Petr Hliněný, FI MU Brno, / 18 FI: IB000: Skládání a Funkce

(1)

Petr Hlinˇený, FI MU Brno, 2017 1 / 18 FI: IB000: Skládán´ı a Funkce

7 Skl´ ad´ an´ı relac´ı a funkc´ı 7 Skl´ ad´ an´ı relac´ı a funkc´ı

Látku o relac´ıch zakonˇc´ıme poznatky o obracen´ı a skládán´ı relac´ı mezi sebou.

Kde jste se jiˇz intuitivnˇe setkali se skládán´ım funkc´ı – jak napˇr´ıklad spoˇc´ıtáte na kalkulaˇcce výsledek sloˇzitˇejˇs´ıho vzorce? A jinde?✷Co tˇreba relaˇcn´ı databáze?

Struˇcn´y pˇrehled lekce Struˇcn´y pˇrehled lekce

* Inverze a skládán´ı relac´ı v obecném pojet´ı. Praktické pouˇzit´ı.

* Pˇrehled z´akladn´ıch vlastnost´ı funkc´ı.

* Skládán´ı funkc´ı (coby relac´ı), speciálnˇe aplikováno na permutace.

(2)

Relace a funkce, zopakov´an´ı

• Relace mezi mnoˇzinami A1,· · · , Ak, pro k∈ ^N, je libovolná podmnoˇzina kartézského souˇcinu

R ⊆ A1× A2× · · · × Ak.

Pokud A1 = A2 = · · · = Ak = A, hovoˇr´ıme ok-´arn´ı relaciR na A. ✷

• (Totáln´ı) funkcez mnoˇzinyAdo mnoˇzinyB je relacef meziAaB taková, ˇze pro kaˇzdéx∈ Aexistuje právˇe jednoy ∈ B takové, ˇze(x, y) ∈ f.

✷

∗ MnoˇzinaAse nazývádefiniˇcn´ı obora mnoˇzinaBobor hodnotfunkcef. Funkc´ım se také ˇr´ıkázobrazen´ı.

∗ M´ısto(x, y) ∈ f p´ıˇseme obvykle f(x) = y. Z´apisf : A → B ˇr´ık´a, ˇzef je funkce s definiˇcn´ım oborem Aa oborem hodnotB.

(3)

• Pokud naˇs´ı definici funkce uprav´ıme tak, ˇze poˇzadujeme pro kaˇzdé x ∈ A nejvýˇse jedno y ∈ B takové, ˇze (x, y) ∈ f, obdrˇz´ıme definici parciáln´ı funkce zA doB.

✷

(4)

7.1 Inverze a skládán´ı relac´ı 7.1 Inverze a skládán´ı relac´ı

Ve výkladu se nyn´ı vrát´ıme k obecnému pojet´ı relac´ı mezi dvˇema mnoˇzinami.

Definice: Necht’ R ⊆ A × B je bin´arn´ırelace mezi A a B. Inverzn´ı relace k relaci R se znaˇc´ıR⁻¹ a je definov´ana takto:

R⁻¹ = {(b, a) | (a, b) ∈ R}

R: s

s s

A B

R⁻¹: s s s

s s

A B

✷

R⁻¹ je tedy relacemezi B a A.

(5)

Definice skl´ad´an´ı

Definice 7.1. Sloˇzen´ı (kompozice) relac´ıR aS.

Necht’ R ⊆ A × B a S ⊆ B × C jsou bin´arn´ı relace. Sloˇzen´ı relac´ıR a S (v tomto poˇrad´ı!) je relace S◦ R ⊆ A × C definovan´a takto:✷

S◦ R = {(a, c) |existuje b∈ B takov´e, ˇze (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ S}

R:

s s s

s s

s s s

s

A B C

:S S◦ R:

s s s

A C

✷

Sloˇzen´ı relac´ı ˇcteme

”R sloˇzeno s S“ nebo (pozor na poˇrad´ı!)

”S poR“.

(6)

Nˇekolik matematických pˇr´ıklad˚u skládán´ı relac´ı následuje zde.

• Je-li ∗ A= {a, b}, B = {1, 2}, C = {X, Y },

∗ R= {(a, 1), (b, 1), (b, 2)}, S= {(1, X)}, pak sloˇzen´ım vznikne relace

∗ S◦ R = {(a, X), (b, X)}. ✷

• Sloˇzen´ım funkc´ıh(x) = x² af(x) = x + 1 na ^Rvznikne funkce (f ◦ h) (x) = f (h(x)) = x²+ 1.✷

• Sloˇzen´ım tˇechˇze funkc´ı

”naopak“ ale vznikne funkce (h ◦ f ) (x) = h(f (x)) = (x + 1)².✷

Poznámka: Nepˇr´ıjemné je, ˇze v nˇekterých oblastech matematiky (napˇr´ıklad v algebˇre pˇri skládán´ı zobrazen´ı) se setkáme s právˇe opaˇcným zápisem skládán´ı, kdy se m´ısto S◦ Rp´ıˇseR· S nebo jenRS.

(7)

Tvrzen´ı 7.2. Necht’R⊆ A × B aS ⊆ B × C jsou bin´arn´ı relace. Pak inverz´ı sloˇzen´e relace S◦ R je relace

R:

s s s

s s

s s s

s

A B C

:S

(S ◦ R)⁻¹ =✷R⁻¹◦ S⁻¹.

(8)

7.2 Praktické pouˇzit´ı skládán´ı 7.2 Praktické pouˇzit´ı skládán´ı

Pˇr´ıklad 7.3. Skládán´ı v relaˇcn´ı databázi student˚u, jejich pˇredmˇet˚u a fakult.

Mˇejme dvˇe binárn´ı relace – jednuRpˇriˇr. student˚um MU kódy jejich zapsaných pˇredmˇet˚u, druhou S pˇriˇr. kódy pˇredmˇet˚u jejich mateˇrským fakultám.

R:

student (uˇco) pˇredmˇet (k´od)

121334 MA010

133935 M4135

133935 IA102

155878 M1050

155878 IB000

S:

pˇredmˇet (k´od) fakulta MU

MA010 FI

IB000 FI

IA102 FI

M1050 PˇrF

M4135 PˇrF

✷

Jak z tˇechto

”tabulkových“ relac´ı zjist´ıme, kteˇr´ı studenti maj´ızapsané pˇredmˇety na kterých fakultách(tˇreba na FI)?✷

Jedn´a se jednoduˇse osloˇzen´ı relac´ıS◦ R. V naˇsem pˇr´ıkladˇe tˇreba:

S◦ R :

student (uˇco) fakulta MU

121334 FI

133935 FI

133935 PˇrF

155878 FI

155878 PˇrF ✷

(9)

Zobecnˇené skládán´ı relac´ı

Definice: (skl´ad´an´ı relac´ı vyˇsˇs´ı arity): Mˇejme relaceT ⊆ K1× K2× · · · × Kk

a U ⊆ L1 × L2 × · · · × Lℓ, pˇriˇcemˇz pro nˇejaké m <min(k, ℓ) plat´ı L1 = K_k−m+1, L2 = K_k−m+2, . . . , L_m = Kk. ✷Pak relaciT lze sloˇzit s relac´ıU na zvolených m sloˇzkáchL1, . . . , L_m (

”pˇrekryt´ı“) spouˇzit´ım Definice 7.1takto:

• PoloˇzmeA= K1×· · ·×K_k−m, B = L1×· · ·×LmaC= Lm+1×· · ·×Lℓ.

• Pˇr´ısluˇsn´e relace pak jsou

∗ R= {(~a,~b) ∈ A × B | (a1, . . . a_k−m, b1, . . . b_m) ∈ T } a

∗ S = {(~b, ~c) ∈ B × C | (b1, . . . bm, cm+1, . . . c_ℓ) ∈ U }.✷

• Nakonec pˇrirozenˇe poloˇzmeU ◦mT ≃ S ◦ R, takˇze vyjde U◦mT =

(~a, ~c) | ex. ~b ∈ B, ˇze (a1, . . . a_k−m, b1, . . . bm) ∈ T a (b1, . . . bm, cm+1, . . . cℓ) ∈ U .

Schematicky pro snadnˇejˇs´ı orientaci:

T ⊆ K1× · · · × K_k−m× K_k−m+1× · · · × Kk

U ⊆ L1 × · · · × Lm ×Lm+1× · · · × Lℓ

U◦mT ⊆ K1× · · · × K_k−m

| {z }

A

× | {z }

B

× Lm+1× · · · × Lℓ

| {z }

C

(10)

Pˇr´ıklad 7.4. Skládán´ı v relaˇcn´ı databázi pasaˇzér˚u a let˚u u let. spoleˇcnost´ı.

Pod´ıvejme se na pˇr´ıklad hypotetické rezervace let˚u pro cestuj´ıc´ı, relace T. Jak známo (tzv. codeshare), letecké spoleˇcnosti si mezi sebou

”dˇel´ı“ m´ısta v letadlech, takˇze r˚uzné lety (podle kód˚u) jsou ve skuteˇcnosti realizovány stejným letadlem jedné ze spoleˇcnost´ı. To zase ukazuje relace U.

T:

pasaˇz´er datum let

Petr 5.11. OK535

Pavel 6.11. OK535

Jan 5.11. AF2378

Josef 5.11. DL5457 Alena 6.11. AF2378

U :

datum let letadlo

5.11. OK535 CSAˇ

5.11. AF2378 CSAˇ

5.11. DL5457 CSAˇ

6.11. OK535 AirFrance 6.11. AF2378 AirFrance

✷

Ptáme-li se nyn´ı, setkaj´ı se Petr a Josef na palubˇe stejného letadla? Pˇr´ıpadnˇe, ˇc´ı letadlo to bude? Odpovˇedi nám dá sloˇzen´ı relac´ıU◦2T, jak je popsáno výˇse.

U◦2T :

pasaˇz´er letadlo

Petr CSAˇ

Josef CSAˇ

Pavel AirFrance

. . . . . .

✷

(11)

7.3 Vlastnosti funkc´ı 7.3 Vlastnosti funkc´ı

Definice 7.5. Funkce (pˇr´ıpadnˇe parci´aln´ı funkce)f : A → B je

• injektivn´ı(nebo taképrostá) právˇe kdyˇz pro kaˇzdéx, y ∈ A, x 6= y plat´ı f(x) 6= f (y);

s s

X

✷

• surjektivn´ı(nebo tak´e

”na“) právˇe kdyˇz pro kaˇzdé y∈ B existujex ∈ A takové, ˇzef(x) = y;

s s

X

^✷

• bijektivn´ı(vzáj.jednoznaˇcná) právˇe kdyˇz je injektivn´ı asouˇc. surjektivn´ı.✷

s s

(12)

Následuj´ı jednoduché ukázky vlastnost´ı funkc´ı.

• Funkce plus:^N×^N→^Nje surjektivn´ı, ale nen´ı prost´a.✷

• Funkce g:^Z→^Ndan´a pˇredpisem

g(x) = −2x − 1 jestliˇze x < 0,

2x jinak

je bijektivn´ı.✷

• Funkce ∅ : ∅ → ∅je bijektivn´ı.✷

• Funkce ∅ : ∅ → {a, b}je injektivn´ı, ale nen´ı surjektivn´ı.✷

Pˇr´ıklad 7.6. Dok´azali byste nal´ezt jednoduˇse (tj.

”hezky“) vypoˇcitatelnou bi- jektivn´ı funkci ^N→^N×^N?✷

✷

Pˇr´ıklad 7.7.Pro jak´e hodnoty parametr˚ua, bje funkcef(x) = ax³+3x²+bx+1 z ^Rdo^Rinjektivn´ı ˇci surjektivn´ı?

✷

(13)

Inverze funkce

Inverze funkce je d´ana definic´ı inverze relace z Odd´ılu 7.1.

Pˇr´ıklady inverz´ı pro bˇeˇzn´e funkce:

• Inverz´ıbijektivn´ıfunkce f(x) = x + 1na ^Zje funkce f⁻¹(x) = x − 1.✷

• Inverz´ıprost´e funkcef(x) = e^x na ^Rjeparci´aln´ıfunkce f⁻¹(x) = ln x.✷

• Funkceg(x) = x mod 3nen´ı prost´ana^N, a proto jej´ı inverz´ı je

”jen“relace g⁻¹= {(a, b) | a = b mod 3}.

Konkr´etnˇe g⁻¹={(0,0),(0,3),(0,6), . . . ,(1,1),(1,4), . . . ,(2,2),(2,5), . . .}.✷

Tvrzen´ı 7.8. Mˇejme funkcif : A → B. Pak jej´ı inverzn´ı relacef⁻¹ je a) parciáln´ı funkceprávˇe kdyˇzf je prostá, ✷

b) funkce pr´avˇe kdyˇzf je bijektivn´ı. ✷

Tvrzen´ı 7.9. Je-li inverzn´ı relacef⁻¹funkcef takt´eˇz parci´aln´ı funkc´ı, tak plat´ı f⁻¹(f (x)) = xpro vˇsechna x z definiˇcn´ıho oboru.

(14)

7.4 Skládán´ı funkc´ı, permutace 7.4 Skládán´ı funkc´ı, permutace

Fakt: Mˇejme funkce (zobrazen´ı) f : A → B ag : B → C. Pak jejichsloˇzen´ım coby relac´ı v tomto poˇrad´ı vznikne zobrazen´ı(g ◦ f ) : A → C definovan´e

(g ◦ f )(x) := g(f (x)) .✷

• Jak napˇr´ıklad na bˇeˇzn´e kalkulaˇcce vypoˇcteme hodnotu funkcesin²x?✷

Sloˇz´ıme (v tomto poˇrad´ı)

”element´arn´ı“ funkcef(x) = sin xag(x) = x².✷

• Jak bychom na

”elementárn´ı“ funkce rozloˇzili aritmetický výraz 2 log(x²+ 1)?✷

Ve spr´avn´em poˇrad´ı sloˇz´ıme funkce f1(x) = x², f2(x) = x + 1, f3(x) = log xa f4(x) = 2x.✷

• A jak bychom obdobnˇe vyjádˇrili sloˇzen´ım funkc´ı aritmetický výraz sin x + cos x? Opˇet je odpovˇed’ pˇr´ımoˇcará, vezmeme

”element´arn´ı“ funkce g1(x) = sin x a g2(x) = cos x, a pak je

”sloˇz´ıme“ dalˇs´ı funkc´ıh(x, y) = x + y.✷

Vid´ıme vˇsak, ˇze takto pojat´e

”skládán´ı“ uˇz nezapadá hladce do naˇseho zjednoduˇseného formalismu skládán´ı relac´ı.

(15)

Skl´ad´an´ı permutac´ı

Definice: Necht’ permutace π mnoˇziny {1, 2, . . . , n} je urˇcena seˇrazen´ım jej´ıch prvk˚u jako (p1, p2, . . . , pn). Pak π je z´aroveˇn bijektivn´ım zobrazen´ım {1, . . . , n} → {1, . . . , n} definovan´ym pˇredpisemπ(i) = pi.✷

Abychom postihli obˇe tyto podoby, budeme tak´e pouˇz´ıvat z´apis 1, 2, ..., n p₁,p₂...,pn

.✷

Fakt: Permutace lzeskl´adat jako relace (funkce) podle Definice 7.1.

Poznámka: Vˇsechny permutace mnoˇziny{1, 2, . . . , n} spolu s operac´ı skládán´ı tvoˇr´ı grupu, zvanou symetrická grupaSn.

Permutaˇcn´ı grupy (podgrupy symetrick´e grupy) jsou velice d˚uleˇzit´e v algebˇre, nebot’

kaˇzdá koneˇcná grupa je vlastnˇe isomorfn´ı nˇekteré permutaˇcn´ı grupˇe.✷

Pˇr´ıkladem permutace vyskytuj´ıc´ım se v program´atorsk´e praxi je tˇreba zobrazen´ı i7→ (i+1) mod n(“inkrement”).✷Casto se tˇreba lze setkat (aniˇz si to mnohdyˇ uvˇedomujeme) s permutacemi pˇri indexaci prvk˚u pol´ı. ✷

Tvrzen´ı 7.10. Mˇejme permutace π a σ mnoˇziny {1, 2, . . . , n}. Pak jejich sloˇzen´ıσ◦ π je opˇet permutac´ı mnoˇziny{1, 2, . . . , n}.

(16)

Cykly permutac´ı

V kontextu pohledu na funkce a jejich skládán´ı coby relac´ı si zavedeme jiný, názornˇejˇs´ı, zp˚usob zápisu permutac´ı – pomoc´ı jejichcykl˚u.

s s

s

s s

s

.

1 5

6

2 3

4 8

7

✷

Definice: Necht’ π je permutace na mnoˇzinˇe A. Cyklem v π rozum´ıme posloupnost ha1, a2, . . . , a_ki r˚uzn´ych prvk˚u A takovou, ˇze π(ai) = ai+1 pro i= 1, 2, . . . , k − 1 aπ(ak) = a1.✷

• Jak název napov´ıdá, v zápise cykluha1, a2, . . . , akinen´ı d˚uleˇzité, kterým prvkem zaˇcneme, ale jen dodrˇzen´ı cyklického poˇrad´ı. Cyklus v permutaci m˚uˇze m´ıt i jen jeden prvek (zobrazený na sebe).

• Napˇr´ıklad permutace 1,2,3,4,5,6,7,8 5,3,4,8,6,1,7,2

je zakreslena sv´ymi cykly v´yˇse.

(17)

Reprezentace permutac´ı jejich cykly

Vˇeta 7.11. Kaˇzdou permutaciπna koneˇcn´e mnoˇzinˇeAlze zapsat jako sloˇzen´ı cykl˚u na disjunktn´ıch podmnoˇzin´ach (rozkladu) A. ✷

D˚ukaz: Vezmeme libovoln´y prvek a1 ∈ A a iterujeme zobrazen´ıa2 = π(a1), a3 = π(a2), atd., aˇz se dostaneme

”zpˇet“ k a_k+1 = π(ak) = a1. Proˇc tento proces skonˇc´ı? Protoˇze A je koneˇcná a tud´ıˇz ke zopakován´ı nˇekterého prvku a_k+1 mus´ı doj´ıt. Nadto je π prostá, a proto nem˚uˇze nastat π(a_k) = aj pro j >1. Takto z´ıskáme prvn´ı cyklus ha1, . . . , a_ki.✷

Induktivnˇe pokraˇcujeme s hledán´ım dalˇs´ıch cykl˚u ve zbylé mnoˇzinˇe A^′ = A\{a1, . . . , a_k}, dokud nez˚ustane prázdná. V tomto indukˇcn´ım kroku si mus´ıme uvˇedomit, ˇze π omezené na nosnou mnoˇzinu A^′ je stále permutac´ı podle

definice. ✷ ✷

Znaˇcen´ıpermutace jej´ımi cykly: Necht’ se permutaceπ podle Vˇety 7.11 skl´ad´a z cykl˚u ha1, . . . , a_ki,hb1, . . . , b_li aˇz tˇreba hz1, . . . , z_mi. Pak zap´ıˇseme

π = ha₁, . . . , aki hb₁, . . . , bli . . . hz₁, . . . , zmi .

(18)

Pˇr´ıklad 7.12. Ukázka skládán´ı permutac´ı daných svými cykly.

Vezmˇeme 7-prvkovou permutaci π = (3, 4, 5, 6, 7, 1, 2), rozˇs´ıˇrenˇe zapsanou s pom˚uckou jako 1,2,3,4,5,6,7

3,4,5,6,7,1,2

. Ta se skládá z jediného cykluh1, 3, 5, 7, 2, 4, 6i.

Jin´a permutace σ = (5, 3, 4, 2, 6, 1, 7), neboli ¹,2,3,4,5,6,7 5,3,4,2,6,1,7

, se rozkl´ad´a na tˇri cykly h1, 5, 6i,h2, 3, 4i a h7i.✷

Nyn´ı urˇc´ıme sloˇzen´ı σ ◦ π tˇechto dvou permutac´ı (uˇz pˇr´ımo v z´apisu cykly):

h1, 5, 6ih2, 3, 4ih7i ◦ h1, 3, 5, 7, 2, 4, 6i = h1, 4ih2ih3, 6, 5, 7i

(Nezapom´ınejme, ˇze prvn´ı se ve sloˇzen´ı aplikuje prav´a permutace!)✷

Postup skládán´ı jsme pouˇzili následovný:

∗ 1 se zobraz´ı v permutaci vpravo na 3a pak vlevo na 4.✷

∗ N´aslednˇe4se zobraz´ı na6a pak na1. T´ım

”uzavˇreme“ prvn´ı cyklush1, 4i.✷

∗ Dále se 2zobraz´ı na4 a pak hned zpˇet na2, tj. má samostatný cyklus. ✷

∗ Zbyl´y cyklus h3, 6, 5, 7iurˇc´ıme analogicky.

✷