Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów

Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów Studia magisterskie ENERGETYKA

Ćwiczenia 2 Jan A. Szantyr

Wyznaczanie reakcji hydrodynamicznych I

Przykład 1

Z dyszy o średnicach D=80 [mm] i d=20 [mm] wypływa woda ze średnią prędkością c=15 [m/s]. Pomijając różnicę ciśnień

obliczyć reakcję hydrodynamiczną wywieraną przez strumień wody na dyszę.

Reakcja R w ruchu ustalonym wynosi:

 ^{c c}



Q

R     

Natężenie przepływu Q oraz prędkość c1 obliczamy z równania ciągłości:

4 4

2 1

2

D

d c c

Q 



 



  

Wobec tego mamy:

4 d

c

Q 



 

2 2

1

D

c d

c   _



 



 

 







1

4 D

d c d

R  

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

  ^N

R 66 , 25

08 , 0

02 , 1 0

4 02 , 15 0

1000

2 2

2

 



 



 

 





 

Przykład 2

Strumień cieczy doskonałej o gęstości ρ wypływa z dyszy i uderza w idealnie gładką płytę o ciężarze G i długości l.

Płyta może obracać się wokół łożyska A oddalonego o b od osi dyszy. Wiedząc, że natężenie wypływającego strumienia wynosi Q, a średnica dyszy D,

wyznaczyć składowe reakcji w łożysku oraz kąt φ o jaki wychyli się płyta w stanie równowagi.

Napór hydrodynamiczny R rozkładamy na składową normalną i składową styczną do płaszczyzny płyty:

R

R

R  







W cieczy doskonałej składowa styczna jest równa zero, wobec czego całkowity napór reprezentuje tylko składowa normalna:



 cos

 R R

Dalej mamy:

R    c  Q

2

4

D c Q



 

 



 cos

4

2

2







 

D

R

Q

Składowe reakcji w łożysku wyznaczamy z równań rzutów sił na osie x i y:

 ^P

^{ R}

^{ cos   R}

^{ 0}

 ^P

^{ R}

^{ G  R}

^{ sin   0}

Skąd otrzymujemy:

 



2 2

4 cos

 



 

D R

Q

 

 

 

 2 sin 2

sin 4 cos

2 2 2

2







 





 



 

 D

G Q D

G Q

R

Kąt nachylenia płyty w stanie równowagi wyznaczamy z równania momentów względem punktu A:

 ^M

^{ R}

^ _cos ^b _ ^{ G } ₂ ^{l  sin   0}

Otrzymujemy:

 

cos sin 2







 

l G

b R

Po podstawieniu zależności na reakcję mamy ostatecznie:

2

8

arcsin

D l

G

b Q











 



 

Przykład 3

Przez krzywak o średnicy D=80 [mm] przepływa woda z

natężeniem Q=0,08 [m**3/s].

Pomijając straty obliczyć napór strumienia wody na krzywak.

Część dopływowa krzywaka

usytuowana jest pod kątem α=π/6 do poziomu, a część odpływowa pod kątem π/3. W przekroju dopływowym i odpływowym panuje jednakowe ciśnienie otoczenia p^b.

Składowe naporu hydrodynamicznego wynoszą odpowiednio:





x

Q c c

R    







y

Q c c

R    



Gdzie:



1

 c  cos

c

c

  c  cos 



1

 c  sin

c

c

 c  sin 

Co daje:

^R

^{   Q  c }  ^{cos   cos } 

 ^{ } 

    sin  sin

 Q c

R

Po podstawieniu:

2

4

D c Q



 



Otrzymujemy:

 ^{ } 



 cos cos

4

2

2

 





 

D R

Q

 ^{ } 



 sin sin

4

2

2

 





 

D R

Q

Napór wypadkowy wynosi:

 

 ^{ } 



 _{   }





 



 4 2 1 cos

2 2 2

2

D R Q

R

R

Suma kątów wynosi:

2 3

6





 

    

Wobec czego mamy:

2

2

4

D R Q







 





Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

  ^N

R 1802

08 ,

0 1415 ,

3

08 ,

0 1000 2

4

2

2









 

Przykład 4

Strumień wody o natężeniu q=0,01 [m**3/s] wypływa z dyszy i uderza w płaskie łopatki koła wodnego o

promieniu podziałowym r=1,0 [m].

Pomijając straty, obliczyć moc

użyteczną oraz sprawność koła, jeżeli jego prędkość kątowa wynosi ω=5,0 [1/s], a pole przekroju poprzecznego dyszy A=500 [mm**2]. Dla jakiej prędkości obrotowej ω koło osiągnie moc maksymalną?

Moc użyteczną koła wodnego określa zależność:





 M N

Gdzie moment M wynika z zasady krętu:

 ^{c u}  ^r

Q

M      

Czyli:

^N _u ^{   Q }  ^{c  u}  ^{   r}

Gdzie z kolei mamy:

u    r ^{c  Q} _A

Co daje:

r r

A Q Q

N

  



 



  





   

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

  ^W

N

5 1 5 1 750 0005

, 0

01 ,

01 0 ,

0

1000    



 



  







Z kolei moc doprowadzona do koła wyraża się wzorem:

H Q

g

N

    

Gdzie wysokość rozporządzalna H wynosi:

g H c

  2

2

A ponadto:

A c  Q

Co daje:

  ^W

A

N

Q 2000

0005 ,

0 2

01 ,

0 1000

2

3 2

3





 



  

Sprawność koła wynosi więc:

0 , 375 2000

750 





d u

N

 N

W celu wyznaczenia prędkości kątowej odpowiadającej

maksymalnej mocy koła należy równanie na moc użyteczną przekształcić i zróżniczkować względem prędkości kątowej

 ^{c r}  ^{r A r}  ^{c c r} 

A c

N

               

    





^{ 2   }  ^{ 0}







 

 N

A r c c r



 

  _s

A r

Q r

c 10 1

0005 ,

0 1 2

01 , 0 2

2 



 



 

 



Po wstawieniu danych liczbowych otrzymujemy: