Rówanania ruchu

Dynamika

Fizyka I (Mechanika)

Wykład IV:

• Rozwi ˛azywanie równa ´n ruchu

⇒ ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym

• Dynamika ruchu po okr ˛egu

• Siły spr ˛e˙zyste

• Opory ruchu

Równania ruchu

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwi ˛azywanie równa ´n ruchu, czyli okre´slanie ruchu ciała ze znajomo´sci działaj ˛acych na nie sił.

Siła działaj ˛aca na ciało mo˙ze zale˙ze´c od poło˙zenia i pr ˛edko´sci cz ˛astki oraz czasu

⇒ równanie ruchu:

m d²~r(t)

dt² = ~F (~r, ~v, t) Ogólne rozwi ˛azanie ma sze´s´c stałych całkowania:

~r = ~r (t, C₁, C₂, . . . , C₆)

Aby ´sci´sle okre´sli´c ruch ciała musimy poza rozwi ˛azaniem równa ´n ruchu wyznaczy´c warto´sci wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sze´sciu) Najcz ˛e´sciej dokonujemy tego okre´slaj ˛ac warunki pocz ˛atkowe:

~

r₀ = ~r (t₀)

~v₀ = ~v (t₀) t₀ ^{- wybrana  hwila po z¡tkowa}

Rówanania ruchu

Pole elektryczne

Stałe jednorodne pole elektryczne E = (0, E, 0)~ W chwili t₀ = 0 w punkcie ~r₀ = (0, 0, 0) w pole wlatuje z pr ˛edko´sci ˛a v~₀ = (v₀, 0, 0) cz ˛astka o masie m i ładunku Q

F~_E = Q ~E

Równania ruchu:

m d²x

dt² = 0 m d²y

dt² = Q E

Całkowanie + warunki pocz ˛atkowe

⇒ x(t) = v₀ · t y(t) = Q E

2m · t²

⇒ równanie toru: y = ^{Q E}

2mv²₀ · x² K ˛at odchylenia:

tan θ = dy dx

_x=L

= Q E L m v₀²

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

Stałe jednorodne pole B = (0, 0, B)~

W chwili t₀ = 0 w punkcie ~r₀ = (0, 0, 0) w pole wlatuje z pr ˛edko´sci ˛a v~₀ = (0, v₀, 0) cz ˛astka o masie m i ładunku Q

F~_B = Q · ~v × ~B

Z definicji iloczynu wektorowego

m d²~r

dt² = Q ·











~i_x ~i_y ~i_z

dxdt

dy

dt dz dt

0 0 B











Układ dwóch równa ´n:

m d²x

dt² = Q B dy dt m d²y

dt² = −Q B dx dt Całkuj ˛ac pierwsze równanie

m dx

dt = Q B (y − y_c)

⇒ d²y

dt² = −

Q B m

2

(y − y_c)

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

Otrzymujemy równania ruchu:

d²y

dt² = −ω² (y − y_c) ^{os ylator} dx

dt = ω (y − y_c) ω = Q B m

⇒ ruch po okr ˛egu ω - cz ˛esto´s´c cyklotronowa

B Q

V F

y

x

B

r

Rozwi ˛azanie:

x = r · sin(ωt + φ₀) + x_c y = r · cos(ωt + φ₀) + y_c gdzie r - promie ´n cyklotronowy:

r = m v₀ Q B Z warunków pocz ˛atkowych (~r(0) = ~r₀ i ~v(0) = ~v₀):

x = r · (1 − cos ωt) y = r · sin ωt

Ruch w polu magnetycznym jest jednostajny: v = const

r = m v

Q B = p Q B

Rówanania ruchu

W fizyce cz ˛astek pole magnetyczne powszechnie wykorzystywane jest do pomiaru p ˛edu cz ˛astek. Wszystkie długo˙zyciowe cz ˛astki naładowane maj ˛a ładunek ±1e...

Komora p ˛echerzykowa w CERN Detektor CDF w Fermilab

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

W ogólnym przypadku pr ˛edko´s´c cz ˛astki V~ nie musi by´c prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego B~.

Jednak siła Lorenza zawsze prostopadła do B~ ⇒ na kierunku równoległym do pola znika!

W kierunku wektora pola ruch cz ˛astki jest ruchem jednostajnym.

W ogólnym przypadku torem ruchu jest spirala.

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

Odchylenie cz ˛astki przelatuj ˛acej

przez w ˛aski obszar jednorodnego pola zakładamy ωt ≪ 1:

x ≈ r · ωt y ≈ r ·

"

1 − (ωt)² 2

!

− 1

#

= − x² 2 r

K ˛at odchylenia:

tan θ =

dy dx

_x=L = L

r = Q B L m v₀

Rówanania ruchu

Spektroskop Thomsona (1913)

Cz ˛astki przelatuj ˛a przez obszar jednorodnych pól E~ i B~

E ↑↓ ~~ B

Pozycja cz ˛astki na ekranie d ≫ L y_e ≈ d · tan θ_B = Q B L d

m v₀ z_e ≈ d · tan θ_E = Q E L d

m v₀²

⇒ z_e = m

Q · E

B² L d · y_e² Cz ˛astki o róznych v₀ układaj ˛a si ˛e na parabolach odpowiadaj ˛acych ich ^m_Q

⇒ separacja izotopów o ró˙znych masach - spektroskopia masowa

Rówanania ruchu

Selektor pr ˛edko´sci

y z

x

V=V_o V>V_o

V<Vo

Q > 0 B

E V

Cz ˛astka w skrzy˙zowanych jednorodnych polach E~ ⊥ B~

F~_E = Q · ~E

F~_B = Q · ~v × ~B

Dla pr ˛edko´sci V₀ = _B^E

wypadkowa sił F~_E + ~F_B = 0

⇒ tor prostoliniowy

⇒ metoda selekcji cz ˛astek o ustalonej pr ˛edko´sci

niezale˙znie od ich Q i m

Rówanania ruchu

Spektrometr Bainbridge’a

Mierzymy promie ´n cyklotronowy r = ^{m v}_{Q B}⁰ dla cz ˛astek o ustalonej pr ˛edko´sci v₀ = ^E_B

⇒ pomiar ^m_Q

Cz ˛astki o ró˙znych masach zaczerni ˛a klisz ˛e w ró˙znych odległo´sciach od szczeliny

Ruch po okr ˛egu

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

⇒ aby ciało pozostawało w ruchu po okr ˛egu konieczne jest działanie siły ⇒ siła do ´srodkowa

B Q

V F

y

x

B

r

Ruch po okr ˛egu mo˙ze by´c wynikiem działania ró˙znego rodzaju sił:

• siły zewn ˛etrzne

⇒ siła Lorenza (pole magnetyczne)

⇒ siły spr ˛e˙zysto´sci

• siły reakcji wi ˛ezów (kulka na nitce)

• wypadkowej sił reakcji i sił zewn ˛etrznych (regulator Watta, kulka w wiruj ˛acym naczyniu...)

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Cz ˛astka naładowana w polu magnetycznym

B Q

V F

y

x

B

r

Promie ´n cyklotronowy:

r = m v

Q B = p Q B

Siła Lorenza:

F~_B = Q · ~v × ~B

Dla ~v ⊥ ~B:

F_B = Q v B

⇒ F_B = Q B

m v m v² = 1

r m v²

F_B = m v²

r = m ω² r

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Regulator Watta

ω R

mg

F

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

ω R

mg

F

Siła do´srodkowa jest wypadkow ˛a siły reakcji i siły ci ˛e˙zko´sci:

F =~ m~g + R~

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Z

X

Y V r

s φ

ω

x = r · cos(ω · t) y = r · sin(ω · t) z ≡ 0

⇒ a_x = −ω² r · cos(ω · t) a_y = −ω² r · sin(ω · t)

⇒ ~a = −ω² ~r

⇒ F~ = −m ω² ~r

~a = d~v dt

dv = v · dφ = v ω dt a = v ω = ω² r = v²

r

V dV

r φ = ω dt d

φ d

W zapisie wektorowym: ~ω = const

~a = dV~

dt = d(~ω × ~r)

dt = ~ω × d~r dt

= ~ω × V~ = ~ω × (~ω × ~r)

= −ω² · ~r_⊥ ~r_⊥ = (x, y, 0)

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

α r ω

mg

F R

F =~ m~g + R~

Siła do´srodkowa skierowana poziomo ze składania sił:

⇒ R · cos α − mg = 0 F = R · sin α = mg · tan α Z równania ruchu:

F = m ω²r_⊥ = m ω²r · sin α

⇒ cos α = g ω² r

Kulka odchyli si ˛e dopiero dla ω > ^qg_r = ω_◦ ω_◦ - cz ˛esto´s´c drga ´n wahadła

matematycznego o długo´sci r

Siła spr ˛e˙zysta

Prawo Hooke’a

Opisuje zale˙zno´s´c siły spr ˛e˙zystej od odkształcenia ciała:

∆L L

S

F

F = E S ∆L L

E - moduł Younga [N/m²]

napr ˛e˙zenie odpowiadaj ˛ace dwukrotnemu wydłu˙zeniu

Prawo Hooke’a jest prawem empirycznym Jest słuszne tylko dla małych napr ˛e˙ze ´n.

granica proporcjonalno´sci ↑ (P r) granica wytrzymało´sci ↓

Cu: E = 1.2 · 10^{11 N}_m2

P r = 1.9 · 10^{8 N}_m2

P r ∼ 10⁻³ E

Siła spr ˛e˙zysta

Relaksacja

Prawo Hooke’a odnosi si ˛e do sytuacji statycznej.

Od momentu przyło˙zenia siły do osi ˛agni ˛ecia odpowiedniego odkształcenie mija sko ´nczony czas - czas relaksacji

podobnie gdy siła przestanie działa´c

Histereza

Przyło˙zenie du˙zej siły, nawet na krótki czas mo˙ze powodowa´c trwałe

odkształcenie

⇒ trzeba przyło˙zy´c sił ˛e przeciwnie skierowan ˛a

Tarcie

Tarcie kinetyczne

T

N R

v

Siła pojawiaj ˛aca si ˛e mi ˛edzy dwoma powierzchniami

poruszaj ˛acymi si ˛e wzgl ˛edem siebie, dociskanymi sił ˛a N.

Scisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany.´

⇒ Prawo empiryczne:

T = −µ~ _k~i_v N ~i_v = ~v v Siła tarcia kinetycznego:

• jest proporcjonalna do ⊥ siły dociskaj ˛acej

• nie zale˙zy od powierzchni zetkni ˛ecia

• nie zale˙zy od pr ˛edko´sci

Prawo empiryczne ⇒ przybli˙zone !!!

Tarcie

Obraz mikroskopowy

Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie elektromagnetyczne cz ˛astek stykaj ˛acych si ˛e ciał.

Powierzchnie nigdy nie s ˛a idealnie równe na poziomie mikroskopowym cz ˛astki

jednego ciała “blokuj ˛a drog ˛e” cz ˛astkom drugiego ciała

⇒ musz ˛a zosta´c “odepchni ˛ete”

wypolerowana mied´z ⇒

Tarcie

Zale˙zno´s´c od nacisku

Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego) styku ciał jest w normalnych warunkach wiele rz ˛edów wielko´sci mniejsza ni˙z powierzchnia geometryczna:

siła ułamek

dociskaj ˛aca powierzchni 1 N/cm² 0.00001 2.5 N/cm² 0.000025

50 N/cm² 0.0005 250 N/cm² 0.0025 (płytki stalowe)

⇒ efektywna powierzchnia styku proporcjonalna do nacisku

⇒ liczba oddziaływa ´n na poziomie atomowym proporcjonalna do nacisku

Tarcie

Odst ˛epstwa od praw empirycznych

Przy du˙zych pr ˛edko´sciach mo˙ze si ˛e pojawi´c zale˙zno´s´c µ_k od pr ˛edko´sci v:

stal i mied´z

Przy bardzo du˙zych pr ˛edko´sciach mied´z ulega chwilowemy stopieniu...

Przy du˙zych siłach dociskaj ˛acych mog ˛a si ˛e pojawi´c odst ˛epstwa od zale˙znosci liniowej:

mied´z i mied˙z

Przy du˙zym nasisku zniszczeniu ulega warstwa tlenków na powierzchni miedzi...

Tarcie

Scieranie´

Na poziomie mikroskopowym tarcie prowadzi trwałych zmian w stykaj ˛acych si ˛e powierzchniach.

Fragmenty miedzi przył ˛aczone do powierzchni stali:

Smarowanie

Tarcie zmniejszamy wprowadzaj ˛ac smar mi ˛edzy poruszaj ˛ace si ˛e powierzchnie.

Powierzchnie nie stykaj ˛a si ˛e ⇒ brak tarcia

⇒ pojawia si ˛e jednak nowa siła oporu zwi ˛azana z lepko´sci ˛a

Tarcie

Tarcie statyczne

T R

N mg

Ciało pozostaje w równowadze dzi ˛eki działaniu tarcia statycznego

Siła działaj ˛aca mi ˛edzy dwoma powierzchniami

nieruchomymi wzgl ˛edem siebie, dociskanymi sił ˛a N.

Maksymalna siła tarcia statycznego T_S^max jest równa najmniejszej sile F jak ˛a nale˙zy przyło˙zy´c do ciała, aby ruszy´c je z miejsca.

Prawo empiryczne:

T~_S^max = −µ_s~i_F N ~i_F = F~ F

Tarcie

Tarcie statyczne

Póki przyło˙zona siła F~ jest mała, tarcie statyczne utrzymuje ciało w spoczynku:

T~_s = − ~F

⇒ siła tarcia ro´snie proporcjonalnie do przyło˙zonej siły.

Gdy przyło˙zona siła przekroczy warto´s´c T_S^max = µ_s · N ciało zaczyna si ˛e porusza´c ⇒ tarcie kinetyczne

T_s

Tarcie kinetyczne naogół słabsze od spoczynkowego: µ_k < µ_s

Tarcie

Współczynniki tarcia

Przykładowe współczynniki dla wybranych materiałów:

Hamowanie samochodu:

wa˙zne aby koła nie zacz ˛eły si ˛e ´slizga´c

• po´slizg ⇒ µ_k

• dobry kierowca lub ABS ⇒ µ_s

zysk ∼40% na drodze hamowania

Tarcie

Tarcie toczne

r µ

F

Q R

N

Tocz ˛ace si ˛e ciało odkształca zawsze powierzchni ˛e po której si ˛e toczy.

Poza tarciem statycznym i kinetycznym (po´slizgowym) mamy tarcie toczne:

T~_t = −µ_t~i_F N r

Współczynnik tarcia tocznego µ_t jest zwykle bardzo mały

Przykładowo:

• drewno + drewno ⇒ µ_t= 0,0005 m

• stal hartowana + stal ⇒ µ_t= 0,00001 m (wymiar długo´sci!)

Lepko´s´c

Ciało poruszaj ˛ace si ˛e po powierzchni cieczy:

Warstwa cieczy przylegaj ˛aca do ciała porusza si ˛e wraz z nim.

Warstwa cieczy przylegaj ˛aca do dna spoczywa.

“tarcie wewn ˛etrzne” pomi ˛edzy warstwami cieczy poruszaj ˛acymi si ˛e z ró˙znymi pr ˛edko´sciami.

Formuła empiryczna:

F~_L = −~i_V η v S d gdzie: v - pr ˛edko´s´c ciała

S - powierzchnia styku z ciecz ˛a d - gł ˛eboko´s´c naczynia

η - współczynnik lepko´sci

Lepko´s´c

Typowe warto´sci:

eter 0.0002 N s/m²

woda 0.001 N s/m²

gliceryna 1.5 N s/m² miód 500. N s/m² wodór 0.000009 N s/m² powietrze 0.000018 N s/m² tlen 0.000021 N s/m²

Lepko´s´c cieczy maleje z temperatur ˛a Lepko´s´c gazów ro´snie z temperatur ˛a

ciecz

gaz

Ruch w o´srodku

Opór czołowy

Siły jakie działaj ˛a na ciało poruszaj ˛ace si ˛e w o´srodku mo˙zemy podzieli´c na:

• sił ˛e oporu czołowego F~_◦ ↑↓ ~v

• sił ˛e no´sn ˛a F~_N ⊥ ~v

Z analizy wymiarowej:

F~_◦ = −~i_v C

2ρv²S ^{wzór Newtona} gdzie: v - pr ˛edko´s´c ciała

S - powierzchnia poprzeczna ρ - g ˛esto´s´c cieczy

C -bezwymiarowy współczynnik zale˙zny od kształtu ciała, jego orientacji wzgl ˛edem ~v

oraz bezwymiarowej kombinacji parametrów:

Re = v l ρ η

Re - liczba Reynoldsa, l - wymiar poprzeczny

O.Reynolds (1883): skalowanie przepływów cieczy

Ruch w o´srodku

Opór czołowy

Dla ciała kulistego i Re ≪ 1

istnieje ´scisłe rozwi ˛azanie problemu:

(G.Stokes 1851)

C = 24 Re

F~_◦ = −6πηr ~v

siła oporu proporcjonalna do v

W obszarze du˙zych warto´sci Re C ≈ ^onst

F_◦ ∼ v²

Wyniki pomiarów współczynnika C dla kuli:

C ≈ ²⁴_Re

C ≈ _Re⁴_0.3 ↑ ↑ C ≈ 0.45

Ruch w o´srodku

Pr ˛edko´s´c graniczna Równanie ruchu kuli spadaj ˛acej w cieczy (Re ≪ 1) m~a = m~g − m_p~g − 6πηr~v

Rozwi ˛azanie (ruch w pionie):

v(t) = v_gr + (v₀ − v_gr) exp



−6πηr m t



v_gr - pr ˛edko´s´c graniczna

Ruch w o´srodku

Pr ˛edko´s´c graniczna

Dla kuli spadaj ˛acej w cieczy (Re ≪ 1) v_gr = 2

9

r²g(ρ − ρ_p) η

Zale˙zno´s´c od kształtu

Kula:

F~_◦ = −6π ηr ~v

≈ −18.8 ηr ~v Dysk (⊥ ~v):

F~_◦ = −16 ηr ~v

Dysk (|| ~v):

F~_◦ = −32

3 ηr ~v

Ruch w o´srodku

Prawo Bernouliego

Lepko´s´c nie jest jedynym ´zródłem sił działaj ˛acych na ciało w o´srodku.

Prawo Bernouliego: ρgh + ρv²

2 + p = const

Ci´snienie cieczy (nacisk na jednostk ˛e powierzchni) jest mniejsze w obszarze wiekszych pr ˛edko´sci opływania ⇒ ciało jest “wci ˛agane” w obszar wiekszych pr ˛edko´sci

Ale mo˙zna na to spojrze´c te˙z z punktu widzenia praw Newtona! Siła no´sna jest sił ˛a reakcji! Ciało wymusza zmian ˛e kierunku ruch cz ˛asteczek o´srodka, pcha go “w dół”...

Ruch w o´srodku

Zjawisko Magnusa

Walec wiruj ˛acy w przepływaj ˛acej poprzecznie

do osi obrotu cieczy lub gazie. zgodne kierunki pr ˛edko´sci:

⇒ pr ˛edko´s´c przepływu wzrasta

⇒ przyspieszenie do´srodkowe ro´snie

⇒ ci´snienie maleje

przeciwne kierunki pr ˛edko´sci:

⇒ pr ˛edko´s´c przepływu maleje

⇒ przyspieszenie do´srodkowe maleje

⇒ ci´snienie wzrasta

⇒ wypadkowa siła no´sna F~_N ⊥ ~v

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´n XXI w.

współfinansowany przez Uni ˛e Europejsk ˛a

ze ´srodków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki