Zestaw 2
KLASY PIERWSZE I DRUGIE
1. Rozstrzygnij, czy istnieją liczby całkowite 𝑥, 𝑦, 𝑧 dla których
(3𝑥 − 5𝑦)(7𝑦 − 3𝑧)(3𝑧 − 𝑥) = 20222021
Takie liczby nie istnieją. Liczba 20222021 jest nieparzysta, więc wszystkie z trzech liczb 3𝑥 − 5𝑦, 7𝑦 − 3𝑧, 3𝑧 − 𝑥, muszą być nieparzyste, a to jest niemożliwe, bo gdy mamy trzy liczby 𝑥, 𝑦, 𝑧, to dwie z nich są tej samej parzystości.
2. Udowodnij, że dla każdego 𝑛 całkowitego liczba 4𝑛2 − 4𝑛 jest podzielna przez 8.
4𝑛2 − 4𝑛 = 4𝑛(𝑛 − 1)
Liczby 𝑛 − 1 i 𝑛 to dwie kolejne liczby całkowite, więc ich iloczyn jest parzysty. Można więc napisać 4𝑛(𝑛 − 1) = 4 ∙ 2𝑘 = 8𝑘, co kończy dowód podzielności przez 8.
3. W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono wysokość BD i na przedłużeniu wysokości odłożono punkt K taki, że |BK| = |AC|. Punkt K połączono z punktami A i C. Jaką miarę ma kąt AKC?
Możliwe są dwie sytuacje:
a)
Kąty KBC i ABK są równe i mają po 30°. Trójkąty BCK i BAK są równoramienne, więc kąty CKB i BKA mają po 75°, czyli kąt AKC ma 150°.
b)
Kąty ABK i CBK są równe i mają po 150°. Trójkąty BCK i BAK są równoramienne, więc kąty CKB i BKA mają po 15°, czyli kąt AKC ma 30°.
Za rozważenie tylko jednego przypadku przysługuje 1 punkt.
KLASY TRZECIE
1. Wykaż, że dla każdego 𝑛 ∈ 𝑁 ułamek 10𝑛+3
25𝑛+7 jest nieskracalny.
Niech liczba 𝑑 będzie wspólnym dzielnikiem 10𝑛 + 3 oraz 25𝑛 + 7. Liczba 𝑑 dzieli więc również 5(10𝑛 + 3) i 2(25𝑛 + 7), a także ich różnicę, czyli 1. Pokazaliśmy, że każdy wspólny dzielnik 10𝑛 + 3 i 25𝑛 + 7 dzieli 1, czyli są to liczby względnie
pierwsze.
2. Udowodnij, że zachodzi równoważność 27|5𝑥 + 4𝑦 ⟺ 27|2𝑥 + 7𝑦.
Zauważmy, że 2(5𝑥 + 4𝑦) = 5(2𝑥 + 7𝑦) − 27𝑦. Jeśli więc 27 dzieli 2𝑥 + 7𝑦 to dzieli też 2(5𝑥 + 4𝑦) czyli dzieli 5𝑥 + 4𝑦, bo liczby 2 i 27 są względnie pierwsze. Implikację w drugą stronę dowodzimy podobnie.
3. Udowodnij, że jeżeli 7|(𝑥2 + 𝑦2) to 7|𝑥 i 7|𝑦.
Możliwe reszty z dzielenia przez 7 kwadratów liczb całkowitych to 0, 1, 2, 4. Jeśli więc przynajmniej jedna z liczb 𝑥, 𝑦 nie jest podzielna przez 7 to 𝑥2 + 𝑦2 może dawać z dzielenia przez 7 następujące reszty: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale nie 0.
