Zadania domowe z algorytmiki, cz¦±¢ 2, kwiecie« 2011
Zadanie 2 Rozwa»my graf nieskierowany G = (V, E). Dla danej permutacji wierzchoªków π : V → {1, . . . , |V |}, szeroko±ci¡ π nazywamy liczb¦
b(π) = max
uv∈E|π(u) − π(v)|.
Zaªó»my, »e mamy do dyspozycji wyroczni¦, która odpowiada na pytania postaci czy dla da- nego grafu H istnieje permutacja jego wierzchoªków o szeroko±ci k?. Zaproponuj algorytm, który dla danego grafu G, znajdzie permutacj¦ jego wierzchoªków o najmniejszej mo»li- wej szeroko±ci. Twój algorytm mo»e wykona¢ wielomianowo wiele zapyta« do wyroczni, a caªkowita zªo»ono±¢ czasowa pozostaªych wykonywanych przez niego operacji powinna by¢
wielomianowa. (Stopnie tych wielomianów nie maj¡ wpªywu na ocen¦.)
Zadanie 3 Poka», »e istniej¡ takie staªe a, b ∈ N, »e nast¦puj¡cy problem decyzyjny jest NP-zupeªny.
Dany jest graf dwudzielny G = (X, Y, E) oraz dla ka»dej kraw¦dzi xy ∈ E dana jest funkcja fxy : {1, . . . , a} → {1, . . . , b} (reprezentowana jako ci¡g dªugo±ci a).
Pytamy, czy istnieje para funkcji A : X → {1, . . . , a} oraz B : Y → {1, . . . , b} taka, »e dla dowolnych wierzchoªków x ∈ X oraz y ∈ Y , je±li xy ∈ E, to fxy(A(x)) = B(y).
Zasady gry
1. Rozwi¡zania powinny by¢ przygotowane starannie. Rozwi¡zania nale»y skªada¢ jako wydruk dokumentu przygotowanego elektronicznie (najlepiej w systemie LATEX). Roz- wi¡zania prosz¦ zostawia¢ w mojej przegródce w sekretariacie do 29.04.11 do godz.
10.10. W wyj¡tkowych sytuacjach rozwi¡zanie mo»na przesªa¢ e-mailem na adres ko- walik at mimuw...
2. Swoje rozumowania nale»y uzasadnia¢, a na ocen¦ b¦dzie miaªa wpªyw jako±¢ prezen- tacji. Dowody powinny by¢ precyzyjne i czytelne. Nie oznacza to, »e trzeba dowodzi¢,
»e 1 + 1 = 2, tylko »e nale»y wªa±ciwie dobiera¢ i formuªowa¢ argumenty oraz poukªa- da¢ je w dobrej kolejno±ci. W zwi¡zku z tym, »e na rozwi¡zanie jest znacznie wi¦cej czasu ni» na kolokwium czy egzaminie, obowi¡zuj¡ tu znacznie wy»sze standardy.
3. Rozwi¡zania powinny by¢ samodzielne. Bardzo licz¦ na to, »e nie nadu»yjecie Pa«stwo mojego zaufania. W szczególno±ci zabronione jest korzystanie z gotowych rozwi¡za«
(np. z literatury lub internetu), przekazywanie sobie pomysªów, wspólne rozwi¡zywanie zada«, itp. Odst¦pstwa od tej reguªy b¦d¡ skutkowaªy niezaliczeniem przedmiotu.
