Udowodni´c, ˙ze (a) A0 = &#34

Zadania do wyk ladu ,,Modele liniowe”

dla IV roku matematyki, zastosowania rach. prob i stat. r.a. 2010/2011 Lista nr 3

1. Macierze blokowe maja

‘np. posta´c:

A =

"

P Q R S

# , gdzie macierze P i Q maja

‘jednakowa

‘liczbe

‘ wierszy, a macierze P i R maja

‘jednakowa

‘liczbe

‘kolumn itd.

Udowodni´c, ˙ze (a)

A⁰ =

"

P⁰ R⁰ Q⁰ S⁰

#

; (b)

AB =

"

P Q R S

# "

E G

#

=

"

PE + QG RE + SG

#

; (c)

AC =

"

P Q R S

# "

E F

G H

#

=

"

PE + QG PF + QH RE + SG RF + SH

# , zak ladaja

‘c, ˙ze wszystkie iloczyny istnieja

‘. 2. Wyznaczniki macierzy blokowych.

(a) Niech E i G be

‘da

‘macierzami kwadratowymi, a O macierza

‘z lo˙zona

‘z zer. Udowodni´c, ˙ze   

E F

O G  

=

|E||G|.

(b) Niech A i D be

‘da

‘macierzami kwadratowymi (by´c mo˙ze r´o˙znego stopnia), przy czym A niech be

‘dzie macierza

‘ nieosobliwa

‘. Udowodni´c, ˙ze   

A C B D

 = |A||D − BA⁻¹C|. (Wskaz´owka do (b): Pomno˙zy´c macierz blokowa

‘ po lewej stronie przez macierz

"

I O

−BA⁻¹ I

#

, gdzie I oznacza macierz jednostkowa

‘ odpowiedniego rozmiaru, a O macierz z lo˙zona

‘z zer, i skorzysta´c z wyniku zadania (a).)

3. ´Slad macierzy kwadratowej A, oznaczamy przez tr(A), definiujemy jako sume‘element´ow diagonal- nych tej macierzy. Udowodni´c:

(a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B); (b) tr(AB) = tr(BA); (c) tr(S⁻¹AS) = tr(A);

(d) tr(A) = rz(A), gdy A jest macierza

‘idempotentna

‘; (e) X⁰AX = tr(AXX⁰), gdzie X jest wektorem kolumnowym.

4. Wiadomo, ˙ze dla dowolnej macierzy A istnieja

‘nieosobliwe macierze B i C takie, ˙ze BAC = ∆, gdzie

∆ jest macierza

‘ diagonalna

‘. Niech ∆⁻ oznacza macierz powstaja

‘ca

‘w wyniku zasta

‘pienia niezerowych element´ow macierzy ∆⁰ ich odwrotno´sciami. W´owczas A⁻ = C∆⁻B jest uog´olniona

‘macierza

‘odwrotna do macierzy A. Udowodni´c, ˙ze dla tak skonstruowanej macierzy A⁻ zachodzi: a) A⁻AA⁻ = A⁻; b)‘ (A⁻)⁻= A; c) rz(A⁻) = rzA.

5. Niech A be

‘dzie macierza

‘stopnia m × n rze

‘du r. Istnieje nieosobliwa podmacierz B rze

‘du r; macierz te‘ mo˙zna otrzyma´c przez ewentualne skre´slenie niekt´orych wierszy i kolumn macierzy A. Macierz A, przez odpowiednie przestawienie wierszy i kolumn mo˙ze by´c zapisana w postaci naste

‘puja

‘cej macierzy blokowej:

A =

"

B C D E

# .

a) Sprawdzi´c (zauwa˙zywszy, ˙ze E = DB⁻¹C), ˙ze macierz A⁻=

"

B⁻¹ O

O O

#

jest uog´olniona‘macierza‘odwrotna‘do macierzy A.

b) Udowodni´c, ˙ze A⁻AA⁻= A⁻. c) Rozpatrzmy macierz

A⁻₀ =

"

B⁻¹ −K

O I

# ,

gdzie K jest taka

‘macierza

‘, ˙ze BK = C oraz DK = E. Udowodni´c, ˙ze macierz A⁻₀ jest r´ownie˙z uog´olniona macierza ‘

‘odwrotna

‘do macierzy A i ponadto rz(A⁻₀) = min(m, n).

6. Wyznaczy´c uog´olnione macierze odwrotne (je´sli mo˙zna, to wie

‘cej ni˙z jedna

‘) dla naste

‘puja

‘cych macierzy:

a) A =





4 1 2 1 1 5 3 1 3



, b) B =





1 2 5 2

3 7 12 4 0 1 −3 −2



.

7. W celu oszacowania parametr´ow θ i φ mo˙zna dokona´c obserwacji trzech typ´ow:

a) warto´s´c oczekiwana obserwowanej zmiennej losowej jest r´owna θ, b) warto´s´c oczekiwana obserwowanej zmiennej losowej jest r´owna θ + φ, c) warto´s´c oczekiwana obserwowanej zmiennej losowej jest r´owna θ − 2φ.

Niech wszystkie obserwacje be

‘da

‘nieskorelowane ze sta la

‘wariancja

‘σ². Wyznaczy´c estymatory MNK ˆθ i ˆφ w przypadku, gdy mamy m obserwacji typu a), m obserwacji typu b) i n obserwacji typu c). Udowodni´c,

˙ze estymatory te nie sa

‘skorelowane przy m = 2n.

8. Udowodni´c, ˙ze ka˙zda funkcja parametryczna jest estymowalna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz X⁰X jest nieosobliwa.

9. Udowodni´c, ˙ze funkcja liniowa a⁰Y ma minimalna

‘wariancje

‘ w klasie nieobcia

‘˙zonych estymator´ow swojej warto´sci oczekiwanej wtedy i tylko wtedy, gdy

Cov(a⁰Y , b⁰Y ) = 0 (1)

dla wszystkich b takich, ˙ze

E(b⁰Y ) = 0. (2)

(Wskaz´owka: Zauwa˙zy´c, ˙ze (1) jest r´ownowa˙zne r´owno´sci a⁰b = 0, a (2) jest r´ownowa˙zne r´owno´sci b⁰X = 0.) 10. Udowodni´c, ˙ze je´sli macierz X⁰X jest nieosobliwa, to

R²₀ = Y⁰[I − X(X⁰X)⁻¹X⁰]Y =   

Y⁰Y X⁰Y Y⁰X X⁰X

|X⁰X| . 11. Rozpatrzmy model liniowy (Y , Xβ, σ²V), gdzie V jest macierza

‘dodatniookre´slona

‘. Udowodni´c, ˙ze ka˙zde rozwia

‘zanie r´ownania X⁰V⁻¹Xβ = X⁰V⁻¹Y minimalizuje forme

‘ kwadratowa

‘(Y − Xβ)⁰V⁻¹(Y − Xβ).

12. Przypu´s´cmy, ˙ze nale˙zy wybra´c model regresji postaci

E(Y_i) = β₀+ β₁x_i+ β₂φ(x_i), i = 1, 2, 3,

gdzie φ(x) jest wielomianem drugiego stopnia. Znale´z´c taki wielomian φ(x), dla kt´orego przy x₁= −1, x₂ = 0, x₃= 1 macierz planu X ma wzajemnie ortogonalne kolumny.

13. Metoda najmniejszych kwadrat´ow przy ograniczeniach na parametry: mno˙zniki Lagrange’a. Niech Y = Xβ + ε, gdzie X jest macierza

‘rozmiaru n × m rze

‘du m. Minimalizujemy sume

‘ kwadrat´ow b led´ow ε⁰ε przy ograniczeniach Aβ = c, gdzie A jest znana

‘macierza

‘rozmiaru q × m rze

‘du q, a c jest znanym wektorem o q sk ladowych.

a) Stosuja

‘c metode

‘ mno˙znik´ow Lagrange’a wykaza´c, ˙ze rozwia

‘zaniem odpowiednich r´owna´n w zadaniu na minimalizacje

‘sumy kwadrat´ow b le

‘d´ow przy zadanych ograniczeniach jest wyra˙zenie:

βˆ_H = ˆβ + (X⁰X)⁻¹A⁰[A(X⁰X)⁻¹A⁰)⁻¹(c − Aˆβ), gdzie ˆβ jest estymatorem MNK wektora β, wyznaczonym odpowiednia

‘procedura

‘, bez ogranicze´n na parame- try.

b) Udowodni´c, ˙ze ˆβ_H minimalizuje ε⁰ε przy warunku Aβ = c.

(Wskaz´owka: zob. np. G.A.F. Seber, Linear Regression Analysis, New York 1977. W naszej bibliotece jest przek lad rosyjski.)

ML-11-3.tex

11.4.2010 r. J. Bartoszewicz