Metody komputerowe w edukacji technicznej – rozwiązywanie równań różniczkowych II rzędu ay’’+by’+cy=f(x) metodą różnic skończonych
, ,
: :
lewy brezg
prawy brzeg
Podaj wspólczynniki a b c występujące w równaniu różniczkowym Podaj liczbę przedzialów n
Podaj warunki brzegowe Dla lewego brzegu
wartosc x oraz wartosc y Dla prawego brzegu
wartosc x oraz wartosc pierwszej po
2
2
2
'
, ,
2 2
2
1 0 0 0 0 0 ... 0 0 0
0 0 0 ... 0 0 0
0 0 0 ... 0 0 0
0 0 0 ... 0 0 0
... ... ... ...
prawy brezg lewy brezg
chodnej y Oblicz krok h
x x
h n
Oblicz parametry A B C wg wzorów
a b
A h h
B c a h
a b
C h h
Utwórz macierz glówną o następującej postaci
A B C A B C
A B C M
= −
= −
= −
= +
=
( ) ( )
( )
1 2
1
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 ...
1 1
0 0 0 0 0 0 ... 0
...
'
n
A B C
h h oraz wektor wyrazów wolnych
y f x B f x
f x y
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ − ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
:
. . . .
n n n n
n n n
Macierz glówna jest macierzą trójpasmową
Do rozwiązania ukadu równań zastosować metodę Thomasa Trójpasmowy uklad równań ma postać
b c x
a b c x
a b c x
a b c x
a b x
− − − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 3
1
1
1 1
1 1 1
1
1 1 1
.
0 0
2,3,...,
1, 2,..
n n n
i i
i i i
i i i
i
i i i
n n
d d d
d d przy czym a oraz c
Algorytm metody Thomasa Oblicz c
b Oblicz d
b
Dla i n
Oblicz c
a b
d a Oblicz
a b
Podstaw x Dla i n n
β
γ
β β
γ γ β γ
−
−
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
= =
= −
=
=
⎧ = −
⎪ +
⎪⎨ −
⎪ =
⎪ +
⎩
=
= − −
1
.,1
i i i i
Oblicz x =βx+ +γ
