Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów

Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów Studia magisterskie ENERGETYKA

Ćwiczenia 3 Jan A. Szantyr

Wyznaczanie reakcji hydrodynamicznych II

Przykład 1

Do koła Segnera o średnicy D doprowadzona jest woda, której natężenie przepływu wynosi Q.

Pomijając opory tarcia oraz straty przepływu wyznaczyć prędkość kątową wirowania ω. Przyjąć

średnicę dysz wylotowych równą d.

Założyć, że wypadkowy moment na kole jest równy zero.

Koło Segnera obraca się w kierunku przeciwnym do wypływu wody, wobec czego absolutna prędkość wypływu c wynosi:

u w

c  

Gdzie:

2

u    D ^{0 , 5}

^{4 2}

d

Q d

w Q



 





 





Moment reakcji hydrodynamicznej z zasady krętu wynosi:

 ^{w u} 

Q D D c

Q

M          2

2 



Ponieważ pomijamy opory tarcia musi być M=0, co daje:

u w

u

w   0  

Po podstawieniu do powyższego zależności na prędkości w i u otrzymujemy:

D d

Q D

d Q





 





 



2 2

4 2

2

 

 

Przykład 2

Napęd ścigacza stanowią dwa pędniki strumieniowe o sprawności η=0,82. Ich średnice wylotowe wynoszą d=0,5 [m]. Obliczyć siłę R działającą na ścigacz oraz całkowitą moc N pobierana przez silniki przy prędkości c=54 [km/godz.] i całkowitym natężeniu przepływu przez pędniki Q=8 [m**3/s]. Pominąć wszelkie straty.

Prędkość wypływu wody z

każdego pędnika wynosi:

   

d Q

c 20,4

5 , 0 14 , 3

2 4 8 4 2

2

1 2 



 



 

 Całkowita siła działająca na ścigacz:

 ^{c c}    ^N

R Q 43200

3600 54000 4

, 2 20

1000 8 2 2

2

 



 



 















 

Wysokość ciśnienia wytworzona przez jeden pędnik:

 

 

g c

H c 9,74

81 , 9 2

3600 54000 4

, 20 2

2 2

2 2

1 





 





 

 

Całkowita moc pobierana przez oba pędniki:

 

H Q

N g 932

82 , 0 1000

74 , 9 8 81 , 9 1000

1000 







 







 





Przykład 3

W łopatkę turbiny Peltona obracającą się ze stałą prędkością obwodową u

uderza strumień wody o przekroju i gęstości ρ. Prędkość strumienia wynosi pomijając siły tarcia i ciężkości

wyznaczyć reakcję hydrodynamiczną.

A1

c1

Strumienie masowe i prędkości (w układzie ruchomym) wynoszą:

u c

c

 

 _c

 _{ c}

_{ u} c

  c

 u

1 1

1 c A

m^      ^m₂ ^{  c}₂ ^{ A}₂ ^{m3 }



Zgodnie z zasadą zachowania

pędu reakcja wynosi:

R  m

  c

  m

  c

  m

  c 



 

 

 





1

1

c m c m c

m

R                

lub skalarnie:

Przy założeniu równości ciśnień z równania Bernoulliego wynika równość prędkości: ^b

p p

p

p₁  ₂  ₃ 

3 2

1 c c

c     czyli: ^{R  c}₁^





z równania zachowania masy: _m₂ _m₃  _m₁ co prowadzi do: R  2m₁ c₁

ponieważ: _{c1  c1 u} ^m₁^{ }

^

^





ostatecznie:





2 A

c u

R      

Przykład 4

Wirnik promieniowej maszyny przepływowej o wymiarach:

i szerokości b wykonuje n

obrotów na sekundę. Zakładając model cieczy idealnej i

przepływu bez zawirowań wyznaczyć:

2 2

1

1

,  , r ,  r

- prędkość cieczy dopływającej

- objętościowe natężenie przepływu Q

- składową obwodową i promieniową prędkości wypływu - moment obrotowy M

- moc teoretyczną N

c1

Wobec braku zawirowań na wlocie jest:

c

 c

Ponadto mamy: u₁ 















Z równania zachowania masy:

Q  c

 A

Ponieważ: _{A1  2} _br1 ^więc:

Q  4  

 r

 b  n  tg 

Z równania zachowania masy: Q  c_1m  A₁  c_2m  A₂ Czyli:

2 1 1

2 A

c A c _m  _m

Ponieważ mamy:c_1m  c₁  2 nr₁ tg₁ A₁  2





2

1 2

1 2

2

r

tg r

c

    n  

Z trójkąta prędkości

na wylocie wynika:

 

2 2 2

2 2

2 2

2

 

tg u c

c tg

c u

c

 

 

 

Po podstawieniu uprzednio wyznaczonych wielkości:

 

 



  











2 1 2

2 2 1 2

2

2 1



 

tg tg r

r r n c

Moment obrotowy na wale: M 



Po podstawieniu: _



 



  



















2 1 2

2 2 1 1

2 2

2 2 1

3 1

8 

 



 tg

tg r

tg r n

b r

r M

Moc teoretyczna: N  M 







 



  



















2 1 2

2 2 1 1

2 2 2 1 3

4 1

16 

 



 tg

tg r

tg r r

r b n

N