Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów

Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów Studia magisterskie ENERGETYKA

Ćwiczenia 1 Jan A. Szantyr

Wyznaczanie sił hydrostatycznych na ścianach

zbiorników

Przykład 1: wyznaczyć napór hydrostatyczny oraz określić

położenie środka naporu C dla ścian pionowych pokazanych na rysunku.

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny: 12

3 0

I_x  bH

Moment bezwładności ściany

względem osi x (tw. Steinera): bH H bH

S z I

I_{x x S}

4 12

2 3

2

0   



Położenie środka naporu: ^{H H} _H

S z z I

S x

C 3

2 6

2  





Moduł siły naporu hydrostatycznego:

2 2

gbH2

H bH g

S gz

P   _S     Rozwiązanie dla ściany a

Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

2 z

 H

bH

S 

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny: 12

4 0

I_x  a

Moment bezwładności ściany

względem osi x (tw. Steinera): ^{2 2}

4 2

0 12a H a

S z I

I_x  _x  _S  

Położenie środka naporu:

H H a

H a H a

S z z I

S x

C 12 12

2 2

4  







Moduł siły naporu hydrostatycznego: ^P  ^gzS^S  ^gHa2 Rozwiązanie dla ściany b

Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

H z



a

S 

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez

jej środek geometryczny: 64

4 0

I_x





Moment bezwładności ściany

względem osi x (tw. Steinera): 64 4

2 2

4 2

0

D D S D

z I

I_{x x S}

 









Położenie środka naporu: _D ^D _D

S z z I

S x

C 16

17 16 







Moduł siły naporu hydrostatycznego:

4 4

3

2 gD

gD D S

gz

P   _S     

Rozwiązanie dla ściany c Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

D z



4 D

S _ 

Moment bezwładności ściany

względem osi przechodzącej przez jej środek geometryczny:

 

64

4 4

0

d I_x D 





Moment

bezwładności ściany względem osi x :

   

2 2

4 4

2

0 D64 d D 4 d D

S z I

I_{x x S} 

 







 

Położenie środka naporu:

D d D D

S z z I

S x

C 16

2 2 







Moduł siły naporu hydrostatycznego:

 

d D g D

S gz

P _S

4

2 2 



    Rozwiązanie dla ściany d

Zanurzenie środka geometrycznego ściany:

Pole powierzchni ściany:

D z



 

4

2

2

d

S D 

 

Przykład 2: Wyznaczyć moment względem podstawy działający na pionową ścianę jazu o szerokości L, dzielącą kanał o

przekroju prostokątnym. Po lewej stronie zwierciadło cieczy znajduje się na wysokości 2H, a po prawej – na wysokości H.

Rozwiązanie

Siły naporu po lewej i prawej stronie wynoszą odpowiednio:

SL L

L

gA z

P   ^P

  ^gA

^z

Przyjmując szerokość L oraz wiedząc, że:

H z



2 z

 H

Otrzymujemy:

2 gLH

P

 

2

1 gLH P

 

Punkty przyłożenia sił naporu można wyznaczyć w oparciu o poprzedni przykład (a) dla ściany prostokątnej:

H z

3

 4 z

H

3

 2

Moment działający na ścianę jazu wynosi: M  P_Lz_L  P_Pz_P

Gdzie: z_L H z_CL H H H

3 2 3

2 4

2    



H H

H z

H

z

3 1 3

2 









Po podstawieniu otrzymujemy ostatecznie:

3 2

2

6 7 3

1 2

1 3

2 gLH 2 H gLH H gLH

M        

Przykład 3: Zbiornik wodny zamknięto klapą obrotową w

kształcie ćwiartki walca o promieniu R i długości L. Wyznaczyć wielkość naporu hydrostatycznego wywieranego na klapę dla dwóch przypadków a) i b). Przyjąć gęstość wody równą ρ.

Rozwiązanie

Składowe poziome naporu są w obu przypadkach równe i wynoszą:

 

 

  



 2

H R gRL

P

P



Składowe pionowe wynoszą odpowiednio:

 

 

  





 4 4

2

R

H R gLR

gL gHRL

P

    



 



  

 



 



 



 4 4

2

2 R

R H

R gRL gL

gLR gHRL

P_Zb      

Napory wypadkowe wynoszą odpowiednio:

2 2

Za Xa

a

P P

P  

Zb Xb

b

P P

P  

Tworzą one z poziomem kąt:

X Z

P arctg P

