1 Konstrukcja pier´ scienia wielomian´ ow

Wyk lad 3

Wielomiany i u lamki proste

1 Konstrukcja pier´ scienia wielomian´ ow

Niech P b edzie dowolnym pier´

scieniem, w kt´ orym 0 6= 1. Oznaczmy przez P [x] zbi´ or wszystkich niesko´ nczonych ci ag´

ow o wszystkich wyrazach z P

f = (f

, f

, f

, . . .) (1)

takich, ˙ze 0 = f

= f

= f

= . . . dla pewnego k ∈ N

.

Elementy zbioru P [x] nazywamy wielomianami zmiennej x o wsp´ o lczynnikach z pier´ scienia P . Przyjmujemy umow e, ˙ze je´

sli wielomian nazywa si e g, to g = (g

, g

, . . .), czyli g

, g

, . . . s a

jego kolejnymi wsp´ o lczynnikami. Przy tych oznaczeniach dla wielomian´ ow f, g ∈ P [x] mamy

f = g ⇔ f

= g

dla ka˙zdego i = 0, 1, 2, . . . (2) Wielomian 0 = (0, 0, . . .) nazywamy zerowym, za´ s 1 = (1, 0, 0, . . .) nazywamy jedynkowym.

Je˙zeli 0 = f

= f

= . . . to wielomian f nazywamy sta lym. Wyrazem wolnym wielomianu f postaci (1) jest wsp´ o lczynnik f

. Je˙zeli f 6= 0, to istnieje najwi eksze n takie, ˙ze f

6= 0 i w´ owczas n nazywamy stopniem wielomianu f i piszemy st(f ) = n, za´ s f

nazywamy najstarszym wsp´ o lczynnikiem tego wielomianu. Ponadto przyjmujemy, ˙ze st(0) = −∞ oraz −∞ < n dla n ∈ N

i (−∞) + +n = (−∞) + (−∞) = −∞ dla n ∈ N

.

Sum a wielomian´

ow f, g ∈ P [x] nazywamy ci ag f + g okre´

slony nast epuj

aco:

f + g = (f

+ g

, g

+ f

, f

+ g

, . . .). (3) Latwo wykaza´ c, ˙ze dla dowolnych f, g ∈ P [x] mamy, ˙ze f + g ∈ P [x] oraz zachodzi wz´ or:

st(f + g) ≤ max{st(f ), st(g)}. (4)

Je˙zeli za´ s st(f ) < st(g), to oczywi´ scie st(f + g) = st(g).

Iloczynem wielomian´ ow f, g ∈ P [x] nazywamy ci ag f · g okre´

slony wzorem:

f · g = (f

g

, f

g

+ f

g

, f

g

+ f

g

+ f

g

, . . .). (5) Zatem dla ka˙zdego n = 0, 1, . . .

(f · g)

=

n

X

i=0

f

g

= X

i+j=n

f

g

. (6)

Zauwa˙zmy, ˙ze f · g ∈ P [x]. Rzeczywi´ scie, istniej a k, l ∈ N

takie, ˙ze f

= 0 dla wszystkich i > k

oraz g

= 0 dla wszystkich j > l. We´ zmy dowolne n > k + l oraz i, j ∈ N

takie, ˙ze i + j = n.

Je´ sli i > k, to f

= 0, wi ec f

g

= 0; je´ sli za´ s i ≤ k, to j = n − i ≥ n − k > k + l − k = l, wi ec

g

= 0, czyli f

g

= 0. St ad dla n > k + l jest (f · g)

= X

i+j=n

f

g

= 0 i f · g ∈ P [x].

Je˙zeli f

= 0 dla i = 1, 2, . . . to ze wzoru (5) mamy

(f

, 0, 0, . . .) · (g

, g

, . . .) = (f

g

, f

g

, f

g

, . . .). (7) Je˙zeli za´ s f

= 1 oraz f

= 0 dla i = 0, 2, 3, . . . to ze wzoru (5) wynika, ˙ze

(0, 1, 0, 0, . . .) · (g

, g

, . . .) = (0, g

, g

, . . .). (8) Niech teraz f, g ∈ P [x] \ {0} i n = st(f ), m = st(g). Wtedy z wcze´ sniejszych wylicze´ n mamy,

˙ze (f · g)

= 0 dla wszystkich k > n + m. St ad i z (6) mamy

∀

st(f · g) ≤ st(f ) + st(g). (9)

Mo˙zna udowodni´ c nast epuj

ace twierdzenie:

Twierdzenie 3.1. System algebraiczny (P [x], +, ·, 0, 1) tworzy pier´ scie´ n.

Ten pier´ scie´ n nazywamy pier´ scieniem wielomian´ ow zmiennej x o wsp´ o lczynnikach z pier-

´

scienia P .

M´ owimy, ˙ze a ∈ P jest elementem regularnym pier´ scienia P , je˙zeli dla dowolnego x ∈ P z tego, ˙ze a · x = 0 wynika, ˙ze x = 0. Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy niezerowy element cia la K jest elementem regularnym. Natomiast 2 nie jest elementem regularnym pier´ scienia Z

, bo 2·

3 = 0.

Pier´ scie´ n P , w kt´ orym 0 6= 1 i ka˙zdy niezerowy element jest regularny nazywamy dziedzin a

ca lkowito´ sci. Przyk ladem dziedziny ca lkowito´ sci, kt´ ora nie jest cia lem jest pier´ scie´ n liczb ca lkowitych Z.

Stwierdzenie 3.2. Niech f, g ∈ P [x] \ {0} b ed

a takie, ˙ze najstarszy wsp´

o lczynnik wielomianu f lub najstarszy wsp´ o lczynnik wielomianu g jest elementem regularnym pier´ scienia P . Wtedy st(f ·g) = st(f )+st(g) oraz najstarszy wsp´ o lczynnik wielomianu f ·g jest iloczynem najstarszych wsp´ o lczynnik´ ow wielomian´ ow f i g.

Dow´ od. Oznaczmy n = st(f ), m = st(g). We´ zmy dowolne i, j ∈ N

takie, ˙ze i + j = n + m.

Je´ sli i < n, to j = n + m − i > m, sk ad g

= 0 oraz f

g

= 0. Je´ sli i > n, to f

= 0, wi ec

f

g

= 0. Zatem ze wzoru (5) mamy, ˙ze (f · g)

= f

g

6= 0, bo f

6= 0, g

6= 0 oraz f

lub g

jest elementem regularnym. St ad ze wzoru (8) wynika teza naszego stwierdzenia.

2

Wniosek 3.3. Je˙zeli P jest dziedzin a ca lkowito´

sci, to st(f · g) = st(f ) + st(g) dla dowolnych f, g ∈ P [x].

Ze wzor´ ow (3) i (6) wynika od razu, ˙ze dla dowolnych a, b ∈ P :

(a, 0, 0, . . .) = (b, 0, 0, . . .) ⇔ a = b, (a, 0, 0, . . .) + (b, 0, 0, . . .) = (a + b, 0, 0, . . .)

oraz (a, 0, 0, . . .) · (b, 0, 0, . . .) = (a · b, 0, 0, . . .). Z tego powodu mo˙zna dokona´ c uto˙zsamienia

(a, 0, 0, . . .) ≡ a dla a ∈ P. (10)

Przy takim uto˙zsamieniu P ⊆ P [x], a nawet P jest podpier´ scieniem pier´ scienia P [x].

Wprowad´ zmy teraz oznaczenie:

x = (0, 1, 0, 0, . . .). (11)

W´ owczas ze wzoru (8) przez prost a indukcj

e uzyskamy, ˙ze

x

= (0, 0, . . . , 0,

1, 0, . . .) dla n = 0, 1, . . . (12) Niech f ∈ P [x] b edzie wielomianem stopnia n ≥ 1. Wtedy f

6= 0 oraz f

= 0 dla ka˙zdego i ≥ n + 1. Ponadto ze wzor´ ow (6) i (12) mamy, ˙ze (f

, 0, 0, . . .) · x

= (0, . . . , 0, f

, 0, . . .) dla k = 1, 2, . . . wi ec f = (f

, 0, 0, . . .) + (0, f

, 0, . . .) + . . . + (0, 0, . . . , f

, 0, . . .) ≡ f

+ f

x + +f

x

+ . . . + f

x

. Poniewa˙z dla wielomianu sta lego f jest f ≡ f

, wi ec dla dowolnego wielomianu

f ∈ P [x] stopnia n ≥ 0 mamy uto˙zsamienie:

f ≡ f

+ f

x + f

x

+ . . . + f

x

. (13) Otrzymujemy w ten spos´ ob naturaln a notacj

e dla wielomian´

ow z pier´ scienia P [x]. Przy tej notacji mo˙zemy powiedzie´ c, ˙ze wielomiany f, g ∈ P [x] s a r´

owne wtedy i tylko wtedy, gdy st(f ) = st(g) oraz f

= g

dla ka˙zdego i.

Z wniosku 3.3 i tego, ˙ze pier´ scie´ n P jest podpier´ scieniem pier´ scienia P [x] wynika od razu nast epuj

ace

Twierdzenie 3.4. Je˙zeli pier´ scie´ n P jest dziedzin a ca lkowito´

sci, to P [x] te˙z jest dziedzin a

ca lkowito´ sci.

Definicja 3.5. Warto´ sci a wielomianu f = f

+ f

x + . . . + f

x

∈ P [x] w punkcie a ∈ P nazywamy f (a) = f

+ f

a + . . . + f

a

.

Definicja 3.6. Pierwiastkiem wielomianu f ∈ P [x] nazywamy takie a ∈ P , ˙ze f (a) = 0.

Definicja 3.7. Wielomiany f, g ∈ P [x] nazywamy r´ ownymi funkcyjnie, je˙zeli f (a) = g(a) dla ka˙zdego a ∈ P .

Przyk lad 3.8. Niech P b edzie niezerowym pier´

scieniem sko´ nczonym o n elementach oraz P = {a

, . . . , a

}. Poniewa˙z 0 6= 1 w P , wi ec 1 jest elementem regularnym w P i na mocy

stwierdzenia 1 mamy, ˙ze wielomian f = (x − a

) · (x − a

) · . . . · (x − a

) ∈ P [x] ma stopie´ n n. Ponadto f (a) = 0 dla ka˙zdego a ∈ P , wi ec wielomiany f i 0 s

a r´

owne funkcyjnie, chocia˙z f 6= 0. Z tego powodu wielomiany nad dowolnym pier´ scieniem P nie mog a by´

c traktowane jako funkcje wielomianowe z pier´ scienia P w pier´ scie´ n P .

Twierdzenie 3.9. Je˙zeli P jest niesko´ nczon a dziedzin

a ca lkowito´

sci oraz wielomiany f, g ∈

P [x] s a r´

owne funkcyjnie, to f = g.

2 Dzielenie wielomian´ ow

Definicja 3.10. Niech P b edzie pier´

scieniem, kt´ ory mo˙ze nie by´ c dziedzin a ca lkowito´

sci.

Powiemy, ˙ze w pier´ scieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszt a przez wielomian f ∈ P [x], je˙zeli

dla ka˙zdego wielomianu g ∈ P [x] istnieje dok ladnie jedna para (q, r) wielomian´ ow q, r ∈ P [x]

taka, ˙ze g = q · f + r oraz st(r) < st(f ).

Uwaga 3.11. Poniewa˙z st(0) = −∞, wi ec dla powy˙zszych f jest f 6= 0.

Uwaga 3.12. Wielomian r nazywamy reszt a, za´

s q nazywamy niepe lnym ilorazem z dzielenia wielomianu g przez wielomian f .

Twierdzenie 3.13. Dla dowolnego pier´ scienia P i dla dowolnego wielomianu f ∈ P [x]

r´ owno-wa˙zne s a warunki:

(i) w pier´ scieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszt a przez wielomian f ;

(ii) najstarszy wsp´ o lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P .

Uwaga 3.14. Algorytm dzielenia wielomian´ ow z reszt a znany ze szko ly ´

sredniej jest dobry dla dowolnego pier´ scienia wielomian´ ow.

Uwaga 3.15. Wielomian f ∈ P [x] o najstarszym wsp´ o lczynniku r´ ownym 1 nazywamy wielomianem unormowanym. Z twierdzenia 3.1 w pier´ scieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszt a przez wielomiany unormowane.

Twierdzenie 3.16. (Bezout). Dla dowolnego wielomianu g ∈ P [x] i dla dowolnego a ∈ P reszta z dzielenia wielomianu g przez dwumian x − a jest r´ owna g(a), tzn. istnieje wielomian q ∈ P [x] taki, ˙ze g = q · (x − a) + g(a).

Dow´ od. Z uwagi 3.15 istniej a q, r ∈ P [x] takie, ˙ze g = q · (x − a) + r i st(r) < 1 = st(x − a).

St ad r ∈ P i g(a) = q(a) · (a − a) + r = r, czyli r = g(a) i g = q · (x − a) + g(a).

2

Definicja 3.17. Niech f, g ∈ P [x]. Powiemy, ˙ze wielomian f dzieli wielomian g w pier´ scieniu P [x] i piszemy f | g, je˙zeli istnieje wielomian h ∈ P [x] taki, ˙ze g = f · h.

Wniosek 3.18. Dla dowolnego wielomianu f ∈ P [x] i dla dowolnego a ∈ P mamy x − a | g w pier´ scieniu P [x] ⇔ g(a) = 0.

Dow´ od. Je˙zeli x − a | g w pier´ scieniu P [x], to istnieje q ∈ P [x] takie, ˙ze g = q · (x − a), sk ad g(a) = q(a) · (a − a) = 0. Na odwr´

ot, niech g(a) = 0. Wtedy z twierdzenia Bezout istnieje q ∈ P [x] takie, ˙ze g = q · (x − a), czyli x − a | g. 2

Stwierdzenie 3.19. Niech a

, . . . , a

b ed

a parami r´

o˙znymi elementami dziedziny ca lkowito´ sci P . W´ owczas dla dowolnego wielomianu f ∈ P [x] r´ ownowa˙zne s a warunki:

(i) (x − a

) · . . . · (x − a

) | f w pier´ scieniu P [x];

(ii) f (a

) = . . . = f (a

) = 0.

Dow´ od. (i) ⇒ (ii) Z za lo˙zenia istnieje h ∈ P [x] taki, ˙ze f = h · (x − a

) · . . . · (x − a

), sk ad

f (a

) = h(a

) · (a

− a

) · . . . · (a

− a

) · . . . · (a

− a

) = 0 dla i = 1, . . . , n.

(ii) ⇒ (i) Stosujemy indukcj e wzgl

edem n. Dla n = 1 teza wynika od razu z wniosku 3.18.

Za l´ o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla pewnego naturalnego n i niech a

, . . . , a

b ed

a parami r´

o˙znymi elementami pier´ scienia P takimi, ˙ze f (a

) = . . . = f (a

) = 0. Wtedy z za lo˙zenia indukcyjnego istnieje g ∈ P [x] takie, ˙ze f = g · (x − a

) · . . . · (x − a

). Ale 0 = f (a

) = g(a

) · (a

− a

) · . . . · (a

− a

), wi ec poniewa˙z P jest dziedzin

a ca lkowito´

sci, to g(a

) = 0 i z wniosku 3.3 istnieje h ∈ P [x] taki, ˙ze g = h · (x − a

). Zatem f = (x − a

) · . . . · (x − a

) · (x − a

), czyli (x − a

) · . . . · (x − a

) | f . 2

Wniosek 3.20. Niech P b edzie dziedzin

a ca lkowito´

sci i niech n ∈ N. W´owczas ka˙zdy wielomian f ∈ P [x] stopnia n posiada co najwy˙zej n r´ o˙znych pierwiastk´ ow w pier´ scieniu P .

Twierdzenie 3.21. (Wzory Viety). Niech K b edzie cia lem i niech f = c

+ c

x + . . . + c

x

∈ K[x], gdzie c

6= 0. Je˙zeli a

, a

, . . . , a

s a wszystkimi (niekoniecznie r´

o˙znymi) pierwiastkami wielomianu f w ciele K, to zachodz a nast

epuj

ace wzory zwane wzorami Viety:

X

1≤i1<...,<ik≤n

a

· . . . · a

= (−1)

· c

c

dla k = 1, 2, . . . , n. (14) .

Definicja 3.22. Niech P b edzie dziedzin

a ca lkowito´

sci i k ∈ N. M´owimy, ˙ze a ∈ P jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu f ∈ P [x], je˙zeli istnieje g ∈ P [x] takie, ˙ze g(a) 6= 0 oraz f = (x − a)

g.

Z zasadniczego twierdzenia algebry oraz z twierdze´ n podanych na tym wyk ladzie mo˙zna w prosty spos´ ob wyprowadzi´ c nast epuj

ace twierdzenia:

Twierdzenie 3.23. Niech f ∈ C[x] b edzie wielomianem stopnia n ∈ N o najstarszym wsp´o l-

czynniku a. W´ owczas istniej a s, k

, . . . , k

∈ N i istniej a r´

o˙zne liczby zespolone a

, . . . , a

takie,

˙ze f = a(x − a

)

(x − a

)

. . . (x − a

)

.

Twierdzenie 3.24. Ka˙zdy wielomian dodatniego stopnia o wsp´ o lczynnikach rzeczywistych jest iloczynem sko´ nczonej liczby wielomian´ ow stopnia 1 lub 2 o wsp´ o lczynnikach rzeczywistych.

Uwaga 3.25. Wielomian f = ax

+ bx + c ∈ R[x] stopnia 2 nie jest iloczynem wielomian´ow stopnia 1 o wsp´ o lczynnikach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ < 0, gdzie ∆ = b

− 4ac.

Twierdzenie 3.26. Niech f = a

+ a

x + . . . + a

x

∈ Z[x]. Je˙zeli liczba wymierna q =

, gdzie k, m ∈ Z i N W D(k, m) = 1, jest pierwiastkiem f , to k|a

i m|a

.

3 U lamki proste

Definicja 3.27. Funkcj a wymiern

a rzeczywist

a nazywamy iloraz dw´

och wielomian´ ow

rzeczywistych, przy czym dzielnik nie jest wielomianem zerowym. Funkcj a wymiern

a zespo-

lon a nazywamy iloraz dw´

och wielomian´ ow zespolonych, przy czym dzielnik nie jest wielomia-

nem zerowym. Funkcj e wymiern

a nazywamy w la´

sciw a, je˙zeli stopie´

n wielomianu w liczniku u lamka okre´ slaj acego t

e funkcj

e jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.

Uwaga 3.28. Z twierdzenia o dzieleniu z reszt a wynika, ˙ze ka ˙zda funkcja wymierna jest

sum a wielomianu oraz funkcji wymiernej w la´

sciwej.

Definicja 3.29. Zespolonym u lamkiem prostym nazywamy funkcj e zespolon

a wymiern

a

postaci

, gdzie A, a ∈ C, A 6= 0 oraz k ∈ N.

Definicja 3.30. Rzeczywistym u lamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcj e rzeczywist

a wymiern

a postaci

, gdzie A, a ∈ R, A 6= 0 oraz k ∈ N.

Definicja 3.31. Rzeczywistym u lamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcj e rzeczywist

a wymiern

a postaci

, gdzie A, B, p, q ∈ R, A 6= 0 lub B 6= 0 oraz k ∈ N, przy czym ∆ = p

− 4q < 0.

Twierdzenie 3.32. Ka˙zda zespolona funkcja wymierna w la´ sciwa jest sum a zespolonych

u lam-k´ ow prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Je˙zeli mianownik zespolonej funkcji wymiernej w la´ sciwej w rozk ladzie na czynniki liniowe posiada czynnik (z −a)

i a jest k-krotnym pierwiastkiem tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji na u lamki proste wyst epuje suma

A1

z−a

+

+ . . . +

dla pewnych (jednoznacznie wyznaczonych) sta lych A

, A

, . . . , A

∈ C. Ponadto, je ˙zeli u lamek prosty zespolony

, gdzie A, b ∈ C, A 6= 0, l ∈ N, wyst epuje w

rozk ladzie tej funkcji wymiernej na sum e u lamk´

ow prostych, to b jest pierwiastkiem mianownika tej funkcji.

Twierdzenie 3.33. Ka˙zda rzeczywista funkcja wymierna w la´ sciwa jest sum a rzeczywistych

u lamk´ ow prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Je˙zeli mianownik rzeczywistej funkcji wymiernej w la´ sciwej w rozk ladzie na czynniki liniowe posiada czynnik (x−a)

i a jest k-krotnym pierwiastkiem tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji na u lamki proste wyst epuje suma

A1

z−a

+

+ . . . +

dla pewnych (jednoznacznie wyznaczonych) sta lych A

, A

, . . . , A

∈ R. Ponadto, je ˙zeli u lamek prosty rzeczywisty

, gdzie A, b ∈ R, A 6= 0, l ∈ N, wyst epuje w

rozk ladzie tej funkcji wymiernej na sum e u lamk´

ow prostych, to b jest pierwiastkiem mianownika tej funkcji. Dalej, je˙zeli dla pewnych p, q ∈ R takich, ˙ze ∆ = p

−4q < 0 wielomian (x

+px+q)

dzieli mianownik tej funkcji wymiernej, ale wielomian (x

+ px + q)

ju˙z nie dzieli tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na rzeczywiste u lamki proste wyst epuje suma

A1x+B1

x²+px+q

+

+ . . . +

. Ponadto, je˙zeli rzeczywisty u lamek prosty drugiego rodzaju

, gdzieA 6= 0 lub B 6= 0 wyst epuje w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na

u lamki proste, to (x

+ ax + b)

dzieli mianownik tej funkcji wymiernej.

Przyk lad 3.34. W oparciu o twierdzenie 3.33 znajdziemy teoretyczny rozk lad na rzeczywi- ste u lamki proste rzeczywistej funkcji wymiernej f (x) =

. Zauwa˙zmy, ˙ze x

+ 4x + 4 = (x + 2)

oraz wielomian x

+ x + 1 ma ujemny wyr´ o˙znik ∆ = 1 − 4 = −3, wiec x

(x

+ 4x + 4)(x

+ x + 1)

= x

(x + 2)

(x

+ x + 1)

i wobec tego:

f (x) = A

x + A

x

+ A

x

+ B

x + 2 + B

(x + 2)

+ C

x + D

x

+ x + 1 + C

x + D

(x

+ x + 1)

dla pewnych jednoznacznie wyznaczonych sta lych A

, A

, A

, B

, B

, C

, C

, D

, D

∈ R.

4 Zadania do samodzielnego rozwi azania

Zadanie 3.35. Wyznacz iloraz i reszt e z dzielenia wielomianu f przez g, gdy

(a) f = 5x

+ 2x

− x − 7, g = x

+ 3x − 1 w Z[x],

(b) f = 5x

+ 2x

− x − 7, g = x

+ 3x − 1 w Z

[x], (c) f = 3x

− 2x + 4, g = x

+ 1 w Z

[x].

Zadanie 3.36. Czy istnieje wielomian f ∈ R[x] stopnia 4 taki, ˙ze f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 1 i f (5) = 5?

Zadanie 3.37. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu (a) f = x

− 2x

+ 1 w pier´ scieniu Z

,

(b) g = x

− 1 w pier´scieniu Z

.

Zadanie 3.38. Wielomian f ∈ R[x] daje przy dzieleniu przez x − 2 reszt e 1, przy dzieleniu

przez x − 1 reszt e 2. Jak

a reszt

e daje f przy dzieleniu przez (x − 1)(x − 2)?

Zadanie 3.39. Wyznacz wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu f = 6x

+ 19x

− 7x

− 26x + 12.

Zadanie 3.40. Nast epuj

ace funkcje wymierne roz l´

o˙z na rzeczywiste u lamki proste:

(a)

, (b)

, (c)

, (d)

,

(e)

, (f)

, (g)

, (h)

, (i)

.