2014-03-20 JarosławPiersa Algorytmystochastyczne,wykład05SystemyLiendenmayera,modelowanieroślin

Algorytmy stochastyczne, wykład 05 Systemy Liendenmayera, modelowanie roślin

Jarosław Piersa

Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika

2014-03-20

1 Systemy Liendenmayera Definicja

2 Grafika żółwiowa Definicja

3 L-systemy Przykład

L-systemy ze stosem Stochastyczne LS

Przypomnienie

gramatyka to system (Σ, A, s0, P),

Σ — symbole terminalne (końcowe / alfabet)

A — symbole nieterminalne (pomocnicze), A ∩ Σ = ∅ s₀ ∈ A — symbol początkowy

P ⊂ (Σ ∪ A)⁺× (Σ ∪ A)^∗ — produkcje / reguły zastępowania zastępujemy jeden symbol w każdym kroku

System Liendenmayera

System Liendenmayera to trójka (Σ, s0, P), Σ — alfabet / symbole

s0 ∈ Σ — symbol początkowy

P ⊂ Σ⁺× Σ^∗ — produkcje / reguły zastępowania symbole terminalne i pomocnicze są utożsamione

jeżeli nie ma jawnej reguły dla symbolu x , to przepisujemy x zastępujemy wszystkie symbole jednocześnie

Przykład

Σ = {a, b}

s0 = a P =

 a → ab b → a



Przykład

w kolejnych iteracjach uzyskujemy a

ab aba abaab abaababa abaababaabaab

abaababaabaababaababa

Obserwacje

powyższy ciąg słów nazywamy słowami Fibonacciego długość n-tego słowa Fibonacciego wynosi F_n dla n → ∞ zachodzi:

długość słowa

liczba liter a = liczba liter a liczba liter b → φ

Ciekawostki

słowo Fibonacciego jest nieokresowe (dla okresów krótszych niż F_n/2)

słowa Fibonacciego mają „kwadraty” (podciąg powtórzony dwa razy po sobie)

każde słowo nad alfabetem binarnym długości 4 lub więcej musi mieć przynajmniej jeden kwadrat!

słowa Fibonacciego nie mają „sześcianów” (podciąg powtórzony trzy razy po sobie)

Ciekawostki

słowa Fibonacciego nadają się jako kodowanie wiadomości z odpornością na szumy / autokorektą

w słowie Fibonacciego nigdy nie wystąpią obok siebie: „aaa” ani

„bb”

odczytanie takiego podciągu oznacza błąd przesyłu wiadomości

Grafika żółwiowa

Dany: Żółw na płaszczyźnie z przymocowanym do skorupy pisakiem

(x , y ) położenie żółwia α ∈ [0, 2π) orientacja żółwia

Grafika żółwiowa

Żółw może

F — iść naprzód o s kroków rysując linię pisakiem

lub dowolny symbol pisany wielką literą

x := x + s · cos(α) y := y + s · sin(α) α bez zmian

Grafika żółwiowa

Żółw może

f — iść naprzód o s kroków bez rysowania kreski

x := x + s · cos(α) y := y + s · sin(α) α bez zmian

Grafika żółwiowa

Żółw może

+ — obrót w lewo o kat θ (x , y ) bez zmian

α := (α + θ)( mod 2π) wzorek dla układu

kartezjańskiego z osią OY zorientowaną „do góry”

Grafika żółwiowa

Żółw może

− — obrót w prawo o kat θ (x , y ) bez zmian

α := (α − θ)( mod 2π)

Przykład

Deterministyczne bezkontekstowe Σ = {F, f , +, −}

s₀ = F

P = {F → F+F–F+F}

α = π/3

Przykład

n = 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

n = 2

4 5 6 7 8 9

n = 3

0 5 10 15 20 25

-15 -10 -5 0 5

n = 4

40 50 60 70 80

n = 5

0 50 100 150 200

-150 -100 -50 0 50

L-Systemy z nawiasami

L-Systemy nawiasowe / ze stosem / z rozgałęzieniami Do alfabetu dołączamy dodatkowo: ’[’ oraz ’]’

Σ = {F , f , +, −, [, ]}

[ — zapisz bieżącą pozycję i orientację żółwia (połóż kopię na stosie)

] — odtwórz zapisaną pozycję (zdejmij ze stosu)

Przykład

L-Systemy nawiasowe / ze stosem / z rozgałęzieniami Σ = {F , L, +, −, [, ]}

L — to samo co F , ale inne reguły produkcyjne Produkcje

P = { F → L[+F ][−F ] L → LL } s0 = F

Przykład

n = 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.60.8

n = 2

1 1.5 2 2.5 3 3.5

n = 3

0 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 0 1 2 3

n = 4

4 6 8 10 12 14

n = 5

0 5 10 15 20 25 30

-15 -10 -5 0 5 10 15

n = 6

10 20 30 40 50 60

Stochastyczne LS

Stochastyczne / niedeterministyczne

W zbiorze produkcji dopuszczamy dwa lub więcej produkcji o tym samym poprzedniku

Np.

P = { F → L[+F ][−F ] F → L[F ][−F ] F → L[+F ] } wybieramy losową z nich

jeżeli jest tylko jedna, to wybieramy zawsze ją

Przykład

0 2 4 6 8 10 12

-6 -4 -2 0 2 4

0 2 4 6 8 10 12 14

-2 0 2 4 6 8

-6 -4 -2 0 2 4

2 4 6 8 10 12 14

-5 0 5 10 15

-10 -5 0 5 10

2 4 6 8 10 12 14 16

Szum

do obrotu i przesunięcia dodajemy małą zmienną losową zamiast przesunięcie o s, przesuwamy o s + N(0, σ²) zamiast obrót o θ, obracamy o θ + N(0, τ²)

Przykład

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 0

5 10 15 20 25

-5 0 5 10 15

Liście i kwiaty

dodajemy dodatkowo symbole i produkcje F → [+GL]F F → [−GP]F

L — liść / leaf, P — kwiat /petel, G — nienadpisywane przesunięcie (G → G )

Przykład

0 5 10 15

-5 0 5 10

0 5 10 15 20

-15 -10 -5 0 5

Źródła

P. Prosiunkiewicz, A. Liendenmayer, The algorithmic beaty of plants