Zadania z Mechaniki Kwantowej II A Seria 2

(1)

Zadania z Mechaniki Kwantowej II A Seria 2

1. Znajd´z granic˛e nierelatywistyczn ˛a równania Kleina-Gordona dla cz ˛astki oddziałuj ˛acej z po- tencjałem elektrostatycznym (skorzystaj z zasady minimalnego sprz˛e˙zenia). Znajd´z wyra˙zenia na zachowany pr ˛ad w obu przypadkach, relatywistycznym i nierelatywistcznym.

2. Sprawd´z, ˙ze działanie

S =

Z

d⁴x√

−g1

2(g^µν∂_µφ∂_νφ − m²φ²), (1) gdzie φ jest rzeczywistym polem skalarnym, φ(x) = φ⁰(x⁰), pozostaje niezmiennicze pod działaniem transformacji współrz˛ednych x^µ0 = x^µ0(x). Pod działaniem tej transformacji:

g^{µν 0}(x⁰) = g^αβ(x)^∂x_∂x^µ0α ∂x^{ν 0}

∂x^β, za´s m⁰ = m (g = det(g_µν)).

3. Podstawowa relacja komutacyjna dla bozonowych operatorów kreacji i anihilacji wygl ˛ada nast˛epu- j ˛aco: [a, a^†] = 1, [a, a] = [a^†, a^†] = 0, gdy [A, B] = AB − BA. Poka˙z, ˙ze dla stanów własnych |n > operatora a^†a, a^†a|n >= n|n >, zachodz ˛a zwi ˛azki: a) n = 0, 1, 2, ... , b) a|n >=√

n|n − 1 >, c) a^†|n >=√

n + 1|n + 1 >.

4. Podstawowa relacja komutacyjna dla fermionowych operatorów kreacji i anihilacji wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: {a, a^†} = 1, {a, a} = {a^†, a^†} = 0, gdzie {A, B} = AB + BA. Poka˙z, ˙ze dla stanów własnych |n > operatora a^†a, a^†a|n >= n|n >, zachodz ˛a zwi ˛azki: a) n = 0, 1 , b) a|n >=√

n|n − 1 >, c) a^†|n >=√

1 − n|n + 1 >.

5. Rozwa˙z rzeczywiste swobodne pole skalarne φ(x) i jego rozkład na operatory kreacji i anihi- lacji:

φ(x) = 1

√V

X

~k

√1

2E_k(a_ke^−ikx+ a^†e^+ikx). (2) Poka˙z, ˙ze: a) H =^P_~kEk(a^†_kak+ 1/2), b) e^iHtake^−iHt = ake^−iE^k^t.

Przyjmij nast˛epuj ˛ac ˛a definicj˛e operatora p˛edu: ~P = ^P_~k~ka^†_kak . Niech P^µ|K >= K^µ|K > . Poka˙z, ˙ze

< K|φ(x)φ(y)|K >=< K|φ(x − y)φ(0)|K >, (3) (P⁰ = H).

1