• Nie Znaleziono Wyników

x2+ 1 jest surjekcja,, injekcja,, bijekcja,? Odpowiedzi uzasadnij

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "x2+ 1 jest surjekcja,, injekcja,, bijekcja,? Odpowiedzi uzasadnij"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra i teoria mnogo´sci Przyk ladowe zadania egzaminacyjne.

1. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = x2+ 1 jest surjekcja,, injekcja,, bijekcja,? Odpowiedzi uzasadnij. Znajd´z obraz i przeciwobraz przedzia lu (−1, 2).

2. Czy zbi´or wielomian´ow o wsp´olczynnikach wymiernych z naturalnymi dzia laniami dodawania i mno˙zenia wielomian´ow jest pier´scieniem? Czy jest cia lem?

Odpowiedzi uzasadnij.

3. Znale´z´c wszystkie liczby zespolone sprze,˙zone ze swoja,pia,ta,pote,ga,. 4. Gdzie le˙za,na p laszczy´znie zespolonej te liczby z, kt´ore spe lniaja,warunek:

(a) |z − 1| + |z + 1| = 3 (b) |z − 1| + |z + 1| = 2 (c) |z − 1| + |z + 1| = 1

5. Roz lo˙zy´c na u lamki proste w ciele liczb rzeczywistych i zespololonych funkcje wymierne:

(a) −2−x+2xx+33+x4

(b) 9+6x+19x2+12xx2+13+11x4+6x5+x6

6. Wsp´o lrze,dne wektora v w bazie A = (u1, u2, u3) wynosza,[2, 1, 3]. Znale´z´c jego wsp´o lrze,dne w bazie B = (u1− u2, 2u1+ u2+ u3, u1− u2+ u3).

7. Dana jest macierz MBA(ϕ) =

 3 1 2

1 −1 2

1 1 1

, gdzie A = (u1, u2, u3), B =

(2u1+ u2, u1− u2+ u3, 3u1+ 2u3). Znale´z´c MAA(ϕ), MBB(ϕ), MAB(ϕ).

8. Czy istnieje przekszta lcenie liniowe ϕ : R3 → R3, takie, ˙ze ϕ([2, 1, 1]) = [2, 1, 2], ϕ([2, 1, 2]) = [2, 1, 1], ϕ([2, 1, 3]) = [2, 1, 0], ϕ([2, 1, 0]) = [2, 1, 3]?

Je´sli istnieje to czy jest ono wyznaczone jednoznacznie?

9. Wykaza´c, ˙ze det

[ A B

0 C

]

= detA detC, gdzie A i C sa, macierzami kwadratowymi odpowiednio stopnia k i n− k.

10. Rozwia,za´c uk lad r´owna´n:



x +2y −z +u −v = 5

2x +y −3z +u +3v = 4

3x −5z +u +v = 6

(2)

11. Przedyskutowa´c rozwia,zalno´s´c uk ladu r´owna´n w zale˙zno´sci od parametru

a:

ax +y −z +u +2v = 3 2x −y +az −u +2v = 1

3x +ay −z +u +az = 2

12. Dane jest przekszta lcenie liniowe ϕ takie, ˙ze MAA(ϕ) = A. Znale´z´c taka, baze,B, by ϕ mia lo w tej bazie macierz diagonalna,.

(a) A =



−2 0 0 0

20 −6 −2 −6

−14 4 3 3

−11 1 2 1



(b) A =

−2 4 4

1 2 0 1

12 2 1

13. Dana jest macierz A. Znale´z´c macierz diagonalna,J i taka,macierz B, by J = B−1AB.

(a) A =



1 0 0 0

−1 0 0 2 0 0 1 0

−0 1 0 1



(b) A =

−2 0 2

0 1 0

0 −1 2

14. Obliczy´c A30, gdzie A =

 4 4 4

1 0 1

−1 2 1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Je˙zeli dziedzina ca lkowito´ sci R spe lnia ACC dla idea l´ ow g l´ ownych, to ka˙zdy element nieodwracalny jest iloczynem element´ ow nierozk ladalnych..

[r]

Teraz udowodnimy, ˙ze mno˙zenie wielomian´ ow jest rozdzielne wzgl edem ich dodawania , oraz mno˙zenie wielomian´ ow jest l aczne.. Oznacza to, ˙ze dla takich pier´scieni

Algorytm dzielenia wielomian´ ow z reszt a znany ze szko ly ´ , sredniej jest dobry dla dowolnego pier´ scienia wielomian´ ow..

[r]

Jeżeli f jest nierozkładalny, to ma rozkład trywialny, załóżmy więc, że f jest rozkładalny.. Wówczas R[x] jest pierścieniem z

To ona tworzy przeciwwagę dla wyłącznie przyciągającej grawitacji (która spowalnia ekspansję), a ponieważ ciemnej energii jest odpowiednio dużo (w przeliczeniu na

Porównaj (wymieniając wady i zalety) metody grupowania i podziału połówkowego pod kątem aktualizacji systemów informacyjnych pracujących zgodnie z tymi metodami wyszukiwania..