Zadania domowe z algorytmiki, cz¦±¢ 3, maj 2011
Zadanie 4 Zbiór kraw¦dzi S ⊆ E w gra e skierowanym G = (V, E) nazywamy zgodnym gdy dla dowolnej pary kraw¦dzi (v1, v2), (v3, v4) ∈ S mamy v1 6= v4. Rozwa»amy problem znalezienia zgodnego zbioru kraw¦dzi o maksymalnym rozmiarze (jego wersja decyzyjna jest NP-zupeªna).
a) (3 pkt.) Rozwa»my nast¦puj¡cy algorytm: dla ka»dego v ∈ V , przydziel v losowo do zbioru A lub B (z równym prawdopobie«stwem), oraz zwró¢ zbiór S = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Oszacuj warto±¢ oczekiwan¡ wspóªczynnika aproksymacji tego algorytmu.
b) (5 pkt.) Zderandomizuj algorytm z punktu a) metod¡ warunkowej warto±ci oczekiwanej.
Przeanalizuj pesymistyczn¡ zªo»ono±¢ czasow¡ otrzymanego algorytmu (zªo»ono±¢ ma wpªyw na punktacj¦).
c) (2 pkt.) Rozwa»my nast¦puj¡cy algorytm: dopóki istnieje w gra e para kraw¦dzi postaci (x, y), (y, z), usu« obie te kraw¦dzie. Czy ten algorytm jest c-aproksymacyjny, dla pewnej staªej c ∈ (0, 1)? (Odpowied¹ uzasadnij).
d) (10 pkt.) Rozwa»my nast¦puj¡cy algorytm: uruchom algorytmy z punktów b) i c) oraz zwró¢ wi¦kszy ze znalezionych zbiorów. Udowodnij, »e ten algorytm jest25-aproksymacyjny.
Zasady gry
1. Rozwi¡zania powinny by¢ przygotowane starannie. Rozwi¡zania nale»y skªada¢ jako wydruk dokumentu przygotowanego elektronicznie (najlepiej w systemie LATEX). Roz- wi¡zania prosz¦ oddawa¢ 30.05.11 o godz. 10.10 (przed wykªadem). W wyj¡tkowych sytuacjach rozwi¡zanie mo»na przesªa¢ e-mailem na adres kowalik at mimuw...
2. Swoje rozumowania nale»y uzasadnia¢, a na ocen¦ b¦dzie miaªa wpªyw jako±¢ prezen- tacji. Dowody powinny by¢ precyzyjne i czytelne. Nie oznacza to, »e trzeba dowodzi¢,
»e 1 + 1 = 2, tylko »e nale»y wªa±ciwie dobiera¢ i formuªowa¢ argumenty oraz poukªa- da¢ je w dobrej kolejno±ci. W zwi¡zku z tym, »e na rozwi¡zanie jest znacznie wi¦cej czasu ni» na kolokwium czy egzaminie, obowi¡zuj¡ tu znacznie wy»sze standardy.
3. Rozwi¡zania powinny by¢ samodzielne. Bardzo licz¦ na to, »e nie nadu»yjecie Pa«stwo mojego zaufania. W szczególno±ci zabronione jest korzystanie z gotowych rozwi¡za«
(np. z literatury lub internetu), przekazywanie sobie pomysªów, wspólne rozwi¡zywanie zada«, itp. Odst¦pstwa od tej reguªy b¦d¡ skutkowaªy niezaliczeniem przedmiotu.
