Zad. 1. a) (za 5 pkt.) Udowodni´c wzór

Egzamin z TCiWdTD dn. 7.02.2013



Nazwisko i imi ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz ´ Cw X

Zad. 1. a) (za 5 pkt.) Udowodni´c wzór

L

∙  ()



¸ () =

Z ∞



 () ,

gdzie  () = L {} () jest transformat ˛a Laplace’a funkcji , a droga całkowania jest tak dobrana, ˙ze Re  → +∞.

b) (za 5 pkt.)

Wyznaczy´c L [Si ()] (), gdzie Si () = Z 

0 sin( )

  (tzw. sinus całkowy).

Zad. 2. a) (za 7 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania:  ⁰⁰ + 2 ⁰ + 2 =  () z warunkami pocz ˛ atkowymi

 (0 ⁺ ) =  ⁰ (0 ⁺ ) = 0, gdzie  oznacza funkcj ˛e dan ˛ a posiadaj ˛ ac ˛ a transformat ˛e Laplace’a.

b) (za 3 pkt.)

Sformułowa´c wykorzystane własno´sci transformaty Laplace’a.

Zad. 3. a) (za 4 pkt.)

Wyprowadzi´c wzór na L ⁻¹ {ln } w sensie dystrybucyjnym.

b) (za 6 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c w przestrzeni dystrybucji równanie ró˙zniczkowe

 ²  ²  + 4 + 2 = .

Zad. 4. a) (za 4 pkt.)

Wykaza´c, ˙ze  − () = (−1) ^   () dla  ∈ N,  ∈ C.

b) (za 6 pkt.)

Wykaza´c, ˙ze je´sli   () = 0, to  _+1 () 6= 0 dla  ∈ C.

Zad. 5. a) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i wyprowadzi´c wzór sumacyjny Poissona.

b) (za 5 pkt.)

Korzystaj ˛ ac ze wzoru sumacyjnego Poissona dla funkcji  () =  ^−

(  0) pokaza´c, ˙ze X +∞

=−∞

 ^−

^

= 1

√ 

+∞ X

=−∞

 ^−

.

Zad. 6. (za 10 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c zagadnienie:

 ² 

 ² +  ² 

 ² = 0 dla 0     ,

z warunkami:  ⁰ _ (0 ) =  ⁰ _ ( ) =  ⁰ _ ( 0) = 0,  ⁰ _ ( ) =  ₀ 6= 0.