Zastosowanie półanalitycznej wersji metody elementów skończonych w analizie statycznej podłoża gruntowego

Seria: B U D O W N IC T W O z. 84 N r kol. 1376

Andrzej C IŃ C IO

ZA STO SO W ANIE PÓ Ł A N A L IT Y C Z N E J W ERSJI M ETO DY ELEM ENTÓ W SKO ŃC ZO NY CH W ANA LIZIE STA TY C ZN EJ PO DŁO ŻA G R U N T O W E G O

Streszczenie. W pracy przedstaw iono podstaw ow e założenia, algorytm rozw iązania i ko­

rzyści w ynikające z zastosow ania wersji półanalitycznej m etody elem entów skończonych w analizie statycznej p odłoża gruntow ego uw arstw ionego horyzontalnie.

STATIC ANALYSIS OF THE SOIL SUBSTRATUM BY MEANS OF THE SEMI-ANALYTIC FINITE ELEMENT METHOD

Sum m ary. T he paper presents: basic form ulations , a solution algorithm and advantages o f the sem i-analytic finite elem ent m ethod applied to the multi horizontal layer soil substratum.

1. W prowadzenie

Zagadnienie praw idłow ego m odelow ania m asywu gruntow ego, odzw ierciedlającego w ier­

nie jeg o rzeczyw istą pracę statyczną, jest zagadnieniem stosunkow o trudnym , m in. z pow odu właściwości sprężysto-plastycznych i niejednorodności ośrodka gruntow ego. O sobny problem stanowi często znaczny rozm iar form ułow anego zadania, będącego z natury zadaniem prze­

strzennym; tylko w nielicznych przypadkach, np. dla obliczeń przybliżonych, m ożem y się za­

dow olić uproszczeniem polegającym na przyjęciu płaskiego stanu naprężenia lub odkształcenia (2D), k ażd e zaś zadanie w stanie trójw ym iarow ym (3D ) w ym aga dostępu do m aszyn cyfro­

wych o zw iększonej m ocy obliczeniowej (systemy w ieloprocesorow e o dużej wielkości pa­

mięci operacyjnej), co pow oduje, iż koszt obliczeń num erycznych jest duży.

W niektórych przypadkach korzystanie z w ysoko wydajnych system ów obliczeniow ych staje się nieekonom iczne; jak np. w rozpatryw anym w pracy przypadku m asywu gruntow ego

34 A. Cińcio

uw arstw ionego w przybliżeniu poziom o. Jeśli brak jest dodatkow ych niejednorodności wynika­

jących np. z zagłębienia fundam entu, to pole przem ieszczeń dowolnej w arstw y m ożna opisać za p o m o cą niezależnych od siebie funkcji tw orzących szereg:

U(X ) = ¿ ¿ X x( x ) -Y B( y ) - Z Xo( z ) (1)

\=0 to=0

gdzie: X =(x, y, z),

X j ( x ) , Ym( y ) - ciągi diagonalnych macierzy funkcyjnych 3 rzędu,

Z t a (z ) - podw ójny ciąg w ektorów funkcyjnych.

N iestety, stosunkow o skom plikow ane rozw iązania analityczne w yrażenia (1) w postaci po­

dw ójnych całek Fouriera [1] ograniczone są tylko do przypadku liniowej sprężystości. Z kolei przyjęcie m etody elem entów skończonych w ujęciu tradycyjnym, opisującym pole przem iesz­

czeń w obrębie trójw ym iarow ego elem entu skończonego za p om ocą odpow iednio dobranej funkcji kształtu, prow adzi do zadania o znacznym wymiarze i małej efektywności num erycz­

nej:

U <e)( X ) = N ( X ) - w (e) ( 2 )

gdzie: w (,) = {wj0 , . . . , w[*\ . . . , w ^ } - jest w ektorem przem ieszczeń m. w ęzłów ,

- funkcja kształtu.

N,(x) 0 0 j. • i N (x) 0 0 i. •! Nm(x) 0 0 N(x) = 0 N,(x) 0 i. • ! o N,(x) 0 i. 0 N„(x) 0

0 0 N ,(x)i. • : o 0 N,(x)j . 0 0 Nm(x)

W przypadku uw arstw ionego horyzontalnie masywu gruntow ego bardziej ekonom iczne i w ystarczająco dokładne rozw iązania uzyskuje się poprzez pew nego rodzaju kom binację w ym ienionych powyżej metod: m etody analitycznej w ykorzystującą analizę harm oniczną w kierunkach poziom ych z m etodą elem entów skończonych w kierunku głębokości (rys. 1), w y rażo n ą rów naniem (3) będącym podstaw ą wersji półanalitycznej M E S 1. Z naczącą efek­

tyw ność wym ienionej wersji uzyskuje się poprzez redukcję w yjściow ego zadania prze­

strzennego (3D ) do zadania 1-w ymiarow ego (ID ), w sposób jaki pokazano w dalszej części artykułu.

1 W ersja ta została rozwinięta przez Witmera i Kotanchika [8], Wilsona [7] oraz Cheunga [2],

U(X) = I Ż Z u ,Xll (3)

W pracy przedstaw iono podstaw ow e założenia oraz algorytm rozw iązania uw arstw io­

nego horyzontalnie podłoża g runtow ego za po­

m ocą wersji półanalitycznej M ES. N ależy pod­

kreślić w ażność samej m etody, ja k rów nież przedstaw ionych zw iązków dla zagadnień sprę- żysto-plastycznych rozw iązyw anych w sposób przyrostow o-iteracyjny, które należy w tym przypadku przedstaw ić w postaci przyrostow ej.

2. Sform ułowanie zagadnienia. Podstawowe założenia

R ozpatruje się w yciętą z m asywu gruntow ego bryłę podłoża o w ym iarach 4 4 4 (rys 2), obciążoną na górnej pow ierzchni oddziaływ aniem q(x) pochodzącym od budow li, rozłożonym na obszarze prostokąta. Z akłada się jednorodność cech m ateriałow ych w obrębie w arstw y ( v,y=const) dopuszczając liniow ą zm ienność m odułu Y ounga po głębokości (E= E(z)).

N a pow ierzchni górnej spełnione są w arunki rów now agi naprężenia z obciążeniem

i- q (X ), X e 0 ( !

X e n 0

na brzegu dolnym w arunek pełnego unieruchom ienia

X e l l N => u(X ) = 0 , gdzie: u = {u, v ,w } T, (4b)

natomiast na brzegach bocznych zachow any jest sw obodny poślizg przy braku rozszerzalności

\=0 co=0 (i)

Rys. 1.

36 A. Cińcio

x I ? } ^ v(X) =

Rys.2.

D o d atk o w o zachow ane m uszą być w arunki zgodności przem ieszczeń i naprężeń na styku w arstw

v rr i u ( x , y , z “ ) = u ( x , y , z +)

X e l l M = > t (4d)

[ a ( x ,y ,z ~ ) = c r(x ,y ,z )

Przedstaw ioną na rysunku 2 bryłę podłoża dzieli się na w arstw ow e elem enty skończone obejm ujące całość lub część w arstwy podłoża, posiadające dwie lub więcej pow ierzchni w ę­

złow ych w zależności od stopnia przyjętego wielom ianu interpolacyjnego (patrz szczegół A na rys.2).

3. A lgorytm analizy

Punktem w yjścia do sform ułow ania zw iązków określających stan przem ieszczeń i naprężeń w obrębie w arstw ow ego elem entu skończonego jest w yrażenie (3) opisujące aproksym ację pola przem ieszczeń, które m ożna przedstaw ić w postaci

u (x ,y , z) =

S X S N , ( z ) • sin Kk x ■ cosco7ty • u iXl0

X = 0 u )= 0 ( i )

A O

Z Z Z N ,(z )- c o s ^ 7 C x -s in c o 7 c y • v iXo)

X = 0ci)= 0 ( i )

A Q

Z Z Z n ^ z ) • cos X n x •

X = 0 o )= 0 ( i )

(5)

gdzie: u'"' = v1*’, x = x :Ix, y = y :l„, Nj(z) - jest funkcją kształtu dla w ęzła 'i1 (i= l..m ) w postaci interpolacyjnej funkcji L ag ran g e'a stopnia m-1:

N i = n [ ( ę _ Ck)/(Ci “ C k)j. zależnej od bezwymiarowej zmiennej £ = =— ( z - z ^ j ,

k = l h m

— h ^ , l z , z m — z M. l 7 .

Pole odkształceń e (e) = określamy na podstaw ie zw iązków

geom etrycznych

e <c> = L u (e) => e (c) = X ! X Xb<c)

>.= 0oj=0 (i) u

A/m A/oi (6)

gdzie: L - o p erato r różnicow y, B - m acierz odkształceń, Ę, = ),n x y p = coxy

=

N , X.7I c o s S, c o s p

0 0

0

N ¡(ü7tC O S§C O Sp

o 2_SN

o

o

- c o s 4 COS TJ

- N , 7.71 s i n ^ s i n p - N ^ i t s i n ^ s i n p

0 2 8N-

- r í a m e o s 4 s i n p - — — c o s i j s i n p

- N , A.7I sin % cos p

0

i, ^

- s i n \ c o s p

(6a)

Następnie, posługując się zw iązkam i fizycznymi, możem y zdefiniow ać stan naprężeń dyskret­

nego elem entu w arstw ow ego

o w = D . s w =* a w = D l I l B w k . u «

p = 0 p = 0 ( k )

(7)

gdzie D - je st m acierzą sprężystości, k = l..m .

38 A. Cińcio

R ów nanie m etody elem entów skończonych, pozw alające na rozw iązanie problemu, w yprow a­

dza się analogicznie ja k dla wersji klasycznej M ES-u, wykorzystując zasadę prac przygotow a­

nych

J e ' Cc)a (e)d V = { ( i T ^ y - g d y + J t u ^ y - ą d S (8)

( V ) ( V ) (S )

gdzie: g = ( g x, g y, g 2}T, q = {qx, q y, q z] s ą w ektoram i sił m asowych i pow ierzchniow ych.

Podstaw iając do (8) w yrażenia (5), (6) i (7), po przekształceniach otrzym ujem y układ rów nań

K (c) ■ u (e) = R (e>, (9)

w którym : R - w ektor rów now ażących sił w ęzłow ych, K - macierz sztywności określona na­

stępująco

K w = i Z I Z Z I l xl yl j i i B ; k D . B ^ d x d y d C (10)

H = 0 p = 0 X = 0 c o = 0 ( i ) ( k ) 0 0 - 1

W w yrażeniu (10) w iloczynie B jpk D B ^ , w ystępują całki funkcji ortogonalnych przyjm ują­

ce wartości:

- . — dla X = p

|s in (X n x ) ■ sin(p7tx) ■ d x = j 2

10 dla X * p

r - - - — dla co = p . .

Jsin(co7iy)-sin(p7ty)-dy 2 (11)

° 0 d la co * p

J cos(X.7ix) - cos(p7ix) ■ dx =< 2 dla X. = p [ 0 dla X * p

1

Jcos(co7ty)'cos(p7ty) dy =j 2

M acierz sztyw ności elem entu ma zatem budow ę pasm ow ą (rys. 3), co pozw ala po rozłożeniu obciążenia w szereg Fouriera rozdzielić układ rów nań (9) o w ym iarze 3m ( A + 1)(Q +1) na (A + l)(f2 + l) niezależnych od siebie rów nań o postaci:

K £ -u£ = R £ (12)

W ten w łaśnie sposób uzyskuje się w spom nianą wcześniej redukcję zadania przestrzennego (3D) do zadania jednow ym iarow ego (ID ), osiągając tym samym zn aczną efektyw ność obli­

czeń num erycznych.

Rys. 3.

Form ow anie m acierzy sztywności m odelu złożonego z w arstw ow ych elem entów dyskret­

nych jest proste i przebiega w g poniższej form uły (ilustrację stanow i rysunek um ieszczony obok):

K^coik

+ K ^ ik i.k e e , (i = k ) ^A (i e ( e + 1)) kcoik

v ( e )

H a i k i , k e e, (i * k ) v (i t (e + 1)) k € e

11

2 1 a

3 ' granica elementu i k (¡=k)

1

i

Va>

granica elementu

m L

40 A. Cińcio

N ależy zw rócić uw agę, iż dow olny blok macierzy K ^ im o postaci (13) składa się z w yrazów określonych prostym i funkcjami (14) umożliwiającymi przeprow adzenie całkow ania w sposób analityczny:

K ^ k = - l J yle

a.2k ; , ^<bk'2 x k;,

\k;,

i2]

coKj

XcoK’, co K J2 coK^j (13)

k;, = k ; 7t2(2 - 3v) (1 + v)(l - 2 v) J

V ) r

^ - j E ( Q N , ( C ) . N k( O d ę

k:, =k: . = ---

12 21 2(l + v )(l-2 v )_ J1j E ( Q N , ( O N k( O d ę

k ,'3 = k ; , = k ;3 = k ;2 =

7c(4v- 1)

lc(l + v ) ( l - 2 v ) /e(C) N ;(C) N'(C)dC (14)

k:, 4 ( 2 - 3 v )

1 2 ( 1 + v ) ( 1 - 2 v )j E ( Q N ' ( Q N ( ( Q d C

4. Zakończenie

P rzedstaw iony za p om ocą wersji półanalitycznej m etody elem entów skończonych algorytm rozw iązania sform ułow anego modelu w arstw skończonych podłoża pozw ala na efektywne num erycznie i w ystarczająco dokładne dla zastosow ań inżynierskich określenie stanu naprężeń i przem ieszczeń w masywie gruntow ym podłoża. Jednocześnie zastosow anie p rocedur itera- cyjno-przyrostow ych um ożliw ia uw zględnienie właściwości sprężysto-plastycznych gruntu.

Po zakończeniu pracy autora nad program em kom puterow ym , ujmującym om ów ione zagad­

nienia pracy statycznej podłoża, co miejmy nadzieję nastąpi w krótce, będzie m ożliw e przed­

staw ienie szczegółow ych w yników analiz numerycznych.

L IT ER A TU R A

1 B U R M IN S T E R D M.: T he general theory o f stresses and displacem ent in layered systems, J. Appl. Physics, vol. 16, 2,3,5, 1945.

2. C H E U N G A. Y. K: Finite Strip M ethod in Structural Analysis, Pergam on Press, Oxford 1976.

3. G R Y C ZM A N SK I M : M etoda elem entów skończonych w analizie p odłoża budow li. Zeszy­

ty naukow e W SI w Opolu, z. nr 21, O pole 1975.

4. G R Y C Z M A N SK I M .: M etoda elem entów skończonych w liniowej i nieliniowej mechanice.

M ateriały Seminarium Instytutu K onstrukcji Budowlanych, Gliwice 1994.

5. G R Y C ZM A N SK I M.: Rozw iązanie zagadnienia rów now agi w ielow arstw ow ego podłoża obciążonego pionow o w obszarze prostokątnym , z zastosow aniem szeregów trygonom e­

trycznych. A rchiw um H ydrotechniki, tom X VI, zeszyt 2, W arszaw a 1969.

6 K U JA W SK I J., O LE JN IK M.: Obliczanie warstwy sprężystej półanalityczną m eto d ą ele­

m entów skończonych, A rchiw um Inżynierii Lądowej, t.X X X I, z 4 , 1983.

7. W IL S O N E. L .: Structural analysis o f the axisymmetric solids, J. AIAA, 3, 12, 1965.

8. W IT M E R E. A., K O T A N C H IK J. J.: Progress report o f discrete elem ent elastic and elastic- plastic analyses o f shells o f revolution subjected to axisymmetric and asym m etric loading, P roc. 2nd Conf. „M atrix M ethods in Struct. M ech ” , W rigth-Patterson A. F. B ase Ohio,

1968.

9. Z IE N K IE W IC Z O.C.: M etoda elem entów skończonych. Arkady, W arszaw a 1972.

R ecenzent: Prof, dr hab. inż. Stanisław Bielak

A bstract

T his paper deals w ith the problem o f the static analysis: o f a multi layer substratum sub­

jected to a vertical load in rectangular area. T he horizontal layers are linearly deform ed and isotropic. T he p aper presents: basic formulations, a solution algorithm and advantages w ith the application o f the sem i-analytic finite elem ent method.