Zadania domowe z mechaniki Kwantowej IIA
Seria 7
1. Wyka˙z, ˙ze dla cz ˛astki o spinie 1/2 i masie m, poruszaj ˛acej si˛e z p˛edem ~k, zachodzi
Tr [Λ±(k)P (±n)] = 1. (1)
W powy˙zszym wyra˙zeniu Λ±(k) = ±k/+m2m , P (n) = 12(1 + γ5n/), oraz n2 = −1, n · k = 0.
2. Stan swobodnego elektronu w chwili t = 0 opisany jest funkcj ˛a
ψ(t = 0, ~x) = 1
(πd2)3/4e−|~2d2x|2
1 0 0 0
. (2)
Znajd´z ψ(t > 0, ~x).
3. Okre´sl skr˛etno´s´c fotonów opisanych wektorami polaryzacji ²µ+(k~ez) = 1/√
2(0, 1, i, 0)T oraz
²µ−(k~ez) = 1/√
2(0, 1, −i, 0)T.
4. Jak nale˙zy zmodyfikowa´c rozkład skwantowanego pola Dirakowskiego na operatory kreacji i anihilacji aby wykona´c granic˛e m → 0? Jak ˛a posta´c przyjm ˛a w tej granicy operatory rzu- towania na stany o dodatniej i ujemnej energii? Jak wygl ˛ada´c b˛ed ˛a w tej granicy warunki normalizacji spinorów u i v?
5. Wektory okre´slaj ˛ace liniowe polaryzacje poprzecznych fotonów w cechowaniu Coulomba speł- niaj ˛a zwi ˛azki: ~k~²1(~k) = ~k~²2(~k) = 0, ~²r(~k)~²s(~k) = δrs, ~²1(~k) × ~²2(~k) = ~k/|~k|, ~²1(−~k) = ~²1(~k),
~²2(−~k) = −~²2(~k). Znajd´z jawn ˛a posta´c operatora rzutowego Iij(~k) = Ps=2s=1²is(~k)²js(~k), i, j = 1, 2, 3.
6. Korzystaj ˛ac z poprzedniego zadania znajd´z propagator fotonu w cechowaniu Coulomba:
Dtrij(x) = −ih0|T (Ai(x)Aj(0))|0i, (3) gdzie indeks tr przypomina o warunku poprzeczno´sci div ~A = 0, i, j = 1, 2, 3.
1
