Zadania domowe z mechaniki Kwantowej IIA

(1)

Zadania domowe z mechaniki Kwantowej IIA

Seria 5

1. Znajd´z bispinor o spiralno´sci λ = ¹₂~Σ_|~^~^p_p| = +¹₂ dla elektronu o masie m poruszaj ˛acego si˛e z p˛e- dem ~p = p (sin(α), 0, cos(α)). W tym celu wykonaj odpowiedni ˛a transformacj˛e na bispinorze, który jest stanem własnym operatora Σ³.

2. Skwantuj pole Diraka w pudle o obj˛eto´sci V . Poka˙z, ˙ze energia pró˙zni jest proporcjonalna do V . (Nałó˙z na funkcje falowe odpowiednie warunki na brzegach pudła.)

3. Oblicz na dwa sposoby wyra˙zenie ¯u(p⁰)(p/⁰γ^µ+ γ^µp/)u(p) i poka˙z, ˙ze

2m¯u(p⁰)γ^µu(p) = ¯u(p⁰)(p⁰+ p)^µu(p) + i¯u(p⁰)σ^µν(p⁰− p)_νu(p). (1) 4. Oblicz

h0|T ^³ψ(x) ¯ψ(0)^´|0i, (2)

gdzie ψ jest bispinorowym operatorem pola Dirakowskiego, za´s uporz ˛adkowanie czasowe dla dwu operatorów fermionowych zdefiniowane jest nast˛epuj ˛aco: T (A(x)B(0)) = θ(x⁰)AB − θ(−x⁰)BA.

5. Niech u(p) oznacza swobodn ˛a cz ˛astk˛e Diraka o dodatniej energii, w reprezentacji Diraka.

Wykonaj przekształcenie u⁰(p) = Uu(p), za pomoc ˛a macierzy unitarnej U = e^{W ~γ~n} gdzie

~n~n = 1 oraz tan(W ) = _m+E^|~^p|_p. Znajd´z postać hamiltonianu Diraka w bazie rozwi ˛azań otrzy- manych z u(p) (i v(p)) za pomoc ˛a przekształcenia U . Wskazówka: dokonaj transformacji podobieństwa na standardowym swobodnym Hamiltonianie Diraka, H⁰ = UHDU⁻¹.

6. Moment p˛edu kwantowego pola Diraka zadany jest wyra˙zeniem M_µν =

Z

d³xψ^†(x)

·

i(x_µ∂_ν − x_ν∂_µ) + 1 2σ_µν

¸

ψ(x). (3)

Poka˙z, ˙ze

[M_µν, ψ(x)] = −i(x_µ∂_ν− x_ν∂_µ)ψ(x) − 1

2σ_µνψ(x). (4)

7. Fala płaska opisuj ˛aca stan z dodatni ˛a energi ˛a

ψin(x) = e^ikx







1 0

k E+m0





, (5)

pada z lewej strony na próg potencjału o wysoko´sci V₀ > 0, V (x)

( 0, x < 0 (obszar I)

V₀, x ≥ 0 (obszar II) . (6)

1

(2)

Zapisz fale odbit ˛a i przechodz ˛ac ˛a w postaci sumy dwu fal o ró˙znych skr˛etno´sciach. Rozwa˙z przypadek gdy V₀− E > m. U˙zywaj ˛ac warunków ci ˛agło´sci sprawd´z czy skr˛etno´s´c zachowuje si˛e w tym procesie.

2