sin x · cos x f2(4) π 12

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

W każdym z kolejnych 4 zadań podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego wartości pochodnej czwartego rzędu danej funkcji w trzech podanych punktach. Jeżeli licznik lub mianownik jest większy od 100, nie musi być zapisany w po- staci dziesiętnej (może być zapisany np. w postaci potęgi albo w postaci iloczynu liczb dziesiętnych lub potęg).

592. f₁(x) = lnx

f₁⁽⁴⁾(1) = −6 f₁⁽⁴⁾(2) = −3/8 f₁⁽⁴⁾(3) = −2/27

593. f₂(x) = sin x · cos x f₂⁽⁴⁾

π 12



= 4 f₂⁽⁴⁾

π 4



= 8 f₂⁽⁴⁾

π 2



= 0 594. f₃(x) = (2x + 1)^5/2

f₃⁽⁴⁾(0) = −15 f₃⁽⁴⁾(4) = −5/9 f₃⁽⁴⁾(12) = −3/25

595. f₄(x) =√

x³+ 3x²+ 3x + 1

f₄⁽⁴⁾(0) = 9/16 f₄⁽⁴⁾(3) = 9/2⁹= 9/512 f₄⁽⁴⁾(8) = 1/(16 · 27) = 1/432

Wstawić znak ”<” albo ”>” i udowodnić powstałą nierówność:

596. e^x > 1 + x dla x > 0 597. e^x > 1 + x +x²

2 dla x > 0 598. e^x > 1 + x +x²

2 +x³

6 dla x > 0

599. ln(x + 1) < x dla x > 0 600. ln(x + 1) > x −x²

2 dla x > 0 601. ln(x + 1) < x dla −1 < x < 0 602. ln(x + 1) < x −x²

2 dla −1 < x < 0 603. ln(x + 1) < x −x²

2 +x³

3 dla x > 0 604. ln(x + 1) < x −x²

2 +x³

3 dla −1 < x < 0 605. ln(x + 1) > x

2 dla 0 < x < 2

606. arctg x < x dla x > 0 607. arctg x > πx

4 dla 0 < x < 1 608. sin x < x dla x > 0 609. cos x > 1 −x²

2 dla x > 0 610. sin x > x −x³

6 dla x > 0 611. cos x < 1 −x² 2 +x⁴

24 dla x > 0 612. sin x > 2x

π dla 0 < x <π

2 613. sin x > 3x

π dla 0 < x <π 6

Lista 25R - 437 - Strony 437–438

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

614. Funkcja f : [a, b] →R ma w przedziale Df= [a, b] ciągłe pochodne do rzędu trze- ciego włącznie (na końcach przedziału ma pochodne jednostronne równe odpowiednim granicom jednostronnym odpowiednich pochodnych).

a) Czy funkcja f ma w punkcie a ekstremum (jeśli tak, to jakie: minimum czy mak- simum lokalne), jeżeli:

(i) f⁰(a⁺) > 0 MIN (ii) f⁰(a⁺) < 0 MAX

(iii) f⁰(a⁺) = 0, f⁰⁰(a⁺) > 0 MIN (iv) f⁰(a⁺) = 0, f⁰⁰(a⁺) < 0 MAX

(v) f⁰(a⁺) = f⁰⁰(a⁺) = 0, f⁰⁰⁰(a⁺) > 0 MIN (vi) f⁰(a⁺) = f⁰⁰(a⁺) = 0, f⁰⁰⁰(a⁺) < 0 MAX

b) Czy funkcja f ma w punkcie b ekstremum (jeśli tak, to jakie: minimum czy mak- simum lokalne), jeżeli:

(vii) f⁰(b⁻) > 0 MAX (viii) f⁰(b⁻) < 0 MIN

(ix) f⁰(b⁻) = 0, f⁰⁰(b⁻) > 0 MIN (x) f⁰(b⁻) = 0, f⁰⁰(b⁻) < 0 MAX

(xi) f⁰(b⁻) = f⁰⁰(b⁻) = 0, f⁰⁰⁰(b⁻) > 0 MAX (xii) f⁰(b⁻) = f⁰⁰(b⁻) = 0, f⁰⁰⁰(b⁻) < 0 MIN

615. Wyprowadzić wzór na pochodną rzędu 2019 funkcji f :R^→Rokreślonej wzorem f (x) = e^x· sin x .

Otrzymany wzór powienien mieć prostą postać, bez znaku ”^P”, z co najwyżej dwoma znakami ”+” i co najwyżej dwoma znakami ”−”.

Rozwiązanie:

Obliczając kolejne pochodne funkcji f otrzymujemy f⁰(x) = e^x· sin x + e^x· cos x ,

f⁰⁰(x) = e^x· sin x + e^x· cos x + e^x· cos x − e^x· sin x = 2 · e^x· cos x , f⁰⁰⁰(x) = 2 · e^x· cos x − 2 · e^x· sin x ,

f⁽⁴⁾(x) = 2 · e^x· cos x − 2 · e^x· sin x − 2 · e^x· sin x − 2 · e^x· cos x = −4 · e^x· sin x = −4 · f (x) , skąd wynika, że czterokrotne zróżniczkowanie funkcji f jest równoważne z pomnożeniem jej przez −4.

Wobec tego f⁽²⁰¹⁹⁾(x) = d³

dx³f⁽²⁰¹⁶⁾(x) = d³

dx³f^(4·504)(x) = d³

dx³(−4)⁵⁰⁴f (x) = 2¹⁰⁰⁸· f⁰⁰⁰(x) =

= 2¹⁰⁰⁸· (2 · e^x· cos x − 2 · e^x· sin x) = 2¹⁰⁰⁹· e^x· (cos x − sin x) .

Lista 25R - 438 - Strony 437–438