N´ ahodn´ e veliˇ ciny a vektory
David Hampel
12235@mail.muni.cz
Pˇredn´aˇska Statistika 1 (BKMSTAI) 12. listopad 2011, Brno
Motivace
I Apar´at vybudovan´y na z´akladˇe pravdˇepodobnosti se v´ıce formalizuje pomoc´ı funkc´ı, kter´e
I slouˇz´ı jako teoretick´y model chov´an´ı n´ahodn´e veliˇciny a
I umoˇzˇnuj´ı vyˇc´ıslit teoretick´e vlastnosti n´ahodn´e veliˇciny.
I Tyto funkce,
”rozdˇelen´ı“ n´ahodn´ych veliˇcin, lze transformovat pro r˚uznˇe upraven´e n´ahodn´e veliˇciny.
I S
”rozdˇelen´ım“ souvis´ı pojem kvantil˚u, pomoc´ı kter´ych se testuj´ı hypot´ezy o parametrech tˇechto
”rozdˇelen´ı“.
N´ ahodn´ a veliˇ cina
I N´ahodnou veliˇcinu X definujeme jako zobrazen´ı
X : Ω 7→ R, kde kaˇzd´y vzor je jevem a obraz X(ω) se naz´yv´a ˇ
c´ıseln´a realizace. Obvykle se zapisuje jen symbolem X.
I Zaveden´ı n´ahodn´e veliˇciny slouˇz´ı zejm´ena ke zkr´acen´ı a zpˇrehlednˇen´ı z´apisu pravdˇepodobnost´ı. Napˇr.
pravdˇepodobnost, ˇze se n´ahodn´a veliˇcina X realizuje v mnoˇzinˇe B zkr´at´ıme
P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}) ⇒ P (X ∈ B) a
P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B, B = (−∞, x]}) ⇒ P (X ≤ x).
Distribuˇ cn´ı funkce
Funkce F : R 7→ R definovan´a vztahem
∀x ∈ R : F (x) = P (X ≤ x)
se naz´yv´a distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X. Tato funkce m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti:
I je neklesaj´ıc´ı, tj. pro vˇsechna x1 < x2 je F (x1) ≤ F (x2),
I je zprava spojit´a, tj pro vˇsechna x0 ∈ R: lim
x→x+0
F (x) = F (x0),
I lim
x→∞F (x) = 1, lim
x→−∞F (x) = 0,
I 0 ≤ F (x) ≤ 1,
I pro x0∈ R libovoln´e, ale pevnˇe zvolen´e je P (X = x0) = F (x0) − lim
x→x−0
F (x),
I pro a, b ∈ R, a < b je P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a).
Distribuˇ cn´ı funkce – pˇr´ıklad
Najdˇete distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a ud´av´a, jak´e ˇc´ıslo padlo pˇri hodu kostkou.
x ∈ (−∞, 1) : F (x) = P (X ≤ x) = 0 x ∈ [1, 2) : F (x) = P (X ≤ x) = 1/6 x ∈ [2, 3) : F (x) = P (X ≤ x) = 2/6
...
x ∈ [6, ∞) : F (x) = P (X ≤ x) = 1
Distribuˇ cn´ı funkce – pˇr´ıklad
Distribuˇ cn´ı funkce – pˇr´ıklad
Pravdˇ epodobnostn´ı funkce
N´ahodn´a veliˇcina X se naz´yv´a diskr´etn´ı, pr´avˇe kdyˇz existuje funkce p(x), kter´a je
I nulov´a v R s v´yjimkou nejm´enˇe jednoho a nejv´yˇse spoˇcetnˇe mnoha bod˚u,
I kladn´a (∀x ∈ R : p(x) ≥ 0),
I normovan´a (P∞x=−∞p(x) = 1)
I a plat´ı pro ni ∀x ∈ R : F (x) =Pt≤xp(t).
Tato funkce se naz´yv´a pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X.
Pravdˇ epodobnostn´ı funkce – vlastnosti
Pro pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X plat´ı
∀x ∈ R : p(x) = P (X = x) a pro libovoln´y pevnˇe dan´y bod x0∈ R
p(x0) = F (x0) − lim
x→x−0
F (x).
Distribuˇcn´ı funkce diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny m´a schodovit´y charakter.
Pravdˇ epodobnostn´ı funkce – pˇr´ıklad
Hustota
N´ahodn´a veliˇcina X se naz´yv´a spojit´a, pr´avˇe kdyˇz existuje po ˇc´astech spojit´a funkce, kter´a je
I nez´aporn´a (∀x ∈ R : f (x) ≥ 0),
I normovan´a (R−∞∞ f (x)dx = 1),
I plat´ı
∀x ∈ R : F (x) = Z x
−∞f (t)dt,
I ∀B ⊆ R : P (X ∈ B) = R
x∈B
ϕ(x) dx.
Funkce f (x) se naz´yv´a hustota pravdˇepodobnosti spojit´e n´ahodn´e veliˇciny X. M´a i n´asleduj´ıc´ı vlastnost:
f (x) = ∂F (x)
∂x .
Hustota – pˇr´ıklad
Hustota – pˇr´ıklad 1
ϕ(x) =
¨ k pro x ∈ (980, 1020), 0 jinak.
Z normovanosti hustoty plyne: 1 =
1020R
980
k dx = 40k, tedy k = 401 . Pro distribuˇcn´ı funkci plat´ı:
Φ(x) = 8>
<
>:
0 pro x ≤ 980,
Rx 980
1
40dt = x−98040 pro 980 < x < 1020,
1 pro x ≥ 1020.
Hustota – pˇr´ıklad 2
Doba (v minut´ach) potˇrebn´a k obslouˇzen´ı z´akazn´ıka v prodejnˇe potravin je n´ahodn´a veliˇcina, kter´a se ˇr´ıd´ı rozloˇzen´ım Ex(13). Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze doba potˇrebn´a k obslouˇzen´ı n´ahodnˇe vybran´eho z´akazn´ıka v t´eto prodejnˇe bude v rozmez´ı od 3 do 6 minut?
Hustota – pˇr´ıklad 2
X – doba potˇrebn´a k obslouˇzen´ı n´ahodnˇe vybran´eho z´akazn´ıka, X ∼ Ex(13),
ϕ(x) = ( 1
3e−x3 pro x > 0, 0 jinak.
P (3 ≤ X ≤ 6) = Z6 3
1
3e−x3 dx
= 1
3(−3)e−x36
3
= −e−2+ e−1= 0,233.
N´ ahodn´ y vektor
Necht’ X1, . . . , Xn jsou n´ahodn´e veliˇciny a F1, . . . , Fn jsou jejich distribuˇcn´ı funkce. Pak definujeme n´ahodn´y vektor jako
uspoˇr´adanou n-tici X = (X1, . . . , Xn). Jeho distribuˇcn´ı funkci definujeme vztahem
∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn: F (x1, . . . , xn) = P (X1≤ x1∧· · ·∧Xn≤ xn).
Plat´ı vlastnosti distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny, nav´ıc m´ame
∀i ∈ {1, . . . , n} : lim
x1,...,xi−1,xi+1,...,xn→∞F (x1, . . . , xn) = Fi(xi), kde Fi(xi) se v t´eto souvislosti naz´yv´a margin´aln´ı distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny Xi a F (x1, . . . , xn) se naz´yv´a simult´ann´ı distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´eho vektoru X.
Diskr´ etn´ı n´ ahodn´ y vektor
N´ahodn´y vektor X se naz´yv´a diskr´etn´ı, pr´avˇe kdyˇz existuje funkce p(x1, . . . , xn), kter´a je
I nulov´a v Rn s v´yjimkou nejm´enˇe jednoho a nejv´yˇse spoˇcetnˇe mnoha bod˚u,
I kladn´a
I normovan´a (P∞x1=−∞· · ·P∞x
n=−∞p(x1, . . . , xn) = 1)
I a plat´ı pro ni
∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn: F (x1, . . . , xn) = X
t1≤x1
· · · X
tn≤xn
p(t1, . . . , tn).
Funkce p(x1, . . . , xn) se naz´yv´a pravdˇepodobnostn´ı funkce diskr´etn´ıho n´ahodn´eho vektoru X.
Diskr´ etn´ı n´ ahodn´ y vektor
Pro pravdˇepodobnostn´ı funkci d´ale plat´ı
∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn: p(x1, . . . , xn) = P (X1 = x1∧ · · · ∧ Xn= xn) a
∀i ∈ {1, . . . , n} : X
x1∈R
· · · X
xi−1∈R
X
xi+1∈R
· · · X
xn∈R
p(x1, . . . , xn) = pi(xi).
Funkce pi(xi) se naz´yv´a margin´aln´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny Xi a p(x1, . . . , xn) simult´ann´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´eho vektoru X.
Pravdˇepodobnost, ˇze se n´ahodn´y vektor X bude realizovat v oblasti B ⊆ Rn, se vypoˇcte podle vzorce
P (X ∈ B) =X· · · X
(x1,...,xn)∈B
p(x1, . . . , xn).
Diskr´ etn´ı n´ ahodn´ y vektor – pˇr´ıklad
x1
x2
0 1 2 3 π1(x1)
-1 2c c 0 0 3c
0 c 2c c 0 4c
1 0 0 2c c 3c
π2(x2) 3c 3c 3c c 1
Spojit´ y n´ ahodn´ y vektor
N´ahodn´y vektor X se naz´yv´a spojit´y, pr´avˇe kdyˇz existuje po ˇc´astech spojit´a funkce f (x1, . . . , xn), kter´a je
I nez´aporn´a,
I normovan´a (
∞R
−∞
· · · ∞R
−∞
f (x1, . . . , xn)dx1· · · dxn= 1)
I a plat´ı pro ni
∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn: F (x1, . . . , xn) =
= Z x1
−∞
· · · Z xn
−∞f (t1, . . . , tn)dt1· · · dtn. Funkce f (x1, . . . , xn) se naz´yv´a hustota pravdˇepodobosti spojit´eho n´ahodn´eho vektoru X.
Hustota spojit´ eho n´ ahodn´ eho vektoru
Pro hustotu pravdˇepodobnosti spojit´eho n´ahodn´eho vektoru X d´ale plat´ı
f (x1, . . . , xn) =∂nF (x1, . . . , xn)
∂x1· · · ∂xn a ∀i ∈ {1, . . . , n}:
Z∞
−∞
· · · Z∞
−∞
Z∞
−∞
· · · Z∞
−∞
f (x1, . . . , xn)dx1· · · dxi−1dxi+1· · · dxn= fi(xi).
Funkce fi(xi) se naz´yv´a margin´aln´ı hustota n´ahodn´e veliˇciny Xi a f (x1, . . . , xn) se naz´yv´a simult´ann´ı hustota n´ahodn´eho vektoru X.
Pravdˇepodobnost, ˇze se n´ahodn´y vektor X bude realizovat na oblasti B ⊆ Rn je rovna
P (X ∈ B) = Z
· · · Z
f (x1, . . . , xn)dx1· · · dxn.
Hustota spojit´ eho n´ ahodn´ eho vektoru – pˇr´ıklad
Stochastick´ a nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin
N´ahodn´e veliˇciny X1, . . . , Xnjsou stochasticky nez´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzd´e x1∈ R, . . . , xn∈ R plat´ı
F (x1, . . . , xn) = F1(x1) · · · Fn(xn), respektive
p(x1, . . . , xn) = p1(x1) · · · pn(xn) v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe nebo
f (x1, . . . , xn) = f1(x1) · · · fn(xn) ve spojit´em pˇr´ıpadˇe.
Stochastick´ a nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin – pˇr´ıklad
N´ahodn´y vektor (X1, X2) m´a pravdˇepodobnostn´ı funkci danou n´asleduj´ıc´ı tabulkou.
Zjistˇete, zda jsou n´ahodn´e veliˇciny stochasticky nez´avisl´e ˇci nikoliv.
X2
X1 0 1
-1 1/3 0
0 0 1/3
1 1/3 0
Stochastick´ a nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin – pˇr´ıklad
N´ahodn´y vektor (X1, X2) m´a pravdˇepodobnostn´ı funkci danou n´asleduj´ıc´ı tabulkou.
Zjistˇete, zda jsou n´ahodn´e veliˇciny stochasticky nez´avisl´e ˇci nikoliv.
X2
X1 0 1 p1(x1)
-1 1/3 0 1/3
0 0 1/3 1/3
1 1/3 0 1/3
p2(x2) 2/3 1/3 1
Stochastick´ a nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin – pˇr´ıklad
N´ahodn´y vektor (X1, X2) m´a pravdˇepodobnostn´ı funkci danou n´asleduj´ıc´ı tabulkou.
Zjistˇete, zda jsou n´ahodn´e veliˇciny stochasticky nez´avisl´e ˇci nikoliv.
X2
X1 0 1 p1(x1)
-1 1/3 0 1/3
0 0 1/3 1/3
1 1/3 0 1/3
p2(x2) 2/3 1/3 1
N´ahodn´e veliˇciny X1 a X2 nejsou stochasticky nez´avisl´e.
Transformovan´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny a vektory
Necht’ g je vhodn´a funkce (nejˇcastˇeji spojit´a). Pak m˚uˇzeme pomoc´ı t´eto funkce transformovat n´ahodnou veliˇcinu X na
(transformovanou) n´ahodnou veliˇcinu Y . Form´alnˇe p´ıˇseme
∀ω ∈ Ω : Y (ω) = g(X(ω)).
Stejnˇe tak m˚uˇzeme pomoc´ı vhodn´e funkce h transformovat n´ahodn´y vektor X na transformovan´y n´ahodn´y vektor Y nebo na transformovanou n´ahodnou veliˇcinu Y .
I Pomoc´ı transformac´ı norm´alnˇe rozdˇelen´ych veliˇcin se sestrojuj´ı veliˇciny pomoc´ı nichˇz se testuj´ı hypot´ezy.
I Pˇri anal´yze nelze data libovolnˇe transformovat. Vˇetˇsinou se t´ım zmˇen´ı jejich rozdˇelen´ı a z´ıskan´e v´ysledky budou nesmysln´e.
Transformovan´ y n´ ahodn´ y vektor – pˇr´ıklad
Pˇredpokl´adejme, ˇze doba ˇcek´an´ı z´akazn´ıka pˇred pokladnou je n´ahodn´a veliˇcina, kter´a se ˇr´ıd´ı exponenci´aln´ım rozdˇelen´ım s parametrem λ. N´ahodnˇe vybereme n z´akazn´ık˚u. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze nejd´ele ˇcekaj´ıc´ı z´akazn´ık ˇcekal m´enˇe neˇz y sekund?
Exponenci´aln´ı rozdˇelen´ı m´a hustotu f (xi) =
¨ λe−λxi pro xi > 0, λ > 0
0 jinak i = 1, . . . , n
a distribuˇcn´ı funkci F (xi) =
¨ 1 − e−λxi pro xi > 0
0 pro xi ≤ 0 i = 1, . . . , n.
Hled´ame vlastnˇe rozdˇelen´ı transformovan´e n´ahodn´e veliˇciny Y = max{X1, . . . , Xn}.
Transformovan´ y n´ ahodn´ y vektor – pˇr´ıklad
FY(y) = P (Y ≤ y) = P (max{X1, . . . , Xn} ≤ y) =
= P (X1 ≤ y ∧ · · · ∧ Xn≤ y) = P (X1 ≤ y) · · · P (Xn≤ y) =
= FX(y) · · · FX(y) = [FX(y)]n= (1 − e−λy)n Nejd´ele ˇcekaj´ıc´ı z´akazn´ık neˇcekal d´ele neˇz y sekund
s pravdˇepodobnost´ı (1 − e−λy)n.
Podm´ınˇ en´ a distribuˇ cn´ı funkce
I Necht’ (X1, X2) je n´ahodn´y vektor se simult´ann´ı distribuˇcn´ı funkc´ı Φ (x1, x2).
I Podm´ınˇen´a distribuˇcn´ı funkce Φ1|2 (x1|x2) n´ahodn´e veliˇciny X1 za podm´ınky, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X2 nab´yv´a hodnoty x2, je d´ana vztahem
∀x1 ∈ R : Φ1|2(x1|x2)
= lim
∆x2→0P (X1≤ x1|x2< X2 ≤ x2+ ∆x2)
= lim
∆x2→0
P (X1≤ x1∧ x2< X2 ≤ x2+ ∆x2) P (x2 < X2≤ x2+ ∆x2) .
I Analogicky lze definovat podm´ınˇenou distribuˇcn´ı funkci Φ2|1 (x2|x1).
Podm´ınˇ en´ a distribuˇ cn´ı funkce
Necht’ (X1, X2) je n´ahodn´y vektor s margin´aln´ımi distribuˇcn´ımi funkcemi Φ1(x1) a Φ2(x2). N´ahodn´e veliˇciny X1, X2 jsou stochasticky nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı:
∀x2∈ R : Φ1|2 (x1|x2) = Φ1(x1) a souˇcasnˇe
∀x1 ∈ R : Φ2|1 (x2|x1) = Φ2(x2) .
Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnostn´ı funkce
I Necht’ (X1, X2) je diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor se simult´ann´ı pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı π (x1, x2) a margin´aln´ımi pravdˇepodobnostn´ımi funkcemi π1(x1) a π2(x2).
I Fixujeme hodnotu x2.
I Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnostn´ı funkce π1|2(x1|x2) n´ahodn´e veliˇciny X1 za podm´ınky, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X2 nab´yv´a hodnoty x2, je d´ana vztahem
∀x1 ∈ R : π1|2 (x1|x2) = π (x1, x2)
π2(x2) pro π2(x2) > 0.
I Analogicky lze definovat podm´ınˇenou pravdˇepodobnostn´ı funkci π2|1(x2|x1).
Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnostn´ı funkce
Z definiˇcn´ıho vztahu je okamˇzitˇe vidˇet:
π (x1, x2) = π2(x2) π1|2 (x1|x2) , jestliˇze π2(x2) > 0, a obdobnˇe
π (x1, x2) = π1(x1) π2|1 (x2|x1) , jestliˇze π1(x1) > 0. Z tˇechto dvou vztah˚u vypl´yv´a, ˇze
π2|1(x2|x1) = π1|2(x1|x2) π2(x2) π1(x1) a podobnˇe
π1|2 (x1|x2) = π2|1(x2|x1) π1(x1) π2(x2) .
Podm´ınˇ en´ a distribuˇ cn´ı funkce
Je-li (X1, X2) diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor, pak pro podm´ınˇenou distribuˇcn´ı funkci Φ1|2 (x1|x2) plat´ı:
∀x1∈ R : Φ1|2 (x1|x2) = P
t≤x1
π (t, x2)
π2(x2) pro π2(x2) > 0.
Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnostn´ı funkce
I Necht’ (X1, X2) je diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor s margin´aln´ımi pravdˇepodobnostn´ımi funkcemi π1(x1) a π2(x2).
I N´ahodn´e veliˇciny X1, X2 jsou stochasticky nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı
∀x2 ∈ R, π2(x2) > 0 : π1|2(x1|x2) = π1(x1) .
I Analogicky, n´ahodn´e veliˇciny X1, X2 jsou stochasticky nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı
∀x1 ∈ R, π1(x1) > 0 : π2|1(x2|x1) = π2(x2) .
Podm´ınˇ en´ a hustota pravdˇ epodobnosti
I Necht’ (X1, X2) je spojit´y n´ahodn´y vektor se simult´ann´ı hustotou pravdˇepodobnosti ϕ (x1, x2) a margin´aln´ımi hustotami pravdˇepodobnosti ϕ1(x1) a ϕ2(x2).
I Fixujeme hodnotu x2.
I Podm´ınˇen´a hustota pravdˇepodobnosti ϕ1|2 (x1|x2) n´ahodn´e veliˇciny X1 za podm´ınky, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X2 nab´yv´a hodnoty x2, je d´ana vztahem
∀x1 ∈ R : ϕ1|2 (x1|x2) = ϕ (x1, x2)
ϕ2(x2) pro ϕ2(x2) > 0.
I Analogicky lze definovat podm´ınˇenou hustotu pravdˇepodobnosti ϕ2|1 (x2|x1).
Podm´ınˇ en´ a hustota pravdˇ epodobnosti
Podobnˇe jako v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe lze z definiˇcn´ıch vztah˚u pro podm´ınˇen´e hustoty pravdˇepodobnosti odvodit Bayes˚uv vzorec pro spojit´y n´ahodn´y vektor:
ϕ2|1 (x2|x1) = ϕ1|2(x1|x2) ϕ2(x2) ϕ1(x1) a analogicky
ϕ1|2(x1|x2) = ϕ2|1 (x2|x1) ϕ1(x1) ϕ2(x2) .
Podm´ınˇ en´ a distribuˇ cn´ı funkce
Je-li (X1, X2) spojit´y n´ahodn´y vektor, pak pro podm´ınˇenou distribuˇcn´ı funkci Φ1|2 (x1|x2) plat´ı
∀x1∈ R : Φ1|2 (x1|x2) = Rx1
−∞ϕ (t, x2) dt
ϕ2(x2) pro ϕ2(x2) > 0.
Podm´ınˇ en´ a hustota pravdˇ epodobnosti
I Necht’ (X1, X2) je spojit´y n´ahodn´y vektor s margin´aln´ımi hustotami pravdˇepodobnosti ϕ1(x1) a ϕ2(x2).
I N´ahodn´e veliˇciny X1, X2 jsou stochasticky nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı
∀x2 ∈ R, ϕ2(x2) > 0 : ϕ1|2 (x1|x2) = ϕ1(x1) .
I Analogicky: N´ahodn´e veliˇciny X1, X2 jsou stochasticky nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı
∀x1 ∈ R, ϕ1(x1) > 0 : ϕ2|1 (x2|x1) = ϕ2(x2) .
Podm´ınˇ en´ e pravdˇ epodobnosti
I Necht’ B ⊆ R a n´ahodn´a veliˇcina X2 nab´yv´a hodnoty x2.
I Zaj´ım´a n´as podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost P (X1∈ B |X2= x2).
a) Diskr´etn´ı pˇr´ıpad:
P (X1∈ B |X2= x2) =P
x1∈Bπ1|2(x1|x2).
b) Spojit´y pˇr´ıpad:
P (X1∈ B |X2= x2) =R
x1∈Bϕ1|2 (x1|x2) dx1.
Podm´ınˇ en´ e rozloˇ zen´ı s n ≥ 2 sloˇ zkami n´ ahodn´ eho vektoru
I Vybereme margin´aln´ı n´ahodn´y vektor (Xi, . . . , Xj) o n1
sloˇzk´ach a zbyl´y margin´aln´ı n´ahodn´y vektor o n2 sloˇzk´ach (n1+ n2 = n) oznaˇcme (Xk, . . . , Xl).
I Pak m˚uˇzeme zav´est
I podm´ınˇenou distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´eho vektoru (Xi, . . . , Xj) za podm´ınky, ˇze Xk= xk∧ . . . ∧ Xl= xl;
I podm´ınˇenou pravdˇepodobnostn´ı funkci v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe a
I podm´ınˇenou hustotu pravdˇepodobnosti ve spojit´em pˇr´ıpadˇe pomoc´ı analogick´ych vztah˚u.
C´ıseln´ ˇ e charakteristiky n´ ahodn´ ych veliˇ cin
C´ıseln´ˇ e charakteristiky n´ahodn´ych veliˇcin popisuj´ı teoretick´e rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny. Nejˇcastˇejˇs´ımi charakteristikami jsou
I Kvantily spojit´ych n´ahodn´ych veliˇcin
I Stˇredn´ı hodnota
I Rozptyl
I Kovariance
I Koeficient korelace
I Sikmostˇ
I Spiˇˇ catost
I Vektorov´a stˇredn´ı hodnota
I Kovarianˇcn´ı matice
I Korelaˇcn´ı matice
Kvantily spojit´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin
Necht’ θ ∈ (0, 1). Pak θ-kvantilem spojit´e n´ahodn´e veliˇciny naz´yv´ame takov´e ˇc´ıslo Kθ(X), pro nˇeˇz je
θ = F (Kθ(X)) =
Z Kθ(X)
−∞ f (x)dx.
I Kvantil K0.50(X) se naz´yv´a medi´an,
I Kvantil K0.25(X) se naz´yv´a doln´ı kvartil,
I Kvantil K0.75(X) se naz´yv´a horn´ı kvartil.
I Rozd´ıl K0.75(X) − K0.25(X) se naz´yv´a mezikvartilov´e rozpˇet´ı.
Kvantilov´e charakteristiky jsou
”robustnˇejˇs´ı“ neˇz ostatn´ı
charakteristiky, je vhodn´e je uv´adˇet, pokud se v rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny poˇc´ıt´a s extr´emn´ımi hodnotami.
Kvantily spojit´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin – tabulky
Pro vybran´e kvantily se zavedlo speci´aln´ı oznaˇcen´ı:
X ∼ N (0, 1) ⇒ Kα(X) = uα, X ∼ χ2(n) ⇒ Kα(X) = χ2α(n), X ∼ t(n) ⇒ Kα(X) = tα(n),
X ∼ F (n1, n2) ⇒ Kα(X) = Fα(n1, n2).
V tabulk´ach nejsou vˇsechny kvantily, je nutn´e dopoˇc´ıtat podle vztah˚u
uα = −u1−α, tα(n) = −t1−α(n), Fα(n1, n2) = 1
F1−α(n2, n1).
Kvantily spojit´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin – tabulky
a) Necht’ U ∼ N (0, 1). Najdˇete medi´an a horn´ı a doln´ı kvartil.
I u0,50= 0, u0,25= −0,67449, u0,75= 0,67449
b) Urˇcete χ20,025(25).
I χ20,025(25) = 13,12
c) Urˇcete t0,99(30) a t0,05(24).
I t0,99(30) = 2,4573, t0,05(24) = −1,7109
d) Urˇcete F0,975(5, 20) a F0,05(2, 10).
I F0,975(5, 20) = 3,2891, F0,05(2, 10) = 0,05156
Stˇredn´ı hodnota E(X)
Stˇredn´ı hodnota E(X) je ˇc´ıslo, kter´e charakterizuje polohu ˇc´ıseln´ych realizac´ı n´ahodn´e veliˇciny X na ˇc´ıseln´e ose.
I Je-li X diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı p(x), pak jej´ı stˇredn´ı hodnota je
E(X) = X∞ x=−∞
x · p(x).
I Je-li X spojit´a n´ahodn´a veliˇcina s hustotou f (x), pak jej´ı stˇredn´ı hodnota je
E(X) = Z ∞
−∞x · f (x).
I Necht’ Y = g(X) je transformovan´a n´ahodn´a veliˇcina. Pak E(Y ) =
¨ P
x∈Rg(x) · p(x) v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe, R∞
−∞g(x) · f (x) ve spojit´em pˇr´ıpadˇe.
Rozptyl D(X)
Rozptyl D(X) je ˇc´ıslo, kter´e charakterizuje variabilitu ˇc´ıseln´ych realizac´ı n´ahodn´e veliˇciny X kolem stˇredn´ı hodnoty E(X).
Definujeme
D(X) = E([X − E(X)]2), ve v´ypoˇctech se ˇcastˇeji pouˇz´ıv´a vztah
D(X) = E(X2) − [E(X)]2.
C´ısloˇ ÈD(X) se naz´yv´a odchylka n´ahodn´e veliˇciny X.
Pˇr´ıklad
N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet ok pˇri hodu kostkou. Vypoˇctˇete jej´ı stˇredn´ı hodnotu a rozptyl.
π(x) = ( 1
6 pro x = 1, 2, . . . , 6 0 jinak,
E(X) = X6 x=1
xπ(x) =1
6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7 2 = 3,5.
D(X) = X6 x=1
(x − 3,5)21
6 = · · · = 35
12 = 2,92.
D(X) = E(X2) − [E(X)]2= X6 x=1
x2π(x) − 3,52
= 1
6(12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62) − 3,52 = 2,92.
Podm´ınˇ en´ e charakteristiky – diskr´ etn´ı pˇr´ıpad
Necht’ (X1, X2) je diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor a necht’ π1|2 (x1|x2) je podm´ınˇen´a pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X1 za podm´ınky, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X2 nab´yv´a hodnoty x2. Podm´ınˇen´a stˇredn´ı hodnota je definov´ana vztahem
∀x2∈ R, π2(x2) > 0 : E (X1|x2) = X∞ x1=−∞
x1π1|2(x1|x2) a podm´ınˇen´y rozptyl je definov´an vztahem
∀x2∈ R, π2(x2) > 0 : D (X1|x2) =
X∞ x1=−∞
[x1− E (X1|x2)]2π1|2 (x1|x2) . Tento vzorec lze upravit do v´ypoˇcetn´ıho tvaru
D (X1|x2) = X∞
x21π1|2(x1|x2) − [E (X1|x2)]2.
Podm´ınˇ en´ e charakteristiky – spojit´ y pˇr´ıpad
Necht’ (X1, X2) je spojit´y n´ahodn´y vektor a necht’ ϕ1|2 (x1|x2) je podm´ınˇen´a hustota pravdˇepodobnosti n´ahodn´e veliˇciny X1 za podm´ınky, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X2 nab´yv´a hodnoty x2. Podm´ınˇen´a stˇredn´ı hodnota je definov´ana vztahem
∀x2∈ R, ϕ2(x2) > 0 : E (X1|x2) = Z ∞
−∞x1ϕ1|2 (x1|x2) dx1 a podm´ınˇen´y rozptyl je definov´an vztahem
∀x2∈ R, π2(x2) > 0 : D (X1|x2) =
Z ∞
−∞[x1− E (X1|x2)]2ϕ1|2 (x1|x2) dx1. Tento vzorec lze upravit do v´ypoˇcetn´ıho tvaru
D (X1|x2) = Z ∞
−∞
x21ϕ1|2(x1|x2) dx1− [E (X1|x2)]2.
Podm´ınˇ en´ e charakteristiky
I Pˇri mˇen´ıc´ıch se realizac´ıch n´ahodn´e veliˇciny X2 je podm´ınˇen´a stˇredn´ı hodnota E (X1|x2) funkc´ı promˇenn´e x2 a zn´azorˇnuje pr˚ubˇeh z´avislosti veliˇciny X1 na veliˇcinˇe X2.
I Naz´yv´a se regresn´ı funkce veliˇciny X1 vzhledem k veliˇcinˇe X2.
I Tvar regresn´ı funkce charakterizuje promˇenlivost stˇredn´ı hodnoty veliˇciny X1 v z´avislosti na X2.
Podm´ınˇ en´ e charakteristiky
I Podm´ınˇen´y rozptyl D (X1|x2) je funkc´ı hodnot veliˇciny X2.
I Naz´yv´a se skedastick´a funkce veliˇciny X1 vzhledem k veliˇcinˇe X2.
I Tvar skedastick´e funkce charakterizuje promˇenlivost rozptylu veliˇciny X1 v z´avislosti na X2.
I Je-li skedastick´a funkce konstantn´ı, ˇrekneme, ˇze rozloˇzen´ı n´ahodn´eho vektoru (X1, X2) je homoskedastick´e (tj.
podm´ınˇen´e rozptyly nez´avis´ı na podm´ınce).
I V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se rozloˇzen´ı n´ahodn´eho vektoru (X1, X2) naz´yv´a heteroskedastick´e.
Kovariance C(X
1, X
2)
Kovariance C(X1, X2) je ˇc´ıslo, kter´e charakterizuje spoleˇcnou variabilitu ˇc´ıseln´ych charakterizac´ı n´ahodn´ych veliˇcin X1 a X2
kolem jejich stˇredn´ıch hodnot.
Definujeme ji jako
C(X1, X2) = E([X1− E(X1)][X2− E(X2)]), uˇz´ıv´a se i vztah
C(X1, X2) = E(X1X2) − E(X1)E(X2).
Je-li C(X1, X2) = 0, ˇrekneme, ˇze n´ahodn´e veliˇciny X1 a X2 jsou nekorelovan´e, tj. ˇze mezi nimi neexistuje line´arn´ı z´avislost.
Koeficient korelace R(X
1, X
2)
Koeficient korelace R(X1, X2) je ˇc´ıslo, kter´e charakterizuje m´ıru tˇesnosti line´arn´ı z´avislosti ˇc´ıseln´ych realizac´ı n´ahodn´ych veliˇcin X1 a X2. Nab´yv´a hodnot z intervalu [−1, 1].
Definujeme jej jako
R(X1, X2) = E
X1− E(X1) È
D(X1)
X2− E(X2) È
D(X2)
proÈD(X1)ÈD(X2) 6= 0, R(X1, X2) = 0 jinak.
Casto se pouˇˇ z´ıv´a vztah
R(X1, X2) = C(X1, X2) È
D(X1)ÈD(X2).
Momenty
C´ısloˇ
µ0k= E(Xk) se naz´yv´a obecn´y moment k-t´eho ˇr´adu. ˇC´ıslo
µk = E([X − E(X)]k) se naz´yv´a centr´aln´ı moment k-t´eho ˇr´adu.
Momenty
Pomoc´ı moment˚u m˚uˇzeme definovat ˇsikmost (asymetrii) n´ahodn´e veliˇciny X jako
A3(X) = µ3 ÈD(X)3
a ˇspiˇcatost (exces) n´ahodn´e veliˇciny X jako A4(X) = µ4
ÈD(X)4
− 3.
Pro norm´aln´ı rozdˇelen´ı N (0, 1) vych´az´ı A3(X) = 0 a A4(X) = 0.
ˇSikmost a ˇspiˇcatost se daj´ı vyuˇz´ıt k testov´an´ı hypot´ez o rozdˇelen´ı.
Vlastnosti ˇ c´ıseln´ ych charakteristik
I Necht’ a, a1, a2, b, b1, b2 jsou re´aln´a ˇc´ısla,
I X, X1,. . . , Xn, Y1,. . . , Ym jsou n´ahodn´e veliˇciny definovan´e na t´emˇz pravdˇepodobnostn´ım prostoru.
I V n´asleduj´ıc´ıch vzorc´ıch vˇzdy z existence ˇc´ıseln´ych
charakteristik na prav´e stranˇe vypl´yv´a existence v´yrazu na lev´e stranˇe.
Vlastnosti stˇredn´ı hodnoty
a) E(a) = a,
b) E(a + bX) = a + bE(X), c) E(X − E(X)) = 0, d) E
Pn
i=1
Xi
= Pn i=1
E(Xi),
e) Jsou-li n´ahodn´e veliˇciny X1,. . . , Xnstochasticky nez´avisl´e, pak plat´ı E
Qn
i=1
Xi
= Qn
i=1
E(Xi).
Vlastnosti kovariance
a) C(a1, X2) = C(X1, a2) = C(a1, a2) = 0, b) C(a1+ b1X1, a2+ b2X2) = b1b2C(X1, X2), c) C(X, X) = D(X),
d) C(X1, X2) = C(X2, X1),
e) C(X1, X2) = E(X1X2) − E(X1)E(X2), f) C
Pn i=1
Xi, Pm j=1
Yj
= Pn i=1
Pm j=1
C(Xi, Yj).
Vlastnosti rozptylu
a) D(a) = 0,
b) D(a + bX) = b2D(X), c) D(X) = E(X2) − [E(X)]2, d) D
Pn
i=1
Xi
= Pn i=1
D(Xi) + 2
n−1P
i=1
Pn j=i+1
C(Xi, Xj) e) Jsou-li n´ahodn´e veliˇciny X1, . . . , Xnnekorelovan´e, pak
D
Pn
i=1
Xi
= Pn i=1
D(Xi) .
Vlastnosti koeficientu korelace
a) R(a1, X2) = R(X1, a2) = R(a1, a2) = 0,
b) R(a1+ b1X1, a2+ b2X2) = sgn(b1b2)R(X1, X2), c) R(X, X) = 1 pro D(X) 6= 0, R(X, X) = 0 jinak, d) R(X1, X2) = R(X2, X1)
e) R(X8 1, X2) =
<
:
C(X1,X2)
√
D(X1)√
D(X2) pro ÈD(X1)ÈD(X2) > 0,
0 jinak,
f) |R(X1, X2)| ≤ 1 a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, kdyˇz mezi veliˇcinami X1, X2 existuje s pravdˇepodobnost´ı 1 ´upln´a line´arn´ı z´avislost, tj. existuj´ı konstanty a1, a2 tak, ˇze
P (X2 = a1+ a2X1) = 1. (Uveden´a nerovnost se naz´yv´a
Charakteristiky n´ ahodn´ ych vektor˚ u
Necht’ X = (X1, . . . , Xn) je n´ahodn´y vektor. Re´aln´y vektor E(X) = (E(X1), . . . , E(Xn))
se naz´yv´a vektor stˇredn´ıch hodnot. Re´aln´a ˇctvercov´a symetrick´a matice
var (X) = 2 64
D(X1) C(X1, X2) · · · C(X1, Xn)
... ... ...
C(Xn, X1) C(Xn, X2) · · · D(Xn) 3 75
se naz´yv´a varianˇcn´ı matice a re´aln´a ˇctvercov´a symetrick´a matice
corr (X) = 2 64
1 R(X1, X2) · · · R(X1, Xn)
... ... ...
R(Xn, X1) R(Xn, X2) · · · 1
3 75
se naz´yv´a korelaˇcn´ı matice.