Podpier´scieniem pier´scienia (P

Wyk lad 9

Podpier´scienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

1 Okre´slenie podpier´scienia

Definicja 9.1. Podpier´scieniem pier´scienia (P, +, ·, 0, 1) nazywamy taki podzbi´or A ⊆ P , kt´ory jest pier´scieniem ze wzgledu na wszystkie dzia lania okre´slone w pier´scieniu_, P (zredukowane do A).

Stwierdzenie 9.2. A ⊆ P jest podpier´scieniem pier´scienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia nastepuj_, ace warunki:_,

(I) 1 ∈ A oraz (II) ∀_a,b∈A a − b, a · b ∈ A.

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze A jest podpier´scieniem pier´scienia P . Wtedy 0, 1 ∈ A (ze wzgledu na wykonalno´s´_, c dzia la´n 0-argumentowych) oraz dla dowolnego a ∈ A, −a ∈ A (ze wzgledu na wykonalno´s´_, c dzia lania 1-argumentowego) i ponadto dla a, b ∈ A, a · b ∈ A oraz a − b = a + (−b) ∈ A (ze wzgledu na wykonalno´s´_, c mno˙zenia i dodawania).

Na odwr´ot, za l´o˙zmy, ˙ze 1 ∈ A oraz a − b, a · b ∈ A dla dowolnych a, b ∈ A. Wtedy 0 = 1 − 1 ∈ A, skad dla b ∈ A, −b = 0 − b ∈ A, wi_, ec dla a, b ∈ A, a + b = a − (−b) ∈ A. Zatem_, w A jest wykonalne mno˙zenie i dodawanie. Poniewa˙z wszystkie aksjomaty pier´scienia sa_, spe lnione nawet w P , wiec (A, +, ·, 0, 1) jest pier´scieniem. _,

Stwierdzenie 9.3. W dowolnym pier´scieniu P podzbi´or h1i = {k · 1 : k ∈ Z} jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podpier´scieniem P .

Dow´od. Poniewa˙z 1 = 1 · 1, wiec 1 ∈ h1i. We´_, zmy dowolne a, b ∈ h1i. Wtedy istnieja k, l ∈ Z takie, ˙ze a = k · 1 i b = l · 1. St_, ad a − b = (k − l) · 1 ∈ h1i oraz_, a · b = (k · 1) · (l · 1) = (kl) · 1 ∈ h1i. Zatem na mocy Stwierdzenia 9.2, h1i jest podpier´scieniem w P . Niech A bedzie dowolnym podpier´scieniem pier´scienia P . Wtedy_, 1 ∈ A i A jest podgrupa grupy P_, ⁺. Stad h1i ⊆ A, czyli h1i jest najmniejszym w sensie_, inkluzji podpier´scieniem w P . 

Twierdzenie 9.4. Cze´_,s´c wsp´olna dowolnej niepustej rodziny podpier´scieni pier´scienia P jest podpier´scieniem P .

Dow´od. Niech {At}t∈T bedzie dowoln_, a niepust_, a rodzin_, a podpier´scieni pier´scienia P_, oraz niech A = T

t∈T A_t. Poniewa˙z 1 ∈ A_tdla ka˙zdego t ∈ T , wiec 1 ∈ A. We´_, zmy dowolne a, b ∈ A. Wtedy a, b ∈ A_t dla ka˙zdego t ∈ T , wiec ze Stwierdzenia 9.2, a − b, a · b ∈ A_{, t} dla ka˙zdego t ∈ T . Zatem a − b, a · b ∈ A. Stad na mocy Stwierdzenia 9.2, A jest_, podpier´scieniem pier´scienia P . 

Przyk lad 9.5. Niech P bedzie pier´scieniem. Udowodnimy, ˙ze dla dowolnego pod-_, zbioru X ⊆ P istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podpier´scie´n pier´scienia P zawie- rajacy zbi´_, or X. Nazywamy go podpier´scieniem generowanym przez zbi´or X i oznaczamy przez [X]. Zatem:

X ⊆ [X] i [X] jest podpier´scieniem pier´scienia P oraz (1) [X] ⊆ A dla ka˙zdego podpier´scienia A pier´scienia P takiego, ˙ze X ⊆ A. (2) Rzeczywi´scie, niech {A_t}_t∈T bedzie rodzin_, a wszystkich podpier´scieni pier´scienia P zawie-_, rajacych zbi´_, or X. Wtedy P ∈ {A_t}_t∈T, wiec z Twierdzenia 9.3 mamy, ˙ze A =_, T

t∈T A_tjest podpier´scieniem pier´scienia P . Ale X ⊆ At dla ka˙zdego t ∈ T , wiec X ⊆ A, sk_, ad A jest_, najmniejszym elementem w rodzinie {A_t}_t∈T, czyli A jest najmniejszym podpier´scieniem pier´scienia P zawierajacym zbi´_, or X.

Ze Stwierdzenia 9.3 wynika od razu, ˙ze [∅] = h1i = {k · 1 : k ∈ Z}. Natomiast dla X 6= ∅ mamy nastepuj_, ace_,

Stwierdzenie 9.6. Niech X bedzie niepustym podzbiorem pier´_, scienia P . W´owczas [X]

sk lada sie ze wszystkich sko´_, nczonych sum element´ow postaci s · 1 oraz k · x₁· x₂. . . · x_n, gdzie s, k ∈ Z, x¹, x2, . . . , xn ∈ X oraz n = 1, 2, . . ..

Dow´od. Oznaczmy przez S zbi´or wszystkich sko´nczonych sum element´ow postaci s · 1 oraz k·x₁·x₂. . .·x_n, gdzie s, k ∈ Z, x1, x₂, . . . , x_n ∈ X oraz n = 1, 2, . . .. Poniewa˙z 1 = 1·1, wiec 1 ∈ S. We´_, zmy dowolne a, b ∈ S. Wtedy a jest sko´nczona sum_, a element´_, ow postaci s · 1 oraz k · x₁· x₂. . . · x_n, dla pewnych s, k ∈ Z, x1, x₂, . . . , x_n ∈ X i pewnych n ∈ N oraz b jest sko´nczona sum_, a element´_, ow postaci t · 1 oraz l · y₁· y₂. . . · y_m, dla pewnych t, l ∈ Z, y1, y2, . . . , ym ∈ X i pewnych m ∈ N. Z rozdzielno´sci mno˙zenia wzgledem dodawania,

wynika zatem, ˙ze a · b jest sko´nczona sum_, a element´_, ow postaci (s · 1) · (t · 1) = (st) · 1, (s · 1) · (k · x₁· x₂. . . · x_n) = (sk) · x₁· x₂. . . · x_n, (k · x₁· x₂. . . · x_n) · (t · 1) = (kt) · x₁· x₂. . . · x_n, (k ·x₁·x₂. . .·x_n)·(l·y₁·y₂. . .·y_m) = (kl)·x₁·x₂. . .·x_n·y₁·y₂. . .·y_m, wiec a·b ∈ S. Ponadto,_, s · 1 − t · 1 = (s − t) · 1 i −(l · y₁· y₂. . . · y_m) = (−l) · y₁· y₂. . . · y_m, wiec a − b ∈ S. Zatem_, na mocy Stwierdzenia 9.2, S jest podpier´scieniem pier´scienia P . Ponadto dla dowolnego x ∈ X mamy, ˙ze x = 1 · x, wiec x ∈ S. Zatem X ⊆ S._,

Niech teraz A bedzie dowolnym podpier´scieniem pier´scienia P takim, ˙ze X ⊆ A. Po-_, niewa˙z 1 ∈ A i A ≤ P⁺, wiec h1i ⊆ A, sk_, ad s · 1 ∈ A dla ka˙zdego s ∈ Z. We´zmy_, teraz dowolne k ∈ Z, dowolne n ∈ N i dowolne x1, . . . , x_n ∈ X. Wtedy x₁, . . . , x_n ∈ A i A jest pier´scieniem, wiec k · x_{, 1} · x₂. . . · x_n ∈ A. Ale A jest podgrupa grupy P_, ⁺, wiec_, wszystkie sko´nczone sumy element´ow postaci s · 1 oraz k · x₁· x₂. . . · x_n, gdzie s, k ∈ Z, x₁, x₂, . . . , x_n∈ X oraz n = 1, 2, . . ., nale˙za do A. Zatem S ⊆ A._,

W ten spos´ob wykazali´smy, ˙ze S spe lnia warunki (1) i (2), czyli S = [X]. 

Je´sli X jest zbiorem sko´nczonym oraz X = {a₁, . . . , a_m}, to zamiast [{a₁, . . . , a_m}]

bedziemy pisali [a_{, 1}, . . . , a_m].

Uwaga 9.7. Ze Stwierdzenia 9.6 wynika od razu, ˙ze je´sli X = {a}, to podpier´scie´n [a]

sk lada sie ze wszystkich element´_, ow postaci k₀·1+k₁·a+. . .+k_m·a^m, gdzie k₀, k₁, . . . , k_m ∈ Z oraz m = 0, 1, 2, . . .. Zatem:

[a] = {k₀· 1 + k₁· a + . . . + k_n· aⁿ: k₀, k₁, . . . , k_n∈ Z, n = 0, 1, 2, . . .}. (3) Podstawiajac X = {a, b} uzyskamy, ˙ze podpier´scie´_, n [a, b] sk lada sie ze wszystkich_, sko´nczonych sum element´ow postaci k · aⁱb^j, gdzie k ∈ Z oraz i, j ∈ N0.

Podstawiajac X = {a_{, 1}, a₂, . . . , a_s} uzyskamy, ˙ze podpier´scie´n [a₁, a₂, . . . , a_s] sk lada sie_, ze wszystkich sko´nczonych sum element´ow postaci k · aⁱ₁¹ · aⁱ₂² · . . . · aⁱ_s^s, gdzie k ∈ Z oraz i₁, i₂, . . . , i_s∈ N0.

Stwierdzenie 9.8. Niech X i Y bed_, a podzbiorami pier´_, scienia P . W´owczas:

(i) [X] ⊆ [Y ] ⇔ X ⊆ [Y ],

(ii) [X] = [Y ] ⇔ (X ⊆ [Y ] oraz Y ⊆ [X]).

Dow´od. (i). Za l´o˙zmy, ˙ze [X] ⊆ [Y ]. Poniewa˙z na mocy (1), X ⊆ [X], wiec st_, ad_, X ⊆ [Y ]. Na odwr´ot, za l´o˙zmy, ˙ze X ⊆ [Y ]. Wtedy [Y ] jest jakim´s podpier´scieniem, kt´ory zawiera podzbi´or X, wiec na mocy (2), [X] ⊆ [Y ]._,

(ii). Poniewa˙z [X] = [Y ] ⇔ ([X] ⊆ [Y ] oraz [Y ] ⊆ [X]), wiec teza wynika od razu z_, punktu (i). 

2 Przyk lady pier´scieni i podpier´scieni

Przyk lad 9.9. Ka˙zde cia lo jest pier´scieniem. Podpier´scienie cia l sa pier´scieniami._, Przyk lad 9.10. Podpier´scienie cia la C nazywamy pier´scieniami liczbowymi. Oczy- wi´scie sa one pier´scieniami. Niech P b_, edzie pier´scieniem liczbowym i niech k ∈ Z, m ∈ N_, bed_, a liczbami wzgl_, ednie pierwszymi. Poka˙zemy, ˙ze w´_, owczas:

k

m ∈ P ⇔ 1 m ∈ P.

Rzeczywi´scie, za l´o˙zmy, ˙ze _m¹ ∈ P . Wtedy _m^k = k · _m¹ ∈ P , wiec_{, m}^k ∈ P . Na odwr´ot, za l´o˙zmy, ˙ze _m^k ∈ P . Poniewa˙z liczby k i m sa wzgl_, ednie pierwsze, wi_, ec istniej_, a x, y ∈ Z_, takie, ˙ze kx + my = 1. Stad_{, m}¹ = x · _m^k + y · 1 ∈ P , bo P jest podpier´scieniem cia la C oraz _m^k ∈ P i 1 ∈ P .

Przyk lady pier´scieni liczbowych:

a) Pier´scie´n liczb ca lkowitych Z.

b) Z Uwagi 9.7 wynika, ˙ze dla ustalonej liczby naturalnej a > 1

 1 a



=nn

a^k : n, k ∈ Z, k > 0o

jest najmniejszym podpier´scieniem w Q zawierajacym_, ¹_a. Ponadto a = p^α₁¹p^α₂². . . p^α_s^s dla pewnych r´o˙znych liczb pierwszych p₁, p₂, . . . , p_s i pewnych α₁, α₂, . . . , α_s ∈ N. Zatem n = p^α₁¹⁻¹· . . . · p^α_s^s−1 ∈ N. Ponadto _p1·...·p¹ _s = n · _pα1 ¹

1 ·...·p^αss ∈ ₁

a. Zatem ze Stwierdzenia 9.8,h

1 p1·...·ps

i ⊆₁

a. Niech α bedzie najwi_, eksz_, a z liczb α_{, 1}, . . . , α_s∈ N. Wtedy α−αi ∈ N0

dla ka˙zdego i = 1, . . . , s, skad m = p_, ^α−α₁ ¹ · . . . · p^α−α_s ^s ∈ N oraz ¹_a = ¹

p^α1₁ ·...·p^αs_s = _(p ^m

1·...·ps)^α. Zatem na mocy Stwierdzenia 9.8,₁

a ⊆h

1 p1·...·ps

i

i ostatecznie₁

a =h

1 p1·...·ps

i

. Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dodatkowo zachodzi wz´or:

 1

p₁· . . . · p_s



= 1 p₁, 1

p₂, . . . , 1 p_s



. (4)

Rzeczywi´scie, _p ¹

1·...·ps = _p¹

1 · _p¹

2 · . . . · _p¹

s ∈ h

1 p1,_p¹

2, . . . , _p¹

s

i

, wiec ze Stwierdzenia 9.8,_, h 1

p1·...·ps

i ⊆ h

1 p1,_p¹

2, . . . ,_p¹

s

i

. Ponadto m_i = ^p1p2_p^...ps

i ∈ N dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , s oraz

1

pi = m_i · _p ¹

1·...·ps ∈ h

1 p1·...·ps

i

, wiec na mocy Stwierdzenia 9.8,_, h

1 p1,_p¹

2, . . . ,_p¹

s

i ⊆ h

1 p1·...·ps

i , co ko´nczy dow´od wzoru (4). Z Uwagi 9.7 mamy ponadto wz´or:

 1 p₁, 1

p₂, . . . , 1 p_s



=

 n

p^k₁¹ · p^k₂² · . . . · p^k_s^s : n ∈ Z, k1, k₂. . . , k_s∈ N0



. (5)

c) Niech d bedzie liczb_, a ca lkowit_, a, kt´_, ora nie jest kwadratem liczby ca lkowitej. W´owczas z teorii liczb wiadomo, ˙ze d nie jest kwadratem liczby wymiernej. Okre´slamy √

d jako zwyk ly pierwiastek arytmetyczny z liczby d dla d > 0, za´s dla d < 0 okre´slamy √

d = p|d| · i. Zatem w obu przypadkach (√

d)² = d. W´owczas na mocy Uwagi 9.7 [√

d] = {a + b√

d : a, b ∈ Z} jest najmniejszym podpier´scieniem cia la C zawierajacym,

√d. Ten podpier´scie´n bedziemy dalej oznaczali przez Z[_, √

d]. Zatem Z[

√

d] = {a + b√

d : a, b ∈ Z}.

Z niewymierno´sci liczby √

d wynika, ˙ze dla dowolnych a₁, a₂, b₁, b₂ ∈ Q:

a1+ b1

√

d = a2+ b2

√

d ⇐⇒ (a1 = a2 oraz b1 = b2).

d) Niech d bedzie liczb_, a ca lkowit_, a, kt´_, ora nie jest kwadratem liczby ca lkowitej taka, ˙ze_, d ≡ 1(mod 4). Poniewa˙z 

1+√ d 2

2

= ¹⁺

√ d

2 + ^d−1₄ , wiec na mocy Uwagi 9.7,_, h

1+√ d 2

i

= {x + y · ¹⁺

√ d

2 : x, y ∈ Z} jest najmniejszym podpier´scieniem cia la C zawierajacym_, ¹⁺

√ d 2 . Ten podpier´scie´n bedziemy dalej oznaczali przez Z_, h

1+√ d 2

i

. Zatem:

Z

"

1 +√ d 2

#

= (

x + y · 1 +√ d

2 : x, y ∈ Z )

.

Z niewymierno´sci liczby ¹⁺

√ d

2 wynika, ˙ze dla dowolnych a₁, a₂, b₁, b₂ ∈ Q:

a₁+ b₁1 +√ d

2 = a₂+ b₂1 +√ d

2 ⇐⇒ (a₁ = a₂ oraz b₁ = b₂).

Przyk lad 9.11. Niech m > 1 bedzie liczb_, a naturaln_, a i niech Z_, m = {0, 1, . . . , m − 1}.

Dla a, b ∈ Z^m okre´slamy:

a⊕_mb = reszta z dzielenia a + b przez m;

a_mb = reszta z dzielenia a · b przez m.

W´owczas na mocy Wyk ladu 1 (Zm, ⊕_m, _m, 0, 1) jest pier´scieniem. Nazywamy go pier´scieniem reszt modulo m i oznaczamy przez Zm.

Przyk lad 9.12. Zbi´or wszystkich wielomian´ow o wsp´o lczynnikach zespolonych (rze- czywistych, wymiernych, ca lkowitych) z dodawaniem i mno˙zeniem funkcji tworzy pier´scie´n.

Oznaczamy go odpowienio przez C[x], R[x], Q[x] i Z[x].

Przyk lad 9.13. Niech P1, . . . , Pn bed_, a pier´scieniami._, W zbiorze P1 × . . . × Pn

okre´slamy dodawanie i mno˙zenie nastepuj_, aco:_,

(a₁, . . . , a_n) + (b₁, . . . , b_n) = (a₁+ b₁, . . . , a_n+ b_n), (a₁, . . . , a_n) · (b₁, . . . , b_n) = (a₁· b₁, . . . , a_n· b_n),

Ponadto okre´slamy 0 = (0, . . . , 0) oraz 1 = (1, . . . , 1). Mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze wtedy (P1×. . .×Pn, +, ·, 0, 1) tworzy pier´scie´n. Nazywamy go iloczynem kartezja´nskim pier´scieni P₁, . . . , P_n.

Przyk lad 9.14. Dowolny zbi´or jednoelementowy P = {a} z dzia laniami + i · takimi,

˙ze a + a = a i a · a = a oraz z wyr´o˙znionymi elementami 0 = 1 = a tworzy pier´scie´n.

Nazywamy go pier´scieniem zerowym. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli pier´scie´n P jest niezerowy, to

|P | > 1, wiec istnieje niezerowe a ∈ P . Wtedy a = a · 1 oraz a · 0 = 0 6= a, sk_, ad wynika,_,

˙ze 0 6= 1 w P . Na odwr´ot, je´sli 0 6= 1 w pier´scieniu P , to |P | > 1, wiec pier´scie´_, n P nie jest zerowy.

Przyk lad 9.15. Niech A i B bed_, a podpier´scieniami pier´scienia P . Oznaczmy przez_, AB zbi´or wszystkich sko´nczonych sum element´ow postaci a·b, gdzie a ∈ A, b ∈ B. Wtedy 1 = 1·1 ∈ AB. Ponadto z okre´slenia AB oraz z tego, ˙ze −(a·b) = (−a)·b wynika od razu,

˙ze je´sli x, y ∈ AB, to x−y ∈ AB. Ponadto z rozdzielno´sci mno˙zenia wzgledem dodawania_, i z tego, ˙ze dla a₁, a₂ ∈ A, b₁, b₂ ∈ B jest (a₁ · b₁) · (a₂· b₂) = (a₁· a₂) · (b₁ · b₂) ∈ AB wynika, ˙ze dla dowolnych x, y ∈ AB, x · y ∈ AB. Zatem na mocy Stwierdzenia 9.2 mamy,

˙ze AB jest podpier´scieniem pier´scienia P . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dla a ∈ A i b ∈ B, a = a · 1 ∈ AB i b = 1 · b ∈ AB, a wiec A ∪ B ⊆ AB. Je´sli S jest podpier´scieniem_, pier´scienia P takim, ˙ze A ∪ B ⊆ S, to dla dowolnych a ∈ A i b ∈ B mamy a, b ∈ S, skad_, a · b ∈ S, a zatem AB ⊆ S. W takim razie AB = [A ∪ B], czyli AB jest najmniejszym w sensie inkluzji podpier´scieniem pier´scienia P zawierajacym zbi´_, or A ∪ B.

3 Elementy odwracalne

Definicja 9.16. Powiemy, ˙ze a ∈ P jest elementem odwracalnym pier´scienia P , je˙zeli istnieje x ∈ P takie, ˙ze a · x = 1. Zbi´or wszystkich element´ow odwracalnych pier´scienia P oznaczamy przez P^∗.

Przyk lad 9.17. Niech d bedzie liczb_, a naturaln_, a, kt´_, ora nie jest kwadratem liczby naturalnej. Z elementarnej teorii liczb wiemy, ˙ze istnieje w´owczas niesko´nczenie wiele par (x, y) ∈ N×N takich, ˙ze x²−dy² = 1. Stad w pier´scieniu Z[_, √

d]: (x+y√

d)(x−y√

d) = 1.

Wobec tego x + y√

d ∈ (Z[√

d])^∗ i pier´scie´n Z[√

d] ma niesko´nczenie wiele element´ow odwracalnych.

Przyk lad 9.18. Niech p₁, p₂, . . . , p_s bed_, a r´_, o˙znymi liczbami pierwszymi. Poka˙zemy, ˙ze

 1 p₁, 1

p₂, . . . , 1 p_s

∗

= {±p^k₁¹p^k₂². . . p^k_s^s : k₁, k₂, . . . , k_s∈ Z}.

Ze wzoru (5) wynika, ˙ze ±p^l₁¹p^l₂². . . p^l_s^s ∈ h

1 p1,_p¹

2, . . . ,_p¹

s

i

dla dowolnych l₁, l₂, . . . , l_s ∈ Z.

We´zmy dowolne k₁, k₂, . . . , k_s ∈ Z. Wtedy (±p^k1¹p^k₂². . . p^k_s^s)·(±p^−k₁ ¹p^−k₂ ². . . p^−k_s ^s) = 1, skad_,

±p^k₁¹p^k₂². . . p^k_s^s ∈ h

1 p1,_p¹

2, . . . ,_p¹

s

i∗

. Niech teraz a ∈ h 1

p1,_p¹

2, . . . ,_p¹

s

i∗

. W´owczas a · b = 1 dla pewnego b ∈ h

1 p1,_p¹

2, . . . ,_p¹

s

i

. Ponadto ze wzoru (5), a = ⁿ¹

p^k1₁ p^k2₂ ...p^kss

i b = ⁿ²

p^l1₁p^l2₂...p^lss

dla pewnych n₁, n₂ ∈ Z oraz dla pewnych ki, l_i ∈ N0 dla i = 1, 2, . . . , s. Zatem n₁n₂ = p^k₁^1+l1p^k₂^2+l2. . . p^k_s^s+ls. Wobec tego n1 = ±p^t₁¹p^t₂². . . p^t_s^s dla pewnych t1, t2, . . . , ts ∈ N⁰, skad a = ±p_, ^t₁^1−k1p^t₂^2−k2. . . p^t_s^s−ks, co ko´nczy nasz dow´od.

Twierdzenie 9.19. Dla dowolnego pier´scienia P system algebraiczny (P^∗, ·, 1) jest grupa abelow_, a._,

Dow´od. Poniewa˙z 1 · 1 = 1, wiec 1 ∈ P_, ^∗. Niech a ∈ P^∗. Wtedy istnieje x ∈ P takie,

˙ze a · x = 1, skad x · a = 1, czyli x ∈ P_, ^∗. Dalej, dla a, b ∈ P^∗ istnieja x, y ∈ P takie, ˙ze_, a · x = 1 i b · y = 1, wiec (a · b) · (x · y) = (a · x) · (b · y) = 1 · 1 = 1, czyli a · b ∈ P_, ^∗. Poniewa˙z mno˙zenie jest laczne w P , wi_, ec mno˙zenie jest l_, aczne w P_, ^∗. Zatem z tych rozwa˙za´n mamy,

˙ze (P^∗, ·, 1) jest grupa. Natomiast z P5 wynika od razu, ˙ze grupa ta jest abelowa. _, Uwaga 9.20. Element odwrotny do elementu a ∈ P^∗ oznaczamy przez a⁻¹. Z dowodu Twierdzenia 2 wynika, ˙ze dla dowolnych a, b ∈ P^∗ mamy wz´or:

(a · b)⁻¹ = a⁻¹· b⁻¹.

Stwierdzenie 9.21. Niech m > 1 bedzie liczb_, a naturaln_, a. W´_, owczas zachodzi wz´or:

Z^∗m = {a ∈ {1, 2, . . . , m} : (a, m) = 1}.

W szczeg´olno´sci |Z^∗m| = ϕ(m).

Dow´od. We´zmy dowolne a ∈ Z^∗m. Wtedy a ∈ {0, 1, . . . , m − 1} oraz istnieje x ∈ Zm

takie, ˙ze a_mx = 1. Stad [a·x]_{, m} = 1, a wiec a·x ≡ 1(mod m). Zatem z elementarnej teorii_, liczb, (a, m)|1, skad (a, m) = 1. Ale m > 1, wi_, ec (m, 0) = m > 1, czyli a ∈ {1, 2, . . . , m}._, Na odwr´ot, niech a ∈ {1, 2, . . . , m} i (a, m) = 1. Poniewa˙z m > 1, wiec (m, m) = m >_, 1, skad a ∈ {1, 2, . . . , m − 1}, czyli a ∈ Z_, ^m. Ponadto z elementarnej teorii liczb istnieje y ∈ Z takie, ˙ze a · y ≡ 1(mod; m), skad x = [y]_{, m} ∈ Zm i a · x ≡ 1(mod; m). Zatem a _mx = [a · x]_m = [1]_m = 1, wiec a ∈ Z_, ^∗m.

Stwierdzenie 9.22. Niech P₁, P₂, . . . , P_n bed_, a dowolnymi pier´_, scieniami. W´owczas:

(P1× P2× . . . × Pn)^∗ = P₁^∗× P₂^∗× . . . × P_n^∗.

Dow´od. We´zmy dowolne x ∈ (P₁ × P₂× . . . × P_n)^∗. Wtedy x ∈ P₁× P₂× . . . × P_n i istnieje y ∈ P₁× P₂× . . . × P_n takie, ˙ze x · y = (1, 1, . . . , 1). Ale x = (x₁, x₂, . . . , x_n) i y = (y₁, y₂, . . . , y_n) dla pewnych x_i, y_i ∈ P_i, i = 1, 2, . . . , n oraz x·y = (x₁·y₁, x₂·y₂, . . . , x_n·y_n), wiec x_{, i}· y_i = 1, skad x_{, i} ∈ P_i^∗ dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem x ∈ P₁^∗× P₂^∗× . . . × P_n^∗.

Na odwr´ot, we´zmy dowolne x ∈ P₁^∗ × P₂^∗ × . . . × P_n^∗. Wtedy istnieja x_{, i} ∈ P_i^∗, i = 1, 2, . . . , n, takie, ˙ze x = (x1, x2, . . . , xn). Stad dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , n istnieje y_, i ∈ Pi

takie, ˙ze x_i · y_i = 1. Wobec tego y = (y₁, y₂, . . . , y_n) ∈ P₁ × P₂ × . . . × P_n i x · y = (x₁· y₁, x₂· y₂, . . . , x_n· y_n) = (1, 1, . . . , 1). Zatem x ∈ (P₁× P₂× . . . × P_n)^∗. 

4 Dzielniki zera

Definicja 9.23. M´owimy, ˙ze element a pier´scienia P jest dzielnikiem zera, je˙zeli istnieje niezerowy element b ∈ P taki, ˙ze a · b = 0. Elementy pier´scienia P , kt´ore nie sa_, dzielnikami zera nazywamy elementami regularnymi. Zbi´or wszystkich dzielnik´ow zera pier´scienia P bedziemy oznaczali przez D(P ), za´s zbi´_, or wszystkich element´ow regularnych pier´scienia P bedziemy oznaczali symbolem R(P )._,

Uwaga 9.24. Zauwa˙zmy, ˙ze w dowolnym pier´scieniu P : D(P ) = P \R(P ). W ka˙zdym pier´scieniu niezerowym P mamy, ˙ze 0 6= 1 oraz 0 · 1 = 0, wiec 0 jest dzielnikiem zera_, w ka˙zdym pier´scieniu niezerowym P . Dzielniki zera r´o˙zne od 0 nazywamy w la´sciwymi dzielnikami zera.

Przyk lad 9.25. Niech A i B bed_, a niezerowymi pier´scieniami. W´_, owczas pier´scie´n A × B posiada w la´sciwe dzielniki zera, kt´orymi sa (1, 0) i (0, 1), gdy˙z te elementy s_, a_, r´o˙zne od (0, 0) i (1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Przyk lad 9.26. Dla liczb z lo˙zonych m pier´scie´n Zm posiada w la´sciwe dzielniki zera, gdy˙z istnieja liczby naturalne a, b < m takie, ˙ze a · b = m i wtedy a, b s_, a niezerowymi_, elementami pier´scienia Z^m oraz a mb = 0.

Stwierdzenie 9.27. Niech P₁, P₂, . . . , P_n bed_, a dowolnymi pier´_, scieniami. W´owczas:

R(P₁× P₂× . . . × P_n) = R(P₁) × R(P₂) × . . . × R(P_n).

W szczeg´olno´sci:

D(P1× P2× . . . × Pn) = (P1× P2× . . . × Pn) \ [R(P1) × R(P2) × . . . × R(Pn)].

Dow´od. We´zmy dowolne x ∈ R(P₁ × P₂ × . . . × P_n). Wtedy x = (x₁, x₂, . . . , x_n) dla pewnych x_i ∈ P_i, i = 1, 2, . . . , n. Ustalmy i = 1, 2, . . . , n i we´zmy dowolne a_i ∈ P_i takie,

˙ze x_i· a_i = 0. Niech a_j = 0 dla wszystkich j ∈ {1, 2, . . . , n} \ {i} oraz a = (a₁, a₂, . . . , a_n).

Wtedy x · a = (0, 0, . . . , 0), wiec z regularno´sci x, a = (0, 0, . . . , 0), sk_, ad a_{, i} = 0. Oznacza to, ˙ze x_i ∈ R(P_i) dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , n. Zatem R(P₁× P₂ × . . . × P_n) ⊆ R(P₁) × R(P2) × . . . × R(Pn).

We´zmy dowolne x ∈ R(P₁) × R(P₂) × . . . × R(P_n). Wtedy istnieja x_{, i} ∈ R(P_i), i = 1, 2, . . . , n, takie, ˙ze x = (x₁, x₂, . . . , x_n). We´zmy dowolne a ∈ P₁× P₂× . . . × P_n takie, ˙ze x·a = (0, 0, . . . , 0). Wtedy a = (a₁, a₂, . . . , a_n), wiec (0, 0, . . . , 0) = (x_{, 1}a₁, x₂a₂, . . . , x_na_n), wiec dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , n: x_{, i}·a_i = 0, skad na mocy regularno´sci elementu x_{, i}, a_i = 0.

Wobec tego a = (0, 0, . . . , 0) i element x jest regularny. Zatem R(P₁) × R(P₂) × . . . × R(Pn) ⊆ R(P1× P2× . . . × Pn). 

Twierdzenie 9.28. W dowolnym pier´scieniu P :

(i) iloczyn element´ow regularnych jest elementem regularnym;

(ii) je´sli a ∈ P jest regularny i a · x = a · y, to x = y;

(iii) ka˙zdy element odwracalny jest elementem regularnym.

Dow´od. (i). Niech a, b ∈ P bed_, a elementami regularnymi. We´_, zmy dowolny x ∈ P taki, ˙ze (ab)x = 0. Wtedy a(bx) = 0, wiec z regularno´sci a, bx = 0, sk_, ad x = 0, z_, regularno´sci b. Zatem ab jest elementem regularnym.

(ii). Niech a ∈ P bedzie elementem regularnym i niech x, y ∈ P b_, ed_, a takie, ˙ze ax = ay._, Wtedy a(x − y) = 0, skad z regularno´sci a mamy, ˙ze x − y = 0, czyli x = y._,

(iii). Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy istnieje element odwracalny a ∈ P , kt´ory jest dzielnikiem zera. Zatem istnieje niezerowe b ∈ P takie, ˙ze a · b = 0 oraz istnieje x ∈ P takie, ˙ze a · x = 1. Wobec tego b = b · 1 = b · (a · x) = (b · a) · x = (a · b) · x = 0 · x = 0 i mamy sprzeczno´s´c. 

Wniosek 9.29. Dowolne cia lo nie posiada w la´sciwych dzielnik´ow zera. 

Definicja 9.30. Niezerowy pier´scie´n P , kt´ory nie posiada w la´sciwych dzielnik´ow zera nazywamy dziedzina ca lkowito´_, sci.

Wobec tego, dziedziny ca lkowito´sci sa to takie niezerowe pier´scienie, w kt´_, orych ka˙zdy element niezerowy jest regularny. W szczeg´olno´sci na mocy Wniosku 9.29, ka˙zde cia lo

jest dziedzina ca lkowito´sci, a nawet ka˙zdy podpier´scie´_, n cia la jest dziedzina ca lkowito´sci._, Z Twierdzenia 9.28 mamy natychmiast nastepuj_, acy_,

Wniosek 9.31. Je˙zeli a jest niezerowym elementem dziedziny ca lkowito´sci P oraz x, y ∈ P sa takie, ˙ze ax = ay, to x = y. _,

Zagadka 1. Udowodnij, ˙ze dla dowolnych pier´scieni A i B:

D(A × B) = [A × D(B)] ∪ [D(A) × R(B)].

Zagadka 2. Wyznacz (Q × Z)^∗, D(Q × Z) i R(Q × Z).

Zagadka 3. Czy suma dw´och dzielnik´ow zera pier´scienia P mo˙ze by´c elementem odwracalnym w P ?

Zagadka 4. Czy i nale˙zy do podpier´scienia ₃

4i cia la C?

Zagadka 5. Niech k_i ∈ Z, mi ∈ N, mi > 1 oraz N W D(k_i, m_i) = 1 dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , s. Udowodnij, ˙ze w ciele Q zachodzi wz´or:

 k₁ m₁, k₂

m₂, . . . , k_s m_s



=

 1

m₁· m₂· . . . · m_s

 .

Zagadka 6. Niech A bedzie podpier´scieniem pier´scienia P i a ∈ A. Czy jest prawd_, a,_,

˙ze

(a) je´sli a ∈ P^∗, to a ∈ A^∗? (b) je´sli a ∈ A^∗, to a ∈ P^∗?

(c) je´sli a jest dzielnikiem zera w P , to a jest dzielnikiem zera w A?

(d) je´sli a jest dzielnikiem zera w A, to a jest dzielnikiem zera w P ?

Zagadka 7. Niech P bedzie pier´scieniem sko´_, nczonym. Udowodnij, ˙ze R(P ) = P^∗. Uzasadnij te˙z, ˙ze sko´nczona dziedzina ca lkowito´sci jest cia lem.