Zadanie domowe nr 1 z algorytmiki, marzec 2011
Dane s¡ dwa wektory liczb naturalnych: r = (r1, r2, . . . , rn) oraz c = (c1, c2, . . . , cn). Mówimy, »e macierz A o wymiarach n × n jest zgodna z wektorami r i c, gdy dla dowolnego i = 1, . . . , n, ri =Pn
j=1Ai,j oraz ci =Pn j=1Aj,i.
a) Podaj algorytm, korzystaj¡cy ze sprowadzenia do problemu przepªywu, który dla danej liczby k ∈ N oraz wektorów r oraz c znajdzie macierz o elementach ze zbioru {0, . . . , k}
zgodn¡ z r i c, lub zwróci informacj¦, »e taka macierz nie istnieje.
b) Podaj algorytm (szybszy ni» w punkcie a), który dla danych wektorów r oraz c sprawdzi, czy istnieje zero-jedynkowa (tzn. o elementach ze zbioru {0, 1}) macierz zgodna z r i c.
Wskazówka Na podstawie twierdzenia o maksymalnym przepªywie i minimalnym prze- kroju scharakteryzuj pary wektorów r i c, dla których istnieje zero-jedynkowa macierz zgodna.
Zasady gry
1. Rozwi¡zania powinny by¢ przygotowane starannie. Rozwi¡zania nale»y skªada¢ jako wydruk dokumentu przygotowanego elektronicznie (najlepiej w systemie LATEX). Roz- wi¡zania prosz¦ oddawa¢ 14.03.11 o godz. 10.10 (przed wykªadem).
2. Zªo»ono±¢ czasowa algorytmów ma wpªyw na ocen¦, w szczególno±ci nale»y j¡ zawsze oszacowa¢ (jako funkcj¦ n).
3. Swoje rozumowania nale»y uzasadnia¢, a na ocen¦ b¦dzie miaªa wpªyw jako±¢ prezen- tacji. Dowody powinny by¢ precyzyjne i czytelne. Nie oznacza to, »e trzeba dowodzi¢,
»e 1 + 1 = 2, tylko »e nale»y wªa±ciwie dobiera¢ i formuªowa¢ argumenty oraz poukªa- da¢ je w dobrej kolejno±ci. W zwi¡zku z tym, »e na rozwi¡zanie jest znacznie wi¦cej czasu ni» na kolokwium czy egzaminie, obowi¡zuj¡ tu znacznie wy»sze standardy.
4. Zadanie powinno by¢ rozwi¡zywane samodzielnie i indywidualnie. Bardzo licz¦ na to, »e nie nadu»yjecie Pa«stwo mojego zaufania. W szczególno±ci zabronione jest korzystanie z gotowych rozwi¡za« (np. z literatury lub internetu) przekazywanie so- bie pomysªów, wspólne rozwi¡zywanie zadania, itp. Odst¦pstwa od tej reguªy b¦d¡
skutkowaªy niezaliczeniem przedmiotu.
