, gdzie ^ 6= ^j dla , j = 0, . . . , n − 1.

Zadanie 4. Oblicz wyznacznik macierzy A ∈R^n×n spełniaj ˛acych równanie:

a) A²= A^T, b) A^T− A⁻¹ = 0,

c) A²+ A⁻¹= 0, d) A³− 4A⁻¹= 0.

Zadanie 5. Wyznacz macierz odwrotn ˛a do macierzy:

a)

  c b d



b)

 2 1 4 1



c)







1 0 1 2 1 1 1 0 2







d)

 1 +  −1

0 2

 e)







 0 0

0 b 0 0 0 c





 f)







1 0 0

0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ





.

Zadanie 6.* Poka˙z, ˙ze macierz ˛a odwrotn ˛a do macierzy trójk ˛atnej górnej (dolnej) jest macierz trójk ˛atna górna (dolna).

Zadanie 7. Niech A ∈R^n×n. Sprawd´z, czy: A^TA=  ⇒ AA^T = .

16

Zadanie 8. Liczby 1798, 2139, 3255, 4867 dziel ˛a si˛e przez 31. Uzasadnij, ˙ze wyz-

nacznik 

1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 6 7         równie˙z dzieli si˛e przez 31.

Zadanie 9. Wyznacz rz ˛ad macierzy:

a)







2 1 1

2 1 −1 2 −2 1





; b)







0 2 −2 4 2 3 −4 6

−4 0 2 0





; c)

 3 2 1 2 1 1



;

d)

– 2 −4 3 1 −2 ³₂

™

; e)











2 1 1 1

−3 2 0 1 1 4 2 3 2 1 1 4









 .

Zadanie 10. Dla jakich warto´sci parametru  ∈R rz ˛ad macierzy

a)







−2 −1 −  1

 0 −

−1  + ² 1





, b)











 1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1 











jest

a) najmniejszy?

b) najwi˛ekszy?

Zadanie 11. Rozwi ˛a˙z równania:

a)







3 + 2y + z = −1 7 + 6y + 5z = 0 3z + 5 + 6y = 2

; b)







2 + y − z = 1

− y + 2z = −1 4 + 5y − 7z = 5

;

c)







3 − 5y + 2z + 4t = 2 7 − 4y + z + 3t = 5 5 + 7y − 4z − 6t = 3

; d)

 + y −  = 1

2 (1 + )  + (−1 + ) y = 3 ;

e)

 1 2 2 −1

   y



=

 0

−3



; f)

– 3 ¹₂ 12 2

™   b



=

 1 2

 .

Zadanie 12. Zbadaj liczb˛e rozwi ˛aza´n poni˙zszych układów równa´n w zale˙zno´sci od warto´sci parametru  ∈R:

a)







(5 − )  − 2y − z = 1

−2 + (2 − ) y − 2z = 2

− − 2y + (5 − ) z = 1

, b)







+ y = 2 2 − y =  2 − y = 1

.

17

Odpowiedzi:

Zadanie 1: a) 43; b) (y − ) (z − ) (z − y) ; c) −71; d) 1; e) −1; f) 8;

Zadanie 3: a) 0, 2, 6; b) ±1, ±p

5, ±3; c) 0, . . . , _n−1; Zadanie 4: a) 0, 1; b) ±1; c) (−1)ⁿ; d) ±2^{n/ 2};

Zadanie 5:

a)

– d

d−bc

−c

d−bc

−b

d−bc



d−bc

™

; b)

 −1/ 2 1/ 2 2 −1



; c)







2 0 −1

−3 1 1

−1 0 1





;

d)

– ₁

2− ¹₂ ¹

4−¹₄ 0 ¹₂

™

; e)









1

 0 0

0 ¹b 0 0 0 ¹c







; f)







1 0 0

0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ





;

Zadanie 7: Tak: A^TA= ^|A|6=0⇒ A^T = A^TAA⁻¹= A⁻¹ ⇒ AA^T = .

Zadanie 9: a) 3; b) 2; c) 2; d) 1; e) 3;

Zadanie 10: a) dla  6= 0 ∧  6= −1 rz ˛ad wynosi 3, dla  = 0 ∨  = −1 rz ˛ad wynosi 2; b) dla  6= 1 ∧  6= −3 rz ˛ad wynosi 5, dla  = 1 rz ˛ad wynosi 1;

Zadanie 11: a)  = −⁵₄, y= ⁵₄, z= ¹₄; b)  = −¹₃z, y= ⁵₃z+ 1, z ∈R; c) ∅; d)  = ¹₂− ⁵₂, y=

7

2−¹₂; e) ^”−⁶₅,³

5

—^T

; f) ∅;

Zadanie 12:

Liczba rozwi ˛aza´n zadania 0 1 ∞ a) = 0  6= 0 ∧  6= 6  = 6

b) 6= 1 = 1 ∅

18