WYKŁAD 5 2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ

WYKŁAD 5

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ

2.1. Wstęp: metoda współrzędnych

W geometrii analitycznej badamy obiekty geometryczne metodą analityczną.

Najbardziej znaną metodą tego typu jest metoda współrzędnych oparta na układzie współrzędnych.

2A1 (Definicja: układ współrzędnych). Układ Oxyz współrzędnych w przestrzeni składa się z trzech (zwykle wzajemnie prostopadłych) prostych Ox, Oy, Oz z jednostkami mierzenia i ustalonymi kierunkami, przecinających się w jednym punkcie O. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, płaszczyzny xOy, xOz, yOz płaszczyznami, punkt O początkiem układu współrzędnych. Zwykle korzysta się z orientacji układu prawoskrętnego, tzn. jeżeli prawą rękę umieścimy tak, aby kciuk wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy.

W metodzie współrzędnych każdemu punktowi M przestrzeni odpowiada uporządkowana trójka (x_M,y_M,z_M) liczb rzeczywistych (współrzędnych tego punktu) i na odwrót. Wtedy geometryczne obiekty opisujemy przez warunki (równania, nierówności lub ich układy), które spełniają współrzędne punktów zawartych w geometrycznych obiektach. Odpowiednie równania nazywamy równaniami tych obiektów.

Podobnie definiujemy układ współrzędnych na płaszczyźnie.

2A2 (Przykłady).

2.1. Równanie

2 2 2

0 0 0

(xx ) (y y )  (z z )  0

opisuje punkt M₀ o współrzędnych x y z₀, ₀, ₀ (to znaczy M x y z₀( ,_{0 0}, )₀ ) w przestrzeni;

2.2. Układ nierówności

1, 0, 0

x y x y

opisuje trójkąt OAB o wierzchołkach (0,0), (1,0),O A O(0,1) na płaszczyźnie.

W geometrii analitycznej rozpatrujemy dwa podstawowych problemy: opisanie obiektów równaniami otrzymanymi z własności tych obiektów i na odwrót, badanie własności geometrycznych obiektów przez ich równania.

2.2. Wektory

Pod pojęciem wektora (odcinka skierowanego) a w przestrzeni (lub na płaszczyźnie) rozumiemy wyłącznie wektor swobodny, tzn. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, zwrot oraz długość. Wektor tego zbioru o początku w punkcie O będziemy nazywali reprezentantem wektora a . JeżeliA x y z( _A, _A, _A) jest końcem tego reprezentanta, to wektor a można utożsamiać z wektorem OA wodzącym punktu A i z jego współrzędnymi. Mamy zatem

a = OA = (x y z_A, _A, _A)

def ( ,x y z_{a a}, _a),

gdzie liczby rzeczywiste x y z_a, _a, _a są współrzędnymi wektora a .

Wektor 0(0,0,0) nazywamy wektorem zerowym, wektor    a ( x_a, y_a,z_a) nazywamy wektorem przeciwnym do wektora a .

Podobnie definiujemy wektory na płaszczyźnie.

2A+B3 (Wektory współliniowe). Wektory ,a b są współliniowe (równoległe), co oznaczamy a b|| , gdy istnieje jedna lub dwie równoległe proste, w których zawarte są te wektory. Stąd mamy warunek współliniowości:

|| ^{a a a} lub

b b b

x y z

a b a b b a

x y z

        , gdzie  jest liczbą .

2A+B4 (Wektory współpłaszczyznowe). Wektory , ,a b c są

współpłaszczyznowe, gdy są zawarte w jednej lub równoległych płaszczyznach.

Warunek 0

a a a

b b b

c c c

x y z

x y z

x y z

 jest warunkiem współpłaszczyznowości wektorów , ,a b c .

2A5 (Definicja: długość wektora). Długość a wektora a jest określona wzorem

2 2 2

a a a .

a  x y z

2A+B6 (Definicja: rzut wektora). Rzut P a_b wektora a na wektor b określamy wzorem P a_b  acos( a b), gdzie ( a b) oznacza kąt między wektorami a i

b .

Uwaga. Współrzędne wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych.

2B7 (Ćwiczenie). Podać własności długości oraz rzutów wektorów.

2A8 (Definicja: wersory). Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.

Najbardziej znany są wersory i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) położone odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych.

2A+B9 (Podział odcinka w podanym stosunku). Niech C będzie punktem podziału odcinka AB w stosunku p q:  , gdzie   0 (p0,q , tzn. 0) AC  CB. Wtedy współrzędne tego punktu wyrażają się wzorami:

, ,

1 1 1

A B A B A B

C C C

x x y y z z

x  y  z 

  

  

  

   .

W postaci wektorowej mamy 1

( )

OC 1 OA OB

 

 . Punkt C jest środkiem odcinka AB w szczególnym przypadku gdy   : 1

, ,

2 2 2

A B A B A B

C C C

x x y y z z

x   y   z   .

Ćwiczenie (B+C). Określić podział odcinka w podanym stosunku dla  . 2A+B10 (Iloczyn skalarny). Iloczyn skalarny a b wektorów a ( ,x y z_{a a}, _a) i

( ,_{b b}, _b)

b x y z określamy wzorem cos ( )

a b  a b a b .

Przykłady: i i j jk k 1, i j j k i k 0 (tu i dalej wektory , ,

i j k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz. . Własności iloczynu skalarnego:

1) a bb a; 2) (a) b(a b)a (b); 3) a a a²; 4) (ab) c a cb c; 5) a b   ; a b

6) a b 0  wektory a bi są prostopadłe (tu a b c, , są wektorami,  ).

Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu skalarnego:

a b a b a b

a bx x y y z z .

2A+B11 (Iloczyn wektorowy). Niech wektory a( ,x y z_{a a}, _a), b( ,x y z_{b b}, _b), ( ,_{c c}, )_c

c x y z tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu

współrzędnych tzn. 0

a a a

b b b

c c c

x y z

x y z

x y z

 . Wtedy wektor c nazywamy iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów a bi , co oznaczamy c a b, jeżeli spełnione są warunki:

1) wektor c jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach a bi ; 2) długość c wektora c jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach a bi : c   a b sin ( a b);

3) orientacja wektorów a b c, , jest zgodna z orientacja układu współrzędnych Oxyz.

Przykłady:

0, , ,

i i     j j k k i    j k j i j k    i k j k i    j i k. Własności iloczynu wektorowego:

1) a b   b a; 2) (a) b (a b  ) a (b); 3) a a 0;

4) (a     b) c a c b c, a (b c)   a b a c; 5) a b   ; a b 6) a b 0  wektory a b || wektory a bi są równoległe (tu a b c, , są wektorami,  ).

Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu wektorowego:

def

a a a a a a

b b b b b b

a a a

b b b

i j k

y z x z x y

c a b i j k

y z x z x y

x y z

x y z

  



     ^,

gdzie pierwszy „wyznacznik” obliczamy przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza.

2A+B12 (Iloczyn mieszany). Iloczyn mieszany ( , , ) luba b c a bcwektorów ( ,_{a a}, _a)

a x y z , b( ,x y z_{b b}, _b), c ( ,x y z_{c c}, )_c określamy wzorem ( , , ) ( )

def

a bc  a b c



a b c^. Własności iloczynu mieszanego:

1) a bc bc ac a b b a c  c b a  a c b;

2) interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego: iloczyn mieszany a b c wektorów a b c, , jest równy (z dokładnością do znaku) objętości

równoległościanu D rozpiętego na tych wektorach: D  a bc ; 3) a bc 0 wektory a b c, , są współpłaszczyznowe;

4) wzór do obliczania iloczynu mieszanego:

a a a

b b b

c c c

a b c

x y z

x y z

x y z

 , skąd można otrzymać inne własności iloczynu mieszanego.

2B+C13 (Ćwiczenie: zastosowania rachunku wektorowego). Podać przykłady:

środek masy i momenty bezwładności układu punktów materialnych, moment siły itd.

Podobnie rozpatrujemy rachunek wektorowy na płaszczyźnie.

Zbiór reprezentantów wszystkich wektorów przestrzeni przez współrzędne tych reprezentantów można utożsamiać z ³ i ogólniej przestrzeń ⁿ utożsamiamy z przestrzenią wektorową n-wymiarową, której elementy będziemy nazywali wektorami (n-wektorami kolumnowymi). Przy oznaczaniu tych wektorów strzałki będziemy opuszczali.

2A+B14 (Współrzędne wektora w bazie). Bazą przestrzeni ⁿ nazywamy zbiór n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy każdy wektor przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazy.

Współczynniki tej kombinacji (to jest rozwinięcia wektora w bazie) dla danego wektora są wyznaczone jednoznacznie i nazywa się współrzędnymi wektora w tej bazie. Wektory tworzą bazę standardową (kanoniczną) jeżeli macierz o kolumnach, których elementy są odpowiednio współrzędnymi tych wektorów jest jednostkowa. Współrzędne wektora w podanej bazie obliczamy jako współczynniki odpowiedniej kombinacji liniowej w rozwinięciu wektora w tej bazie, co sprowadza się do rozwiązywania pewnego układa Cramera.

2.3. Płaszczyzna w przestrzeni

Niech w przestrzeni ³ będzie ustalony układ współrzędnych Oxyz. Wtedy równanie (przy pewnychdodatkowych założeniach)



x,y,z



0 F

jest równaniem powierzchni w tej przestrzeni. Powierzchnię tę określamy jako zbiór punktów M x y z w ( , , ) ³, których współrzędne , ,x y z spełniają to równanie. Najprostszą powierzchnią jest płaszczyzna, którą można określić różnymi sposobami. W zależności od sposobów rozpatrujemy różne równania płaszczyzny.

2A+B15 (Równania płaszczyzny).

15.1. Równanie normalne płaszczyzny  przechodzącej przez punkt



_{0 0 0}



0 x ,y ,z

M i prostopadłej do wektora n( , , )A B C  . 0

Wektor n( , , )A B C  nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny 0  jeżeli jest on prostopadły do tej płaszczyzny tzn. do dowolnego wektora zawartego w tej płaszczyźnie. Jeżeli wektor n jest wektorem normalnym  to i wektor



A B C



n   

   

  , ,

będzie normalnym wektorem płaszczyzny . Niech



x y z



M , , będzie dowolnym punktem płaszczyzny . Wtedy wektor



_{0 0 0}



0M x x ,y y ,z z

M     jest prostopadły do wektora n



A,B,C



skąd biorąc pod uwagę 2A+B10 otrzymamy równanie płaszczyzny  (rys. 1) przechodzącej przez punkt M₀



x₀,y₀,z₀



i prostopadłej do wektora n :

: A



xx₀

 

B yy₀

 

C zz₀



0, (1) gdzie A² B² C²  . 0

n



A,B,C





M



x,y,z



M₀



x₀,y₀,z₀



Rys. 1. Płaszczyzna o równaniu A



xx₀

 

B yy₀

 

C zz₀



0.

Uwaga. Przy dowolnych A B C , gdzie , , A² B² C²  , równanie (1) określa 0 pęk płaszczyzn przechodzących przez punkt M₀



x₀,y₀,z₀



.

15.2. Równanie ogólne płaszczyzny .

Oznaczamy D



Ax₀  By₀ Cz₀



. Wtedy równanie (1) płaszczyzny  przyjmuje postać

: AxByCzD0, (2) która jest prostopadła do wektora ^n



^{A B C, ,}



 (normalnego wektora ⁰ płaszczyzny).

Twierdzenie. Przy ustalonym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni ³ liniowe równanie (2) przedstawia płaszczyznę i na odwrót każdą płaszczyznę w tej przestrzeni można opisać przez równanie (2).

Przykłady:

1) A  czyli 0 ByCzD0  równanie płaszczyzny równoległej do osi Ox (wektor normalny ^n



^{0, ,B C}



 jest prostopadły do osi Ox: n Ox⁰  );

2) B0 czyli AxCz  D 0  równanie płaszczyzny równoległej do osi Oy (^n



^A,0,C



^Oy);

3) C 0 czyli AxByD0  równanie płaszczyzny równoległej do osi Oz (^n



^{A B, ,0}



^{ Oz);}

4) D0 czyli AxByCz 0  równanie płaszczyzny przechodzących przez początek układu współrzędnych;

5) A B0 czyli Cz  D0  równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Oz (równoległej do płaszczyzny Oxy : ^n



^0,0,C



^||Oz);

6) A C 0 czyli By D0  równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Oy (równoległej do płaszczyzny Oxz );

7) B C0 czyli Ax D0  równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Ox (równoległej do płaszczyzny Oyz );

8) A D0 czyli By Cz 0  równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś Ox ;

9) B D0 czyli Ax Cz 0  równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś Oy ;

10) C 0 czyli Ax By0  równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś Oz ;

11) A BD0 czyli Cz 0



z 0



 równanie płaszczyzny pokrywającej się z płaszczyzną Oxy ;

12) ACD0 czyli By D 0



y0



 równanie płaszczyzny pokrywającej się z płaszczyzną Oxz ;

13) BCD0 czyli Ax D 0



x0



 równanie płaszczyzny pokrywającej się z płaszczyzną Oyz .

Następnie niech r r₀, będą wektorami wodzącymi punktów odpowiednio



_{0 0 0}



0 x ,y ,z

M , M



x, y,z



. Wtedy mamy równanie normalne płaszczyzny  w postaci wektorowej:

: n (rr_o)0. (3) W równaniu (3) wektor normalny ^n



^{A B C, ,}



zastąpimy wersorem n gdzie

2 2 2

1 1

C B n  A  



  i znak wybieramy przeciwny do wyrazu wolnego

D. Wtedy otrzymamy równanie normalne płaszczyzny : 0 cos

cos

cos  y z  p

x    , (4) gdzie ,, są kątami między normalnym wektorem i wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz oraz p jest odległością początku układu współrzędnych od polszczyzny.

15.4. Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty



_{1 1 1}



1 x ,y ,z

M , M₂



x₂,y₂,z₂



, M₃



x₃,y₃,z₃



.

Nich M



x,y,z



będzie dowolnym punktem płaszczyzny . Wtedy wektory



_{1 1 1}



1M x x ,y y ,z z

M     , ^M₁^M₂ ^



^x₂ ^x₁^,y₂ ^{ y}₁^,z₂ ^z₁



^,



_{3 1 3 1 3 1}



3

1M x x , y y ,z z

M     są współpłaszczyznowe (rys. 2)..

M₂ M 

M₁ M₃

Rys. 2. Płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty.

Korzystając z warunku współpłaszczyznowości wektorów otrzymamy równanie tej płaszczyzny

0

1 3 1 3 1 3

1 2 1 2 1 2

1 1

1





















z z y y x x

z z y y x x

z z y y x

x

. (6)

15.5. Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez dwa punkty M₁



x₁,y₁,z₁



,



_{2 2 2}



2 x ,y ,z

M i równoległej do wektora ^{a }



^a₁^,a₂^,a₃



^.

Jeżeli wektory a

i M₁M₂ 



x₂ x₁,y₂  y₁,z₂ z₁



nie są współliniowe (rys.

3) to otrzymujemy równanie tej płaszczyzny:

: 0

3 2

1

1 2 1 2 1 2

1 1

1















a a

a

z z y y x x

z z y y x

x

(7) M₂ M 

M₁ a

Rys.3. Płaszczyzna równoległa do wektora a i przechodzą przez punkty M₁, M₂.

15.6. Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez punkt M₁



x₁,y₁,z₁



i

równoległej do dwu niewspółliniowych wektorów a 



a a a1, 2, 3



, b



b y z1, 2, 3



. Niech punkt M



x, y,z



należy do płaszczyzny . Wtedy wektory (rys. 4)



^a₁^,a₂^,a₃



a 

, b



b y z1, 2, 3



, ^M₁^{M }



^xx₁^{, y y}₁^{,z z}₁



^są

współpłaszczyznowe. Z warunku 2A+B4 współpłaszczyznowości otrzymamy

: 0

3 2

1

3 2

1

1 1

1









b b

b

a a

a

z z y y x x

(8)

A M  a

M₁ B b

Rys.4. Płaszczyzna przechodzą przez punkt M₁ i równoległa do dwu niewspółliniowych wektorów ai b.

15.7. Równanie parametryczne płaszczyzny .

Niech dowolny punkt ^M



^x,y,z



o wektorze wodzącym r należy do płaszczyzny  przechodzącej przez punkt M₁



x₁,y₁,z₁



i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach a 



a₁,a₂,a₃



, b



b y z1, 2, 3



. Wtedy wektory a i b tworzą bazę w  wektor rr0 ^M₁^M 



^x ^x₁^,y ^y₁^,z ^z₁



o wektorze wodzącym r₀ możemy przedstawić jako kombinację liniową

b v a u M

M₁    tych wektorów (równanie wektorowe)

: r r₀ uavb

czyli w rozwiniętej formie (równanie parametryczne)

:

1 1 1

1 2 2

1 3 3

, , ,

x x ua vb

y y ua vb

z z ua vb

  

   

   



(9) gdzie u i v są parametrami.

2A+B16 (Wzajemnie położenie dwu płaszczyzn).

Kąt między płaszczyznami nazywamy kąt ostry między wektorami normalnymi tych płaszczyzn. Przyjmujemy, że kąt między płaszczyznami równoległymi jest równy 0.

Kąt między płaszczyznami ₁, i  o wektorach normalnych odpowiednio ₂

1 ( ,1 1, 1)

n  A B C i n₂ (A B C₂, ₂, ₂) wyraża się wzorem

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos A A B B C C

A B C A B C

 

      lub _{1 2} ^{1 2}

1 2

( , ) arccos n n . n n

  

 (10) Stąd mamy

Twierdzenie. Niech

 : 1 A₁xB₁yC₁zD₁ 0,

 : 2 A₂x B₂yC₂zD₂ 0. Wtedy

1.  pokrywa się z ₁  ₂     

1 2 1 2 1 2 1 2

D D C C B B A

A .

2. ₁  ₂ 

1 2 1

2 1 2 1 2

D D C

C B B A

A   

tzn. n₁ n (rys. 8). ₂

3. Płaszczyzny  i ₁  są nierównolegle ₂ 

4.

1 2 1 2

B B

A A lub

1 2 1 2

C C

B B , lub

1 2 1 2

C C A A .

5.  ₁  (rys. 9) ₂  n₁ n ₂ A₁A₂ B₁B₂ C₁C₂ 0.

n ₁

 ₁  ₂

n ₂ n ₂

 ₂  ₁ n ₁

Rys. 8. ₁ ₂. Rys. 9.  ₁ ₂.

2A+B17 (Odległość punktu od płaszczyzny).

Odległość punktu M₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) od płaszczyzny  : AxByCz  D 0, gdzie A² B² C²  , wyraża się wzorem (A): 0

0 0 0

0 2 2 2

( , ) Ax By Cz D .

d M

A B C

  

  



Odległość punktu M od płaszczyzny  jest równa długości odcinka M M_{0 0}', gdzie P jest rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę '  .

Odległość między płaszczyznami równoległymi  i ₁  o równaniach ₂

1:Ax By Cz D1 0, 2:Ax By Cz D2 0

         

wyraża się wzorem (B):

1 2

1 2 2 2 2

( , ) D D .

d

A B C

   ^

 

2A+B18 (Definicja:rzut punktu na płaszczyznę).

Rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę  nazywany punkt M tej ' płaszczyzny spełniający warunek:

' .

MM 

2.4. Prosta w przestrzeni 2A+B19 (Równania prostej).

19.1. Równanie parametryczne prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) o wektorze wodzącym r₀ i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v ( , , )a b c ma postać:

: 0 , gdzie l r  r tv t lub po rozpisaniu na współrzędne:

0 0 0

: ( , , ) ( , , ) ( , , ), gdzie . l x y z  x y z t a b c t

Powyższą zależność nazywany równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej. Inny zapis tego równania ma postać

0 0 0

,

: , gdzie .

, x x at

l y y bt t

z z ct

 

   

  



Uwaga. Powyższe równania będą przedstawiały półproste lub odcinek, gdy parametr t będzie przebiegał odpowiednio przedziały

(, ], [ , ) lub [ , ].    

19.2. Równanie kierunkowe prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku

( , , )

v a b c ma postać

0 0 0

: x x y y z z .

l a b c

    

Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.

Uwaga (B). Aby nie ograniczyć zakresu stosowania równania kierunkowego prostej przyjmujemy, że w mianownikach powyższych ułamków mogą wystąpić zera.

19.3. Równanie krawędziowe prostej. Prostą l , która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn ₁: A x₁ B y₁ C z₁ D₁0,

2: A x2 B y2 C z2 D2 0

     , będziemy zapisywać w postaci:

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0,

0.

A x B y C z D l A x B y C z D

   

    



Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.

Uwaga. Wektor kierunkowy prostej

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0,

0.

A x B y C z D l A x B y C z D

   

    

 ma postać

1 2 ( ,1 1, 1) ( 2, 2, 2).

v   n n A B C  A B C 2A+B20(Rzut punktu na prostą).

Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt 'P tej prostej spełniający warunek:

' . PP  l

Uwaga. W podobny sposób definiuje się rzut ukośny punktu na płaszczyznę lub na prostą w kierunku ustalonego wektora.

2A+B21 (Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny).

Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny  nazywamy kąt , 2

   gdzie  

 jest kątem ostrym między wektorem normalnym n płaszczyzny  i wektorem kierunkowym v prostej l . Jeżeli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to przyjmujemy, ze kąt jej nachylenia do tej płaszczyzny jest równy 0.

Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny  o wektorze normalnym n wyraża się wzorem:

( , ) arcsin n v .

l   n v

 2A+B22 (Kąt między prostymi).

Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.

Kąt między prostymi l l₁, ₂ o wektorach kierunkowych odpowiednio v₁ i v₂ wyraża się wzorem

1 2

( , ) arccos n v .

l l  n v



2A+B+C23 (Wzajemnie położenie dwu prostych). Niech

   

1 1, ,1 1 , 2 2, ,2 2

v  a b c v  a b c będą wektorami kierunkowymi prostych l₁ i l₂ przechodzących odpowiednio przez punkty M₁



x₁,y₁,z₁



i M2



x y z2, 2, 2



. Wtedy

23.1(A). l₁ l ₂ v₁ v₂ ^{1 1 1}

2 2 2

a b c

a b c

   .

23.2(A). l₁ l₂ v₁ v₂ a a_{1 2} b b_{1 2} c c_{1 2} 0. 23.3(B). l₁il₂ są zawarte w jednej płaszczyźnie

 

2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0

x x y y z z

a b c

a b c

  

 .

23.4(C). l₁ i l₂ są skośne 

2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0

x x y y z z

a b c

a b c

  

 .

2A+B24 (Odległość punktu od prostej). Odległość punktu M₀



x₀,y₀,z₀



od prostej o równaniu x x¹ y y¹ z z¹

a b c

     obliczamy ze wzoru

 

^{r1 r0 v}

d

v

 

 ,

gdzie ^v



^{a b c, ,}



^, r i 0 r są wektorami wodzącymi odpowiednio punktów ₁



_{0 0 0}



0 x ,y ,z

M , M x y z (rys. 10). 1



1, ,1 1



Odległość d jest równa wysokości równoległoboku rozpiętego na wektorach

0 1 r

r  i v . a M₀

r ₁ r₀ ^d r ₀

M₁ r₁ O

Rys. 10. Odległość punktu od prostej.

2B+C25 (Odległość między prostymi).

25.1. Odległość między równoległymi prostymi

l1: ^{1 1 1}

1 1 1

x x y y z z

a b c

     i l₂: ^{2 2 2}

2 2 2

x x y y z z

a b c

    

wyraża się wzorem

 

^{2 1 1}

1

r r v

d

v

 



 

^{2 1 2}

2

r r v

v

 

 .

25.2. Odległość między prostymi skośnymi l₁ i l₂ wyraża się wzorem

 

^{2 1 1 2}

1 2

r r v v d

v v

 

 , gdzie v1 



a b c1, ,1 1



, v2 



a b c2, ,2 2



; r i ₂ r są wektorami ₁ wodzącymi odpowiednio punktów M2



x y z2, 2, 2



i M x y z . 1



1, ,1 1



Uwaga. Wiemy z 2A+B15 że równanie liniowe (4) w przestrzeni ³ określa płaszczyznę. Analogiczne równanie liniowe AxBy  , gdzie C 0

2 2

0

A B  , określa prostą na płaszczyźnie. Więcej informacji o geometrii analitycznej w płaszczyźnie ² można przeczytać w skrypcie

Tereza Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1, GiS, Wrocław, 2002, s. 148-159.