Zastosowanie metody elementów brzegowych w analizie statyki płyt cienkich

Seria: B U D O W N IC T W O z. 95 N r kol. 1559

Michał G U M IN IA K * Politechnika P o z n a ń sk a

ZASTOSOWANIE M ETODY ELEM ENTÓW BRZEG O W YCH W ANALIZIE STATYKI PŁYT CIENKICH

S treszczen ie. W p ra cy ro z w ią z u je się z a d a n ie z g in a n ia p ły ty cien k iej p rz y z a s to s o w a n iu metody e le m en tó w b rz eg o w y c h . N a b rz e g u p ły ty w y s tę p u ją trzy z m ie n n e sta ty c z n e i trzy geom etryczne. W p o d a n y m s fo rm u ło w a n iu n ie w p ro w a d z a się z astęp czej siły p o p rz ec zn e j n a brzegu pły ty o ra z sił sk u p io n y c h w n a ro ża ch . W w ę ź le e le m e n tu b rz e g o w e g o w y s tę p u ją d w ie niezależne n iew ia d o m e. U w z g lę d n ia się ró w n ie ż w y s tę p o w a n ie p o d p ó r słu p o w y c h w o b rę b ie płyty. D o z ap isu całk o w y c h ró w n a ń b rz e g o w y c h z a s to s o w a n o p o d e jś c ie k o lo k a c y jn e z punktam i k o lo k ac ji u m ie sz c z o n y m i n a z e w n ą trz p łyty. P o z w o liło to w y e lim in o w a ć obliczanie c a łe k o so b liw y c h .

APPLICATION OF BOUNDARY ELEMENT METHOD TO BENDING ANALYSIS OF THIN PLATES

S u m m a ry . T h e b o u n d a ry e le m e n t a n a ly sis o f th in p la te s is p re se n te d in th e p ap er. In th is form ulation th e re a re c o n sid e re d th ree g e o m e tric a n d th re e sta tic v a ria b le s at th e p late boundary. T h is a p p ro ac h a v o id s th e d e v e lo p m e n t o f K irc h h o ff fo rc e s at p late c o m e rs and equivalent sh e a r fo rce at p la te b o u n d a ry . T h e p re se n t fo rm u la tio n is b a se d u p o n tw o d e g re e s- of-freedom p e r b o u n d a ry node. T h e c a s e o f co lu m n su p p o rts is c o n sid ere d , to o . T h e collocation v e rsio n o f b o u n d a ry e le m e n t m eth o d w ith c o n sta n t e le m e n t is ad o p ted . T o av o id the calcu latio n o f sin g u la r in te g rals, th e so u rc e p o in ts a re lo ca ted slig h tly o u tsid e th e p late boundary.

1. W prowadzenie

M e to d a e le m en tó w b rz e g o w y c h m a c zę ste z a s to s o w a n ie w teo rii p ły t c ie n k ic h o ra z p ły t średniej g ru b o śc i. W ię k s z o ś ć p ra c d o ty c z ą c y c h jej z a s to s o w a n ia w tej d z ie d z in ie o p ie ra się n a fo rm u ło w an iu ró w n a ń ró w n o w ag i p rzy u ż y c iu w ie lk o ś ci z n an y c h z k lasy cz n ej te o rii pły t, zastępczej siły p o p rz ec zn e j n a b rz e g u p ły ty i sił sk u p io n y c h w n a ro ża ch . N in ie js z e

*O piekun n au k o w y : D r hab. inż. R y sz a rd S ygulski

22 4 M . G um iniak

o p ra c o w a n ie p re z e n tu je n ie c o in n e p o d e jś cie b e z p o trze b y p o słu g iw a n ia się w ielkościam i, k tó re w k lasy czn ej teo rii s łu ż ą d o u z g o d n ie n ia licz b y w a ru n k ó w b rz e g o w y c h z rzędem ró w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o p łyty. N a b rz e g u p ły ty ro z w a ż a się trzy w ie lk o ś ci staty czn e: siłę p o p rz e c z n ą T„, m o m e n t zg in a jąc y M „ i m o m e n t sk rę ca jący M m o ra z trz y w ielkości g e o m e try c z n e: u g ię c ie w , kąty o b ro tu <p„ i ę>s [3]. S p o śró d ty ch w ie lk o ś ci, zg o d n ie z w a ru n k am i b rz eg o w y m i a n alizo w a n y m i w ro z d zia le 2, ty lk o d w ie n a le ży tra k to w a ć jako w ie lk o ś ci n iew iad o m e.

B rz e g o w e ró w n a n ia c a łk o w e o trz y m u je się w y k o rz y stu ją c tw ie rd z e n ie o w zajem ności p ra c B e ttieg o . R o z w a ż a się d w ie p ły ty : n ie s k o ń cz o n ą , o b c ią ż o n ą je d n o s tk o w ą siłą skupioną o ra z rz ec zy w is tą , p o d o b c ią ż e n ie m p ( y ) (rys. 1). W re z u lta c ie o trz y m u je się ró w n a n ie całkowe w p o staci:

c(x ) ■ w (x) + J [ ^ ( y ,x ) • w (y ) - M'n( y ,x ) ■ (pn(y ) - U 'K (y, x) ■ ę s (y)] d T (y ) = r

= J Vn (y ) •w ' (y. x) - M„ (y ) ■ ę n (y, x ) - (y ) • y, x)]- ciT(y) - £ / ? , ■ w '(i, x)

r ■ (1)

+ J / > ( y ) w '’ ( y , x ) d D ( y ) , o

1 r 2

g d z ie w *(y,x) = — — ln(r) - ro z w ią z a n ie p o d sta w o w e (fu n k cja G re e n a ) równania D o7T

b ih a rm o n ic z n e g o V4vt'*(y,x) = - ^ - i ( y - x ) , r = |y - x| i S je s t d e ltą D ira c a o raz

c(x) = 1, k ied y x j e s t p o ło żo n y w e w n ą trz o b sz a ru p ły ty , c(x) = 0 .5 , k ie d y x je s t p o ło żo n y n a b rz e g u g ład k im p łyty, c(x) = 0 , k ied y x je s t p o ło żo n y n a z e w n ą trz o b sz a ru płyty.

D ru g ie ró w n a n ie m o żn a o trz y m a ć z as tę p u ją c je d n o s tk o w ą siłę s k u p io n ą P* = l‘

je d n o s tk o w y m m o m e n tem sk u p io n y m M \ = 1*. Je s t to ró w n o w a ż n e zróżniczkow aniu p ie rw sz e g o ró w n a n ia c ałk o w e g o (1 ) w zg lęd em w sp ó łrz ęd n e j n w p u n k c ie x n a b rzeg u płyty.

R ó w n a n ie to m a p ostać:

c(x ) ■ w (x) + j |T„ (y, x) ■ w (y ) - M \ (y, x) ■ ę n (y ) - A /L (y, x) • <ps (y)J- dT (y) = r

= f Vn (y- *)•«'* (y>x ) - (y ) • <p„ (y, *) - A C (y ) • q>\(y, *)]• ^ ( y ) - Y R,, ■ w \ i , %)+

i

(

)

+ j’/'(y )-w * (y ,x) -a O ( y ) , n

gdzie:

{ f i ( y , \ ) , M (y , x ) , m L (y , x), w ' (y , x ), ę \ (y , x ), ę \ (y , x)}=

d n (x )

{ C (y , (y , x ) ,A /^ (y , x ), w (y , x ), ę n ( y , x ), ę C (y ,x )} .

P ie rw sz a g ru p a sil (p ły ta n ie o g ra n ic z o n a )

D ru g a g ru p a sił (p ły ta rz e c z y w is ta )

x = x (xi,X2) x p u n k t ź ró d ło w y y = y (x i,x 2) y p u n k t o b se rw a cji

W deflection

torsional moment

Tn shear force

Rys. 1. Wielkości występujące w równaniach równowagi Fig. I. Variables present in the equilibrium equations

D y sk rety zacji b rz eg u p ły ty d o k o n a n o p rzy u ż y c iu e le m en tó w ty p u „ c o n s ta n s ” . W celu w y elim in o w an ia c a łe k o so b liw y c h p u n k t źró d ło w y z o sta ł n iez n a c z n ie o d su n ię ty n a z e w n ą trz obszaru p ły ty [2],

226 M. Guminiak

2. W arunki brzegowe

W n in ie jsz y m ro z d ziale z o s ta n ą p rz ed sta w io n e b rz e g o w e ró w n a n ia całkowe o d p o w ia d a ją c e trzem ro d zajo m w a ru n k ó w b rz eg o w y c h .

2 .1 . B r ze g u tw ierd zo n y

W aru n k i brzeg o w e:

Rys. 2. Wielkości niewiadome na brzegu utwierdzonym Fig. 2. The unknow ns on a clamped edge

N ie w iad o m y m i w ie lk o ś cia m i s ą siła p o p rz ec zn a T„ i m o m e n t z g in a jąc y M„ (rys.2).

B rz e g o w e ró w n a n ia c ałk o w e m a ją p ostać:

w - 0, (p„ = 0 <ps = 0 M m = 0 .

{ [ ^ ( y ) • w*(y, x) - M„ (y) ■ ę n(y, *)]- dT (y) + J p ( y) ■ w ' i y . x ) • dCl(y) = 0

r Q

J [ 7’n(y)-'4' (y ,x )-A f„ (y )-ę > „ (y .x )j i r ( y ) + J p ( y ) - w ( y ,x ) d n ( y ) = 0

2 .2 . B r ze g p o d p a r ty sw o b o d n ie

W aru n k i brzeg o w e:

w = 0, M „ = 0 ę , = 0 M m = 0 .

(5)

i

Rys. 3. Wielkości niewiadome na brzegu podpartym swobodnie Fig. 3. The unknowns on simply-supported edge

Niewiadomymi w ielk ościam i są siła poprzeczna Tn i kąt obrotu w kierunku norm alnym

do elementu <p„ (rys.3). B rzeg o w e równania całk ow e m ają postać:

j[-A O y>x) - p » (y )]^ (y ) = J[7’n(y)->,'*(y>x) ] a r (y)+ j'/’(y)-M'*(y,x) ^ ( y )

r r o

| ^ - A / „ ( y , x) - ę ) „ ( y ) J ' c r ( y ) = J ^ r „ ( y ) - w ( y , x ) J • d T (y) + J p ( y ) - w ( y , x ) r f Q ( y )

(

6

2.3. Brzeg sw o b o d n y

Wamnki brzegow e:

r„ = o, M „ = 0, M m = o . (7)

Rys. 4. Wielkości niew iadom e na brzegu sw obodnym Fig. 4. The unknowns on a free edge

N iew iad o m y m i w ie lk o ś c ia m i s ą u g ię c ie w o ra z k ą ty o b ro tu w k ie ru n k u n o rm a ln y m

¡stycznym d o e le m e n tu <p„ i tps (ry s.4). P o n ie w a ż re la c ja p o m ię d z y ę s i w j e s t z n an a, tps = ^ Yqs , ro z w a ż a się je d y n ie d w a n ie z a le ż n e p aram etry : w o ra z <pn . B rz e g o w e ró w n a n ia

całkowe m ają p ostać:

■ ¿ r ( y ) = { p ( y ) ■ k'* (y , x) ■ <KXy)

j | r n(y,x)-

«'(y) _OS

GS ¿T(y) = Jp(y) v*’ (y,x) d&(y)

(₈)

W obyd w u rów naniach m ożna ob liczy ć budując iloraz różn icow y przy u życiu

trzech sąsiednich w ę z łó w (rys.5):

1 ,

(9)

<P,(oi)

_

(10)

(U)

22 8 M . Gum iniak

W y ra ż e n ia (1 0 ) i (1 1 ) sto su je się d la w ę z łó w p o ło żo n y c h n a p o c zą tk u i n a k o ń c u krawędzi sw o b o d n ej.

Rys. 5. K ąt obrotu styczny do elem entu na brzegu swobodnym Fig. 5. The angle o f rotation in tangent direction on a free boundary

3. Przykłady obliczeń

P rz e p ro w a d z o n o o b lic z en ia d la p ły ty k w ad rato w e j i p ro sto k ą tn e j o b ciążo n ej rów nom iernie n a p o w ie rzc h n i. B rz e g p ły ty p o d z ie lo n o n a e le m en ty o rów nej d łu g o ści. W yniki p rz e d sta w io n o w w ie lk o ś c ia c h b ezw y m iaro w y ch . O b lic z e n ia p rz e p ro w a d z o n o przyjm ując w s p ó łc z y n n ik P o iss o n a v = 0.3 o ra z p o ło że n ie p u n k tu k o lo k ac ji e = A /d = 0.001, gdzie: A- o d le g ło ść p u n k tu k o lo k ac ji o d e lem en tu , d - d łu g o ść e lem en tu . C a łk i q uasi-diagonalne m ac ierz y c h ara k te ry sty c zn e j o b lic z o n o an ality c zn ie , a p o z o stałe n u m ery c zn ie , w ykorzystując d w u n a sto p u n k to w ą k w a d ratu rę G aussa.

3 .1 . P ły ta k w a d r a to w a u tw ie r d z o n a na o b w o d z ie . P o d z ia ł b rzeg u n a 4 4 ele m en ty

Moment zginający [M/pa2] Ugięcie [wD/pa4]

-0 .0002- -0.0004 -0.0006 -0 0008 -0001 -0 .0 0 1 2

Rys. 6a. Płyta kwadratow a utwierdzona. M oment zginający i ugięcie wzdłuż osi symetrii płyt}' Fig. 6a. Clamped square plate. Bending m oment and deflection along the symmetry axis

Moment zginający na brzegu [M/pa2] Siła poprzeczna na brzegu [T/pa]

Rys. 6b. Płyta kw adratow a utwierdzona. M om ent zginający i siła poprzeczna na brzegu Fig. 6b. Clamped square plate. Bending m om ent and shear force along the edge

Tabela 1 P łyta kwadratowa, utw ierdzona

Rozwiązanie analityczne

na brzegu

Rozwiązanie MEB na brzegu

Rozwiązanie analityczne

w środku

Rozwiązanie MEB w środku

wD/pa4 - - 0.00126 0.00128

M /pa2 0.0513 0.0524 0.0231 0.0231

3.2. P ły ta k w a d r a to w a sw o b o d n ie p o d p a r ta . P o d z ia ł b rzeg u na 4 4 e le m en ty

Moment zginający [M/pa ] Ugięcie [wD/pa ]

Rys. 7a. Płyta kw adratow a podparta swobodnie. M oment zginający i ugięcie wzdłuż osi symetrii płyty Fig. 7a. Sim ply-supported square plate. Bending m om ent and deflection along the sym m etry axis

Siła poprzeczna na brzegu [T/pa]

Rys. 7b. Płyta kw adratow a podparta sw obodnie. Siła poprzeczna na brzegu Fig. 7b. Sim ply-supported square plate. Shear force on the edge

230 M . Gum iniak

T a b e la 2 P ły ta k w a d rato w a sw o b o d n ie p o d p a rta _____________________

Rozwiązanie analityczne w środku

Rozwiązanie MEB w środku

wD/pa4 0.00406 0.00406

M/pci1 0.04790 0.04788

3 .3 . P ły ta k w a d r a to w a p o d p a r ta sw o b o d n ie n a d w ó ch p rz e c iw le g ły ch b r z eg a c h , z d w o m a p o z o sta ły m i k ra w ę d z ia m i sw o b o d n y m i. P o d z ia ł b rzeg u na 44 elem en ty

Ugięcie na krawędzi swobodnej [wD/pa4\ Ugięcie na osi symetrii [wD/pa4]

Rys. 8a. Płyta kw adratow a swobodnie podparta, z dwom a przeciw ległymi krawędziam i swobodnymi.

Ugięcie n a osi symetrii równoległej do krawędzi swobodnej oraz wzdłuż krawędzi swobodnej Fig. 8a. Sim ply-supported square plate with two free opposite edge. Deflection on the symmetry axis

parallel to the free edge and along the free edge

Moment zginający na osi symetrii [M/pa2] Ugięcie na osi symetrii [ wD/pa4]

Rys. 8b. Płyta kwadratow a swobodnie podparta, z dwrnma przeciw ległymi krawędziam i swobodnymi.

M om ent zginający i ugięcie na osi symetrii płyty prostopadłej do krawędzi swobodnej Fig. 8b. Simply-supported square plate with tw o free opposite edge. Bending m om ent and deflection

on the symmetry axis perpendicular to the free edge

T ab ela 3 P ły ta k w a d rato w a , p o d p a rta sw o b o d n ie n a d w ó c h p rz e c iw le g ły ch b rz e g a c h z d w o m a _____________ p o z o stały m i k raw ęd ziam i sw o b o d n y m i_________________________

Rozwiązanie analityczne

na brzegu

Rozwiązanie MEB na brzegu

Rozwiązanie analityczne

w środku

Rozwiązanie MEB w środku

wD /pa4 0.01509 0.01506 0.01309 0.01294

M J p a 2 0.1318 0.1324 0.1225 0.1211

M v'pa2 - - 0.0271 0.0262

3.4. P łyta k w a d r a to w a u tw ier d z o n a na d w ó ch p r z ec iw le g ły ch b r z eg a c h , z d w o m a p o zo sta ły m i k r a w ęd zia m i p o d p a r ty m i sw o b o d n y m i

T a b e la 4 P ły ta k w ad rato w a, u tw ie rd z o n a n a d w ó ch p rz ec iw le g ły ch b rz eg a ch ,

z d w o m a p o zo stały m i b rz eg a m i p o d p arty m i sw o b o d n ie Liczba

elementów

W środku

¡wD/pa4]

W środku W /P Ć 1

W środku W /p a 2]

Na brzegu W / p J ]

MEB28 0.00194 0.0335 0.0245 -0.0713

MEB 44 0.00194 0.0336 0.0245 -0.0711

MEB60 0.00194 0.0336 0.0245 -0.0709

Rozw.anal. 0.00192 0.0332 0.0224 -0.0697

A n alizo w an o ró w n ie ż p ły ty p ro sto k ą tn e o ró ż n y ch w a ru n k ac h b rz eg o w y c h i p o ró w n y w an o w y n ik i z e zn an y m i ro z w iąz an ia m i an ality czn y m i [1], P o d o b n ie j a k d la p ły t kw adratow ych z b ie ż n o ś ć w y n ik ó w n u m ery c z n y c h i a n a lity c z n y c h j e s t dobra.

3.5. A n a liza w ra żliw o ści ro zw ią za n ia na p a ra m e tr o d su n ię cia p u n k tu k o lo k a cji £ = P łyta k w a d r a to w a , p o d p a rta sw o b o d n ie. P o d z ia ł brzegu na 4 4 ele m en ty

Rys. 9. Płyta kw adratow a podparta swobodnie. A naliza wrażliwości momentu zginającego i ugięcia na param etr s = ^ . 44 elem enty brzegowe

Fig. 9. Simplv-supported square plate. Sensibility analysis o f bending m oment and deflection to the param eter e = ^ . 44 boundary elements

T a b e la 5a P ły ta k w ad rato w a. A n aliza w ra żliw o ści ro z w iąz an ia n a p a ram etr i = A /,

E = A/d 0.001 0.01 0.05 0.1 0.5 1.0 2.0

M /pa2 -10"1 478.8325 478.7507 478.6974 478.4828 478.7765 478.7197 478.5331

wD/pa4 -10'5 406.3325 406.2733 406.0716 405.9365 406.1962 406.1235 405.9858

T ab e la 5b P ły ta k w a d rato w a . A n a liza w rażliw o ści ro z w ią z a n ia n a p a ra m e tr e = ^

6 = A /d 3.0 4.0 5.0 10.0 15.0 17.5 20.0

M /pa2 •10"' 479.0094 478.8841 479.3124 478.8236 334.0903 21408.32 3241958.0 wD /pa4 -10'5 406.3040 406.2375 406.2345 406.2352 406.1295 391.1743 -12906.73

232 M . Guminiak

4. W nioski

P ro p o n o w a n a m eto d a ro z w ią z y w a n ia z a d a n ia z g in a n ia p ły ty c ec h u je się szybką z b ie ż n o ś c ią w y n ik ó w j u ż p rzy n iew ie lk im sto p n iu d y sk rę ty za cji. W prezentow anym sfo rm u ło w a n iu n ie sto su je się n a b rz e g u z as tę p cz y c h sił p o p rz e c z n y c h i sił skupionych w n a ro ża ch p łyty. P rz y ję c ie p u n k tó w k o lo k acji n a z e w n ą trz o b sz a ru p ły ty eliminuje o b lic z a n ie c ałek o so b liw y ch . A n a liz a w ra żliw o śc i ro z w ią z a n ia ze w z g lę d u n a parametr e = A /d p o k a zu je, ż e m o żn a z as to s o w a ć całk o w a n ie n u m ery c zn e d la w s z y s tk ic h elem entów m ac ierz y c h a ra k te ry s ty c z n e j.

L IT E R A T U R A

1. T im o sh e n k o S., W o in o w sk y -K rie g e r S.: T e o ria p ły t i p o w ło k , W y d a n ie 1, Arkady, W a rs z a w a 1962.

2. H a rtle y G. A.: D e v e lo p m e n t o f p late b e n d in g e le m en ts fo r fra m e a n aly sis, E ngineering A n a ly sis w ith B o u n d a ry E le m en t, 17, 1996, 93 - 104 .

3. E l-Z a fra n y A ., D e b b ih ML, F ad h il S.: A m o d ifie d K irc h h o ff th eo ry fo r b o u n d a ry element b e n d in g a n a ly sis o f th in p lates, Int. J. S o lid s Struct., v o l.31, N o .2 1 , 1994, 28 8 5 - 2889.

R ecen zen t: P ro f. d r hab. inż. T ad e u sz Burczyński

A b str a c t

T h e b o u n d a ry e le m en t m eth o d (B E M ) is o ften u se d in th e th eo ry o f b o th th in and thick plates. It is p articu la ry su itab le to a n aly se th e p la te s o f a rb itrary sh ap es an d re s tin g o n column su p p o rts. T h e p a p e r p re se n ts a m o d ifie d a p p ro ac h in w h ic h th ree g e o m e tric an d th ree static v a ria b le s at th e p late b o u n d a ry a re c o n sid ere d . T he p re se n t fo rm u la tio n is a developm ent o f th e m o d el w ith tw o d e g ree s-o f-fre e d o m p e r b o u n d a ry node. T h e co llo c atio n v e rsio n o f the b o u n d a ry e le m e n t m eth o d w ith c o n sta n t ele m en ts and n o n -sin g u la r c a lcu la tio n s o f integrals is ad o p ted . T h e d isp lay e d b o u n d a ry e le m en t re su lts d e m o n s tra te th e e ffe c tiv e n es s an d efficiency o f th e p ro p o se d m ethod.