Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 12, Heft 11

DER STAHLBAU

Fernsprecher: Darmstadt 7 7 1 1 , Apparat 599

Professor W. R e i n , Breslau, T echnische H ochschule. — Fernsprecher: Breslau 42161 V eröffentlich un gsbeiträge an voran steh en d e Anschriften erbeten

B e i l a g e

z u r Z e i t s c h r i f t

DIE BAUTECHNIK

Preis d e s Jahrganges 10 RM und P ostgeld

Fachschrift für das g e ­ sam te B auin genieurw esen

1*2. Jahrgang BERLIN, 26. Mai 1939 lieft 11

Alle R ec h t e V o r b e h a l t e n .

Zur Frage einheitlicher Bezeichnungen in der Baustatik.

Von Prof. ®r.=2>ng. E r n st M ela n in W ien.

W enn auch der Frage ein h eitlich er und folgerichtiger B ezeichn un gen in der Baustatik bei einfachen Tragwerken k ein e a u ssch la g g eb en d e R olle zu k o m m t, m öge doch nicht übersehen w e rd en , daß b ei hochgradig statisch un bestim m ten S y stem e n ein e entsprechend g ew ä h lte B ezeichn un gs- W eise nicht un w ich tig ist. N icht nur unpraktische B ezeich n u n gen , sondern auch d ie V ersch ied en h eit d erselb en bei versch ied enen Verfassern können ein e Q u e lle von M ißverständnissen sein und unnütze G edankenarbeit ben ötigen . Im übrigen so llen d ie folgen d en V orschläge nicht so sehr der Wahl b estim m ter Zeichen für die v ersch ied en en Größen g e lte n , als v ielm eh r den V ersuch ein er grundsätzlichen, folgerichtigen B ezeich n u n gs­

w e ise b ein h alten . Daß andere F a ch g eb iete in d ieser H insicht v iel w eiter vorgesch ritten sind, sch ein t zu erw ähnen ü b erflüssig zu sein.

Zunächst sei daran erinnert, daß die B erechnung der inneren Kräfte e in es Tragwerks oder der Form änderungen letzten E nd es auf d ie L ösung linearer G leich u n g ssy stem e hinausläuft. D abei ist es g leic h g ü ltig , ob ein e so lch e A u flösu n g rechnerisch oder durch zeich nerische Verfahren (Cremona- pläne, W illiotp län e, S eile ck e) erfolgt. Jed en falls lie g en entsprechend d iesen linearen G leich u n gen quadratische „M atrizen“ von der Form

vor.

oder oder

Es

p q

'11 a u • • ■a \ n &H . . . b u • • • b l n

rA 1 a h i ■ ■ ■ a k n bk i - . . bk i ■ • • b k n

'«1 ' a n i • • • a nn b „ i . . . K i ■ • • b n n ist nun ein grundsätzlicher Rechnungsvorgang, aus n d ie E lem en te ein er neuen Matrix, etwa

? = V V + a 2 p b q2 + H p bq3 + • • • = = a i P 1V

? = ap l + a p 2 b 2 q + a P :i b3 q + ' = v a •

~ u p i K ,

? = a > P *1*+ a 2 p b 2(,1 + a 3 p b 3 q + ’ ' • = w v a-“ i P

d iesen

usw . zu bilden. Man erkennt, daß die Su m m en b ild u n g ste ts über jen en Z eiger erfolgt, der sow oh l bei a als auch bei b vorkom m t. D ieser

„stum m e Z eig er“ fehlt im Ergebnis, während die beid en anderen Z eiger in d erselb en R eihung w ie bei c auftreten. Dadurch sind w ir der N ot­

w en d ig k eit en th ob en , das S u m m en zeich en ausdrücklich zu schreiben;

cp q — O-ip b iq b e d e u te t auch ohn e Su m m en zeich en , daß über alle i zu su m m ieren ist. D ie se Schreibart scheint sich in der Tat in der Matrizen"

rcchnung im Hinblick auf die durch den Entfall d es S u m m en zeich en s verein fach te D arstellu n g rasch einzubürgern. Es w äre v o llstä n d ig un­

verständlich, w enn man den Z eiger i, über den die S u m m en b ild u n g er­

folgen soll, unterdrücken würde. In der Statik pflegt d ies nun zum eist zu g esch eh en . Es ist üblich, die G leich u ngen für die B eiw erte der E lastizitätsgleich u n gen statisch un bestim m ter S y stem e in der Form

<?„ = 2 S n S n S p<i P <r E F

zu schreiben, w o b ei Sp d ie Stabkräfte in folge d es Hilfsangriffs X p — \ , S q je n e in fo lg e X q = 1 vorstellen . Man muß jetzt ausdrücklich hin zu­

fügen, daß d ie S u m m en bildun g über a lle Stäbe, d. h. über den hier w e g g e la s se n e n Z eiger i zu erfolgen hat, um d iese G leich un g verständlich zu m achen. Auch ohn e d ie se Erklärung verständlich, müßte die vor­

ste h e n d e G leich u n g lauten

oder

<W = - T -pV E F , ‘ S Î P S *Ç

= V

_ £ / E F i 5 E F i

je nachdem man N äh eres über die R eih en folge und B ed eu tu n g der Z eiger vereinbart hat.

Daraus ergibt sich die F olgeru ng, daß grundsätzlich auch innere Kräfte und nicht nur V ersch ieb ungen, w ie ja a llgem ein üblich, m it zw ei Z eigern zu v e rseh en sind. Bei den V ersch ieb ungen hat sich ausnahm slos der Brauch ein geb ürgert, daß der erste Z eiger zur K en nzeichnu ng d es Punktes, an w elch em d ie V ersch ieb u n g auftritt, dient, w ährend der z w eite Z eiger auf die U rsache, d ie d ie se V ersch ieb u n g bew irkt hat, h in w eist.

Im Hinblick auf d ie se a llg em ein üb lich e B e zeich n u n g sw eise wäre sonach zu em p feh len , bei inneren Kräften den ersten Z eiger zur K ennzeichnung der S te lle , den zw eiten zur K en nzeichnu ng der U rsache zu v erw end en . Es würde also b ed eu ten

M i p das M om en t an der S te lle i in fo lg e äußerer Kräfte P, Q l t Q uerkräfte an der S te lle i in fo lg e ein er Tem peraturänderung,

w ein e statisch u n b estim m te Größe an der S te lle a (Angriffs­

punkt ä) in folge W ind belastung W

usw ., eb en so w ie etw a 8_{iP <} i t 1 S i W d ie V ersch ieb ungen ein es P un k tes i in fo lg e der Ursachen äußere Kräfte P , Tem peraturänderung t und W ind­

belastu n g W b ed eu ten . Von der häufig v erw en d eten B e zeich n u n g sw eise M p i , Q t j wäre also Abstand zu nehm en.

Daß bei V ersch ieb ungen stets nur d ie K om ponente in einer bestim m ten, dem Punkte i zu geord n eten Richtung zu n ehm en ist, ist bekannt. Erscheint es also notw en dig, d ie V ersch ieb u n g d e sselb e n P u n k tes in z w ei versch ied en en Richtungen zu b estim m en , so em p fieh lt sich, d ie se lb en etwa m it 8i p und 8j P zu b ezeich n en , w ob ei zwar der Punkt i mit j , nicht aber d ie diesen Punkten zu geord n eten V ersch ieb ungsrichtungen zusam m enfallen .

Es wäre w eiter noch zu verein baren , daß die durch einen „H ilfs­

angriff“ P — 1 an der S te lle r h ervorgeru fenen Größen zur K ennzeichnung der U rsache led ig lich den Buchstaben r an zw eiter S te lle erhalten. Bei den V ersch ieb u n gen ist d ies ja auch a llg em ein üblich. Es b e d e u te t dem nach

Öaa d ie V ersch ieb u ng d es P un k tes a in folge ein es H ilfsangriffs 1 (bzw.

bei statisch un bestim m ten Tragwerken in folge X a = + 1) in d iesem Punkte,

Sp q d ie V ersch ieb u n g d e s P unktes p in fo lg e d e s Hilfsangriffs 1 an der S te lle q

und e b en so

M ;„ das M om ent in i in folge d e s H ilfsangriffs 1 in a,

Stabkraft im Stabe p in folge ein es H ilfsangriffs 1 an der S te lle q usw .

Zur B ezeich n u n g der e in zeln en Punkte ein es Tragwerks em pfieh lt sich d ie V erw en d u n g klein er Buchstaben bzw . arabischer Ziffern, w o b ei d ie ersten Buchstaben d es A lph abets für d ie Angriffspunkte der statisch un bestim m ten Größen Vorbehalten sein m ögen, w ie d ie s ja auch aus­

n ah m slos üblich ist. Ein veränderlicher Punkt, w elch er der R eihe nach mit versch ied en en S te llen d es Tragwerks zusam m enfällt, m öge stets m it m oder n b ezeich n et w erd en , so daß also m it m an erster S te lle als Z eiger z. B.

M m P d ie M o m en ten lin ie in folge der B elastung/-*, Q mW die Q uerkraftlinie in folge W ind belastung W,

8 m t die B ieg elin ie in fo lg e einer T em peratu rän deru n g/, Sma d ie B ie g e lin ie in folge d e s H ilfsangriffs 1 in a v o rstellen . H in gegen b e d e u te t m it m als zw eiten Z eiger

M im das M om en t an der S te lle i in fo lg e einer der R eihe nach an den S tellen in = 1, rn = 2 . . . w irkenden Kraft P = 1, d. h. d ie Ordinate der E influßlinie für das M om ent im B ezugspunkt i an der S te lle m, s Pq die

X am eben so d ie Ordinate der E influßlinie für d ie statisch u n b estim m te Größe X a an der S te lle rn,

Sim die O rdinate der E influßlinie für ein e V ersch ieb u n g d e s B ezu g s­

p unktes i an der S te lle m.

Um d ie Größen in ein em statisch un bestim m ten S y stem von jen en d es G ru nd system s zu unterscheiden, sind z w ei S chreib w eisen in G ebrauch.

M anche V erfasser v erw en d en für d ie Größen im G rundsystem Fraktur­

buchstaben, so daß z. B. d ie Stabkräfte in ein em statisch un bestim m ten Fachw erk S i p durch die G leich un g

S , p = 6 {- P + X r p © /r

d argestellt w erd en ; dabei ste llt allen falls, w en n man sich zur W eglassu n g d es S u m m en zeich en s entschließ t, das z w eite G lied b ereits ein e Su m m e über a lle W erte r vor, so daß d ie G leich u ng für ein m ehrfach statisch u n b estim m tes Fachwerk ausführlicher g esch rieb en

S i P = S , P + X a P <Bia + X b p & ib + X c P <Bic + . . .

lautet. Es ersch eint aber fast vorteilhafter, durch ein en dritten Z eiger auf den Grad der statischen U n b estim m th eit h in zu w eisen . D ab ei ist es, oh n e U nklarheiten hervorzurufen, statthaft, den ein em statisch bestim m ten G rundsystem entsp rech en den Z eiger 0 stets w eg zu la ssen . V erw en d et man also z. B. b ei ein em M ach statisch u n b estim m ten Tragwerk ein v — «-fach statisch u n b estim m tes G ru nd system , so w äre zu schreiben

M i p r = M i P v _ p + X r p M i r v — p

und in sb eson d ere b ei V erw en du ng ein es statisch b estim m ten Grund­

tragwerks

M i P v = M i P + X r P M i r - D ie E lastizitätsgleich u n gen lauten dann im ersten F alle

S a p r - f L X p P + S a P v - p = 0 { a = \ , 2 . . . v — p ) , w e il säm tlich e V ersch ieb u n gen an dem v — /M ach statisch un bestim m ten G rundsystem zu n eh m en sind, im zw eite n F alle

^ V + V = 0

•In b eid en F ällen ist entsprechend dem Z eiger P e in e B elastungsgru pp e P v o rau sgesetzt.

Ersetzt man in den zu letzt an gesch rieb en en G leich un gen den Z eiger P durch m, d. h., ist nunm ehr e in e in den Punkten m = \, m = 2 usw.

w irkende Kraft P = 1 d ie U rsache, so b e d eu ten d ie Größen X p m und Sa m bereits d ie entsp rech en den Ordinaten der Einflußlinien für d ie statisch un b estim m ten Größen bzw . für d ie V ersch ieb u ng in a. Ersetzt man eb e n so in der G leich ung

M i P r ■Mi p + X t_{p P M i p} P durch m, so erhält man durch die G leich un g

^ ¡ m v ~ ZAim + X p m M j p

die Vorschrift, w ie aus den E influßlinien M im im statisch bestim m ten G rundsystem und jen em der statisch un b estim m ten Größen X pm die E influßlinie d es M om ents im B ezu gspu nkt i im statisch un bestim m ten S y stem zu bild en ist.

Es ist ersichtlich, daß d ie F olgerich tigkeit in der B ezeic h n u n g sw eise nur durch das A nschreiben e in es z w eite n Z eigers bei den inneren Kräften erkauft w erd en kann. Man darf dabei aber nicht üb erseh en , daß es im Z u ge der U ntersuchung ein es Tragwerks in der M ehrzahl der F älle ohn eh in n otw en d ig ist, v e rsch ied en e B ela stu n g sfä lle in Betracht zu zieh en und daher d ie V erw en d u n g von Z eigern, w e lch e auf d ie se versch ied en en B elastu n gen h in w eisen , nicht zu u m geh en ist. Es m öge also nur ver­

einbart w erden , daß d ie se Z eiger stets an zw eiter S te lle zu schreiben sind. V ergleich t man m it der hier v o rg esch la g en en Schreibart die m it­

unter üb liche, w onach z. B. ein M om ent im statisch un b estim m ten System in der Form

M i = M 0 + X a M a + X b M b + . . .

d argestellt wird, so erkennt man leicht d ie V orteile der hier vor­

g esch la g en en B ezeichnungsart. D enn in der zu letzt a n g esch rieb en en G leich u n g b e d e u te t der Z eiger i d ie S te lle , der Z eiger 0 soll auf das statisch bestim m te G rundsystem h in w eisen , der Z eiger a b ei X w eist auf d ie S te lle , h in g eg en bei M a auf d ie U rsache, so daß also b ei jeder Größe dem Z eiger e in e and ere B ed eu tu n g zukom m t. Daß sich d ie se F olgeu n rich tigk eit in sb eson d ere beim Studium und Unterricht der Bau­

statik oft sehr h em m en d auswirkt, sei nur n eb en b ei erwähnt.

A"e Rechte vorbehauen. g jn Annäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeelträgers,

gültig für beliebige Querschnittsverhältnisse und Belastung der Gurte auch außerhalb der Knotenpunkte.

V on 2H'.=;3ttg. O tto B ra u n , Augsburg.

(Schluß aus H eft 9.)

der M itte nach den S e iten auf das m ehr als D reifache anw ach sen. Es dürfte schw er sein, für ein en solch en Träger ein anderes, einigerm aßen ein fach es Berechnungsverfahren an zu geb en .

d ) Z a h le n b e is p ie l.

Zu untersuchen sei ein V ieren d eelträger m it parabolisch gekrüm m tem Obergurt. Parallelträger wird man im Brückenbau w e g en der zu groß w erd en d en E ckm om entc m öglich st verm eid en . D ie A b m essu n gen sind in Bild 7 a n g eg eb en . E s se ien Q uerträger außer an den K notenpunkten auch in der M itte der U ntergurtstäbe aufgelagert. Bild 8 gib t d ie S teifig ­ k eit der S täb e an. E ingetragen sind d ie W erte //' = «■

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Bild 7.

«) A u f s t e l l u n g d e r E l a s t i z i t ä t s g l e i c h u n g e n .

Es w erd en zuerst d ie E lastizitätsgleich u n gen d es E rsatzsystem s mit starren V ertikalen a u fg e stellt (vgl. A bschnitt b).

Zunächst b estim m t man d ie Funktionen säm tlicher N eig u n g sw in k el.

Zum B eisp iel ist im ersten F eld für den Obergurt:

sin v = 0,252 , cos v = 0,968 tg « = 0,260 sin2 v = 0,0635 sin v • cos v = 0,244.

Für den gan zen U ntergurt ist sin xp = tg xp = 0, c o s y / = l . W eiterhin wird du rchw eg s l

Sz z = o' + u' = 20,0 + 10,0 = + 30,0 S chw erpu nk tes

o' o' hl + h r

~ T ~

s r = ~2~ = 5,0 m. Im ersten F eld ist und der A bstand d e s elastisch en

v„

Es wird

. v — o' + u'

20,0 3 0 ,0

3 , _ 30,0

yy 3

W eiterhin wird im ersten F eld :

■ +

sin 2 r + u"

r (3,5 • 0,0635 + 0) =

6,0

+

: 4,87 111.

V

10 (20,0 • 0,260

Jc

und zwar in m. D ie ein gek lam m erten W erte sind u" = u ' - p r , o" und h"

in m 3. D er Untergurt ist knapp zw ei- bis zw eiein h alb m al so steif w ie der Obergurt. S e in e größere S teifig k eit wird durch d ie Z w isch en au flage­

rung der Querträger bedin gt. A ußerdem wird man ihn unter der Fahrbahn ohn eh in höher und dam it steifer ausführen als den sichtbaren Obergurt.

D ie S teifig k eitsv erh ä ltn isse der G urte sind in den ein zeln en Feldern ver­

sch ied en . D as g ilt auch für d ie V ertik alen, deren T rägh eitsm om en te von

t g « =

2 'iy

a ä y y 2 T ö

■8,50

• 10,01

' tg V’) + — («'■

- 0 ) + j > -

r == + 0,170

• sin u> • cos xp — o" • sin v • cos >•) 3,5 • 0,244) = 8,50

h r0 = h r

v u + (tg 'p + tg <*) --= 4,87 + 5 (0 + 0,170) = (tg y _ + tg «) = 4,87 — 0,85 = 4,02 m

8,6 — 5,72 = 2,88 m

5,72 in

h ‘ — h a T K -

l ■■ 6,0 — 4,02 = 1,98 m

Jah rg an g 12 Heft 11

26. Mal 1939 B r a u n , Ein A nnäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeeltr ägers usw. 8 7

Sx x — - J [h o + h o h o + h Tj + ~ Y [h a + h u h u + K l ) +

+ o" (cos v + tg « • sin v)- + u" (cos y> — tg oc • sin yi)2 Sx x == 20 (1.982 + 1,98 • 2,88 + 2,882) + (4,02= + 4 ,0 2 -5 ,7 2 + 5,722) +

+ 3,5 (0,968 4- 0,170 • 0,252)2 + 3,3 (1 — 0)2 Sx x = 119,4 + 239,6 + 3,6 + 3,3 = 359,0 4- 6,9 s o 366.

359,0 ist der A n teil der M om en te und 6,9 der A nteil der Norm alkräfte.

In gleich er W eise w erd en für die übrigen drei F eld er die ¿'-Werte bestim m t, w as praktisch selbstverständlich für a lle F eld er zusam m en in Tabellenform g esch ieh t. D am it sind die E lastizitätsgleich u n gen (8) d es E rsatzsystem s m it starren V ertikalen bekannt. S ie lauten:

Feld 1:

Feld 2:

F eld 3:

F eld 4:

366 X , = S0 x 10,01 Yl = 8o y 30,0 Z ^ S o z 830 X , = 80 x 14,01 Y2 = ä 42,0 Z , = SQZ 1375 X 3 = oo x Soy

1978 X 4 ■

53,0 Z , = <5 „ --'L

^ 3 ” 0 Z

68,0 Z , = 3„

17,67 Ys -.

So x - 22,67 Yt - - U uu, v ^ -

Es sind nun als nächstes Gl. (15) zur B erücksichtigung der Elastizität der V ertikalen a u fzu stellen . Im ersten F eld wird:

" ^ + T (*»

h° ) \ + f i F + T (A- - ho)\

= J fr M O + . 0 ( 4 0 2 _ l 98)2\ + + M ( 5 ,7 2 - 2 , 8 8 ) j

¿ * Xx - X

* * X X

-2,8

X ’

X ’ xx

366

40,4 + 1 1 4 , 5 = 154,9 h 2 h' + 1

+

154,9 + 1

1 2 ^ „ v h - hi 12 J 3 3 0 ,0 '

( 0 + 0 ’)

• (0 + 0') 4-

A ' ( V 2 J , h ' { h a -

A ) (A4 + Ai') XX

h o) 2 J e

154,9 + +

(Ai + A4’)

+

+

+ X '

+ ^86,287

■ (0 + 0 ’) + (Ai 4-A4’) 4-X ’

154,9

+ 3,363 X ' = [ + 0,194 (Q ■+ Q') — 0,0658 (A4 4- A4')], +

+ [— 0 ,5 5 7 ( 0 + 0 ' ) + 0,1283 (Ai + A4')], + Xi'.

W eiterhin ist J 3 , Y'

Y'

J 2 L . + 1

<*yy 10,01 + l

yy J Sz z — h [ + h r' ■ hi

¿13. (A i-R A4') 10,0

yy

10,0 + 14,0 hi

¿13.

24,0 (A4 4~ A4') yy

+ Y ’

24,0 1 ‘ 24,0 {M + M S>1 + 1,417 / ' = — 0 ,4 1 7 (4 4 + Af'),

D ie G leich u n g für Z ' ist ganz ähnlich:

30,0 + l ] = + 0,417 (A4 4-A4'),■

2 4 '() (/VI + M ’)r + Y' 14 0 0,583 (A4 4- A4'), 4- V .

Z' 0,583 (Ai + A4 ')r + Z'

0,583 (A4 4- A4'), + Z '.

+ 2,250 Z ,' = + 0,417 (Ai 4- A4'), - + 2,200 Z2' = + 0,400 (Ai 4- A4'), - + 1,869 Z3' = 4- 0 ,3 4 4 (Al 4- A i'), - + 1,654 Z 4' = 4- 0,385 (A4 + M ' ) r 4- 1,654 Z*' = 4- 0,615 (AI 4- Af ’), -

- 0,583 (AI 4- A4'), 4- Z ,' -0 ,6 0 0 (Ai 4- A4'), 4- Z2' - 0,656 (Al 4- A4'), 4- Z3' - 0,615 (Ai 4- A4'), 4 - Z / - 0,385 (Ai 4- M ' ) r 4- Z r'

((?4-< ?')u n d (Ai + A i')sin d d ie Querkräfte und M om en te in V ertik alen­

m itte. S ie w erd en m ittels der am Schluß von A bschnitt b au fg estellte n G leich u n gen (9) erm ittelt. Da k ein e Lasten an den V ertikalen angreifen sollen , so ist O 0 — A4o = 0, Zum B eispiel ergibt sich für die V ertik ale 1 zw isch en F eld 1 und 2:

Ql = X , — X , und

M i = ~ 2 [>‘u - » ro \ + Y K - hl0)2 X i 4- Yt 4- Y2 4- Z t Z 2 M t = — 1,42 X t + 1,64 X 2 + Y t + Y2 4~ Z L — Z 2 .

D ie W erte ^ — A0) w urden, w ie schon erw ähnt, b ei der A uf­

stellu n g der Gl. (15) für X ' b en ö tig t und können dort entnom m en w erden.

Für die Q uerkräfte und M om en te säm tlicher V ertik alen lauten die G leich un gen :

Ai0 = 4- 1,02 X y 4- Yl - Z ,

M t = — 1,42 X y 4- 1,64 4- (Yy + Y2) + (Z, — Z 2) Ai2 = — 1,99 Z 2 4- 2,09 - f (Y2 4- Y3) + (Z2 - Z ,)

Ai3 = - 2 ,30 Z 3 4- 2,39 W4 4- ( / , 4- K4) 4 - (Z3 - Z 4) M i = - 2,47 Z 4 4- 2,47 W4 4 (K4 4- Y f) + (Z4 - Z T) ALj = - 2,39 X,- + 2,30 X , + ( Y c + Y ,) 4- (Z T— Z ,)

usw .

(D ie B eiw erte von X 3 und X 4 entsprechen d en en von X T und X , .) D am it sind a lle zur Durchführung d es A nnähcrungsverfahrens er­

forderlichen G leich u n gen bekannt.

Qo Qy Q

2

= ~ X y

= X y - X t

= x , — x - X , Q i — x 3 Qt — x t — x T Q:f — x f — Xjj

24,0

4 - 2,250 Z ' = 4- 0,417 (A f 4- A f') ,-

In gleich er W eise ergeb en sich d ie G leich u n gen für d ie übrigen drei F elder. Für die rechte Trägerhälfte sind d ie B eiw erte von (Q + Q ') und (Ai 4- A i') zu vertau sch en , da dort die lin ke V ertikale zur rechten wird und um gekehrt. Selb stverstän d lich wird man b e i der praktischen Durch­

führung der B erech nu ng säm tlich e B eiw erte tabellarisch erm itteln, w ob ei h'i h'

z. B. —- - für d ie rechte V ertikale d es ersten F eld e s d erselb e W ert ist

12 j

w ie für d ie lin k e V ertik ale d e s zw eite n . Auch ^ [hu — A0) kom m t m ehr­

fach so w ie auch noch später vor. D as F eld 1 w urde nur herausgegriffen, um d ie R echnung nicht zu um fangreich zu m achen. Man erhält insgesam t fo lg en d e G leich u ngen für die Ä nderung der U n bekan nten:

4- 3,363 Xy' = [4- 0,194 [Q 4- Q') — 0,0658 (Ai 4- Af')], 4-

4- [— 0 ,5 5 7 (Q 4- <?’) 4- 0,1283 (Ai 4- M \ + X / 4- 3,0 7 5 XV = [4- 0,216 ( Q 4- <?') — 0 ,0574 (Af 4- Ai')], 4-

4- [— 0,482 (Q 4- Q ' ) + 0,1045(A i + M')]r 4- X 2' 4- 2,456 X 3' = [4- 0,204 (Q 4- Q') — 0,0465 (Ai - f A i')], 4-

4- [— 0 ,4 7 5 ( 0 4- Q') + 0,0974 (Ai 4 - Ai')]r - f X 3' 4- 2,078 X 4' = [4- 0,244 (Q 4- Q') — 0,0521 (Ai 4- Ai')], 4-

4- [— 0,418 (Q - f Q ') 4- 0,0861 (Ai 4- M ')]r - f X 4' 4- 2,078 A V ==[-!• 0,418 (Q 4- Q') — 0,0861 (Ai 4- A i')], 4-

4- [— 0 ,2 4 4 ( 0 4- 0 ' ) + 0,0521 (Ai 4- A4%. 4- X T' usw.

Man sieh t schon hier, daß d ie B eiw erte der M om en te w esen tlich k lein er sind, a ls die der Q uerkräfte. D em en tsp rech en d ist auch ihr Ein­

fluß gering.

4- i,4 1 7 K ,' = — 0,417 (Ai 4 - A i'), — 0,583 ( A i - f Ai % + Yy 4- 1,400 Z2' = — 0 ,4 0 0 (Ai -1- A i'), — 0 ,6 0 0 (Ai 4- Ai'),. + K,' 4- 1,290 Y3' = — 0,344 (Ai + A i'), — 0,656 (Ai 4- A4'), + Ys' + 1,218 K4'= = — 0 ,3 8 5 (Ai 4- A i'),— 0,615 (Ai 4 - A i'), 4- Y / + 1,218 Z-4' = — 0,615 (Ai 4- A i'), — 0,385 (Ai 4- A4'), 4- Y-t '

usw.

0 ,r Mx ~flächen

“ (aus Bild 2

c)

Bild 9a b is f.

ß) E r m i t t l u n g d e r U n b e k a n n t e n X, Y, Z d e s E r s a t z s y s t e m s . W ill man E influßlinien b estim m en , so läßt man ein e Last 1 der R eihe nach an den ein zeln en Q uerträgerauflagerpunkten angreifen, und zwar w erd en zuerst d ie vier L aststellu n gen an den K notenpunkten und dann

d ie an den Z w ischenpunkten untersucht. Für die L aststellungen an den K notenpu nk ten ist d ie Erm ittlung der X , Y, Z d e s E rsatzsystem s b e ­ son d ers einfach. Da säm tlich e U nbekan nten un abh ängig voneinan der sind, und die <?0-W erte und dam it auch die statisch un bestim m ten Größen nur von d e r A f.-F lä c h e d e s betreffen d en F eld es abh ängen, so g e n ü g t e s , d ie L aststellu n g an Punkt 1 zu untersuchen. Für d ie L aststellu n g an jedem anderen K notenpunkt sind die U n bekan nten je w e ils ein V ielfach es der für Last an Punkt 1 errechneteh.

Der A b leitu n g der J -W erte d ie n e Bild 9. Am einfachsten sind die 8 g z - W erte zu b estim m en , da d ie M om en tenfläche für Z = — 1 (Bild 2 c ) aus R echtecken b esteh t. Dann folgt die B erechnung der So y -W erte. D ie go x -W erte lassen sich aus So z und 8g zusam m en setzen . D ie A b leitu n g erfolge für ein en b e lie b ig e n K notenpunkt. Für Punkt 1 ist dann b — a.

(D ie Ai0 -F lä c h e erstreckt sich nur über den Untergurt. Im statisch b e ­ stim m ten H auptsystem m it durchschnittenem O bergurt treten bei horizontalem U ntergurt k ein e Norm alkräfte auf.)

A us Bild 9 b u. c erhält man für d ie <5'0 ? -W e rte rechts vom Last­

ist. Wird Punkt 2 b elastet, so w achsen d ie U n bekan nten rechts vom Lastpunkt auf das D o p p elte von d en en für Last an Punkt 1. Links in den Feldern 1 und 2 sind sie das 6 fache b z w . — 6 fache der beim ersten Lastfall in den Feldern 1 und 2 vorhand en en U n bekannten usw.

B ei g leich en Feldern ist l = n a oder ~ j — ~ l nnd som it für Last an Punkt 1 in den Feldern rechts vom Angriffspunkt: 8 g z = — ‘ 0 Llllc*

8o y - i. “ + ' ß " E S b l e i b t 8 o x ^ — v u * o t — \ ' S " ' ' o y' tg « 80

Es m ögen z. B. die U nbekan nten im äußersten rechten F eld 1 für Last an Punkt 1 bestim m t w erd en . Es ist dort:

u ’ 10 n

10

• = 1,250 c = 5 m

« ' = 1 0 , 0

1 , 2 5 - 5 = — 6,25 8t Entsprechend w ie in F eld 1 ist v = 4 , 8 7 m;

*„* = ■ ^{o y} + 1,25-

a = 1 0 m

= + 2,0833.

t g « = - 0,85 m

angriffspunkt: 8g, = J m 0^{M z d s} c • ,

■ j . U b . Je

J == — Z . u ’ b . L-in k s vom Last- -W erte wird

äo x = + 4,87 • 6,25 + 0,85 • 2,0833 = + 32,208.

Y r = + = + 0,2081 angriffspunkt ist $o z = — “ • u b . Zur B estim m u n g der <5^,

das Trapez der A i0 -F lä ch e entsp rech en d Bild 9 d in ein Rechteck und in ein verschränktes Trapez zerlegt. D as R echteck liefert k einen Beitrag

+ • u ’ b und 6 /

Es w ir d : X T = + - ? ; £ 08- = + 0,0880

3b6 10,01

Z v = - 6,25

30,0 - 0,2083.

zu 80 y . Som it wird rechts vom Lastangriffspunkt <J(oy

links davon 8„ ■ u ’ b . D ie yM^.-Flächen sind Trapeze, d ie man

° y 61

entsprechend Bild 9 f aus ein em R echteck und ein em verschränkten Trapez T a b e l l e 1.

Zur D urchrechnung d es ganzen Trägers benu tzt man naturgem äß T abellen.

D ie U nbekannten im linken F eld 1 sind ± 7 m a l so groß: ^ = + 0,616, Z 1 = — 1,458, aber Yx = — 7 .0 ,2 0 8 1 = — 1,457.

In der fo lg en d en T ab elle 1 sind d ie U n bekan nten X , Y, Z d es Ersatz­

sy stem s für d ie Lastangriffspunkte 1, 2 und 3 zu sa m m en g estellt. Last an Punkt 4 w u rd e w e g g ela ssen .

Feld .a st an Punkt 1 Last an Punkt 2 Last an Punkt 3

X Y Z X Y Z X Y Z

1 + 0,616 — 1,457 — 1,458 + 0,528 — 1,249 — 1,250 + 0,440 — 1,040 — 1,041

2 + 0,8365 + 0,1933 — 2,5149 + 1,174 — 1,160 — 3,482 + 0,978 — 0,966 — 2,902

3 + 0,6167 + 0,1886 — 2,0755 + 1,233 + 0,377 — 4,151 + 1,408 — 0,943 — 4,717

4 + 0,4735 + 0,1838 — 1,6544 + 0,947 + 0,368 — 3,309 + 1,420 + 0,551 — 4,963

4 + 0,3688 + 0,1838 — 1,2868 + 0,738 + 0,368 — 2,573 + 1,106 + 0,551 — 3,860

3 + 0,2817 + 0,1886 — 0,9434 + 0,563 + 0,377 — 1,887 + 0,845 + 0,566 — 2 ,830

2 + 0,1956 + 0,1933 — 0,5804 + 0,391 + 0,387 — 1,161 + 0,587 + 0,580 — 1,741

1 + 0,0880 + 0,2081 — 0,2083 + 0,176 + 0,416 — 0,417 + 0,264 + 0,624 — 0 ,625

zu sam m en setzen kann. D ie Af^-Flächen lassen sich som it durch d ie M z - und Af - Flächen ausdrücken. Es ist M x — - _{■ v a M z}

2 Gl. (6) war h ru = v a +

also ist h ra — h [ 2-

(tg v» + tg «) und h u = v u

My. Nach - ( t g y + t g a ) , (tg t/> + tg «) = a (tg y + tg «). Es wird M x = — v u M z - - (tg y + tg «) M y . U nter B en u tzu n g d ie se s W ertes

Es ist nach den bish erigen Ausführungen z. B. im F eld 4 für Last an Punkt 1: Y — + 0,1838, für Last an Punkt 3 : F = + 3 • 0,1838 = + 0,551.

Ich m ache noch w e iter darauf aufm erksam , daß bei dem hier vo r lieg en d en sym m etrischen Träger für ein en Lastfall d ie Y rechts vom b ela steten Knotenpunkt sym m etrisch zur M itte sind und die Z sich für g leic h zur M itte lie g e n d e F eld er proportional c ergeb en . A lso ist z. B. für Last an Punkt 1:

Z ;T = — 0,9434 und Z3 = — 0,9434 ■55

2 5 ' : — 2,0755.

ergibt sich:

/ m0m x

Jc

d s - f -

\ !

M y dS- Je

J aj

v u So z - (tg Y + tg «) 8

■v u So z ~ a . - - t g « c

ox vu oz 2 & r & ' °y

B eim vo rlieg en d en B eisp iel ist tg y» = 0, also 8g x = - 2 ■ *s “ ■'<»>•

H ierbei ist zu beachten, daß für d ie rechte Trägerhälfte t g « n eg a tiv ist.

Für Last an Punkt 1 wird b = a. Für Last an Punkt 2 wird b = 2 a usw . Es ist also rechts vom Lastangriffspunkt für

I

i / i r -

( D @ ®

I ! i

I 1 / z \

Last an Punkt 1: 8„ e , a*

' « « und So y = + 0 7

Last an Punkt 2: u ’ a -2 und 8g y = + -g - • u ’ • 2 usw.

I

D as heißt bei g leic h e n F eldern sind d ie A0-W erte rechts vom Last­

angriffspunkt und dam it auch die statisch unbestim m ten Größen ein g a n zes V ielfa ch es derjen igen für Last an Punkt 1. (Bei u n gleich en Feldern w ach sen sie im V erhältnis . j Es g e n ü g t also, den ein en Fall, daß K notenpunkt 1 b ela stet ist, zu untersuchen und dafür die U nbekannten X, V, Z nur in den F eldern 2 bis 1 (8) zu bestim m en . A u s Sym m etriegrü nd en sind dann schon b ei d iesem Lastfall d ie U nbekannten X 1 und Z, d es F e ld e s 1 das + 7 fache derjen igen d e s F e ld e s 1 (8), w ährend Yl = — 7 Yr

c)

Jl

, <?>

d j k - j l

L

! 1 i 1 1 i i

I -A

M0 -Fläche Bild 10a bis d.

Es b leib en noch d ie L aststellungen an den Z w ischenk notenp unk ten zu untersuchen. W ie schon am Schluß von A bschnitt c erw ähnt, wird d ie im F eld angreifen d e Last 1 auf die b eid en benachbarten K notenpunkte verteilt. Im vorlieg en d en Fall w ürde also an jed em der b eid en Knoten-

Jah rg an g 12 Heft 11

26. Mal 1939 B r a u n , Ein Annäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeelträgers usw. 8 9

u -a , punkte d ie Last * angreifen. Bei

der Übertragung der Last 1 auf die K notenpunkte treten im Untergurt d es b ela steten F eld es noch B iegu ngs- m o m en te auf. Man hat den Last­

fall gew isserm a ß en in drei ein ze ln e L astfälle a u fg eteilt (vgl. Bild 10). Es ist Lastfall a = Lastfall (b + c + d).

Zu untersuchen b leib t nur Last­

fall d, da die F älle b und c bereits für d ie Lasten 1 bekannt sind. D ie /W0-F läche erstreckt sich im Fall d über ein F eld. Beim Ersatzsystem treten also nur in ein em F eld U n­

b ekan nte X , Y, Z auf. N ach Bild 11 ist a

1 a

“8

D ie Last m öge z. B. im dritten F eld angreifen. Dann ist:

36 z = ~ J -1 6 ,0 = - 2 0 ; So y = 0 und So x = + 7,72 • 2 0 = + 154,4

(im dritten F eld war v u 7,72 m). Man erhält Z = —

• u < v = °

und i 0 . , = + v u ' v a K r

My- Fläche

Bild 11.

- 0 und X = + 154,4

20 53 1375

bei horizontalem Untergurt ¿ \ t = = f e t a E J C ; S,

y r z t ' ■■ 0. Es sind also nur d ie U nbekannten X t von 0 v ersch ied en . Das A n näh erun gs­

verfahren liefer ta u ch hier d ie en dgü ltigen U nbekannten X + X ’, Y ’ und Z '.

■/) D i e D u r c h f ü h r u n g d e s A n n ä h e r u n g s v e r f a h r e n s . N achdem d ie statisch un bestim m ten Größen X , Y, Z d es Ersatz­

s y s te m s m it starren V ertikalen für a lle L aststellun gen bekannt sind, m üssen die durch d ie Elastizität der V ertikalen b edin gten Ä nderungen X ’, Y ', Z' durch A nnäherung b estim m t w erd en . H ierzu d ien en die im Teil a auf­

g e ste llte n G leich u n gen . Das Annäherungsverfahren wird in Tabellenform durchgeführt.

Z unächst w erd en d ie vier L aststellu ngen an den K notenpunkten der R eihe nach untersucht. Es m öge hier die L a s t s t e l l u n g a n P u n k t 2

herausgegriffen w erden. D as Verfahren wird in der am Schluß von A b­

schnitt c a n g eg eb en en R eih en folge durchgeführt, ln T a b elle 2 sind d ie ersten N äh erun gsw erte X L , und d ie zw eiten N äherun gsw erte X ’,2\ unter

m itte) erhält man nach T a b elle 4 d ie N äh erun gsw erte Kj2) uhu D ie B eiw erte der M + M ' sind hier m it k m b ezeich n et.

■0,377;

+ 0,112. In gleich er W eise ergeben sich die U nbekannten d es E rsatzsystem s für die B elastu n g der übrigen Z w ischenk notenp unk te.

Für d iesen Lastfall d wird man auch das en d g ü ltig e S ystem mit elastisch en V ertikalen untersuchen, und erst zum Schluß wird man die U nbekannten X + X ' , Y + Y' und Z + Z ' der ein zeln en Lastfälle addieren. Zum B eispiel ist hier

l* + x 'h,s)= + x 'h) + y + *')(3) + (X + x \ dy

Sehr einfach ist auch d ie Erm ittlung von Tem peraturspannungen im E rsatzsystem . W enn d ie Tem peratur d es U ntergurtes um ± t ° von der­

jen ig en der über der Fahrbahn lie g en d en K onstruktionsteile abw eicht, ist

ausschließ lich er B enutzun g der Querkräfte erm ittelt. D ie in Klammern b eig efü g te Ziffer gib t an, der w ie v ie lte N äherun gsw ert es ist. Mit k q wurden d ie B eiw erte der (Q + (7 ) und m it cx die B eiw erte der X ' b e ­ zeich net. Q j,) ergab sich als die D ifferenz z w eier D ie erhaltenen N äh erun gsw erte X + X ' ^ und d ie Y und Z liefern nach T abelle 3 die ersten N äh erun gsw erte für y W + / W \ D er T abelle 3 lieg en d ie letzten G leich u n gen von Teil « zugrunde, w ob ei die B eiw erte der X + X ' mit « bzw. ß b ezeich n et w urden. Mit d iesen M om enten M •- M ' ^ (in V ertikalen-

und Zj|

S ie sind für Y' und Z' a b w ech seln d g leic h und e n tg e g en g e se tz t gleich. W ie schon erw ähnt, erfolgt d ie A nnäherung bei den Y' fortlaufend, näm lich so, daß z. B. zu der Berechnung von Yt ' schon der Einfluß d e s gerad e berechn eten W ertes Y3' berücksichtigt wird. Es ist zu d iesem Z w eck neben der Spalte für M + |) ein e Sp alte M + M 'f2j v o rg eseh en , in der d ie unterstrichenen Fläche W erte den Einfluß von Y '^ d es vorh ergeh en d en F e ld e s enthalten. Zum

• B eispiel ist im vierten F eld : — 0,251 = — 0,537 + 0,286 oder eben falls im vierten F eld (aber für M + M ' ^ ) : — 0,071 = + 0,041 — 0,112. Hier ist 0,112 d ie Z unahm e von Zj2) g eg en ü b er die m it J Y ' bezeich n et ist. Bei den, w ie man sieht, verh ältn ism äßig klein en W erten Z f a wurde auf d ie se fortlaufende A nnäherung verzichtet, w as den V orteil hat, daß die g a n ze S p alte heruntergerechn et w erd en kann, w ährend bei Y' von Z eile zu Z eile g erech n et w erden muß.

Jetzt b egin n t man w ied er d ie X ' w eiter zu verb essern, w o b ei auch der Einfluß der M om en te berücksichtigt wird. T a b elle 5 z eig t d ie se Rechnung. Man sieh t hier, w ie gen au schon d ie W erte X f a waren und w ie gerin g der Einfluß der M om en te ist. (A" muß auch etw as genauer als Y' und Z' erm ittelt w erd en , w e il es größeren Einfluß auf d ie Eck­

m om en te hat, denn e s wird bei der B estim m u n g dieser M om ente noch mit h 0 bzw . h u m ultipliziert.) D ie dann an sch ließ en d e V erb esseru ng von Kj2) und Z^s wird nochm als entsprechend T abelle 4 durchgeführt, w o b ei statt von Y ' — 0 je tzt von Kj2j au sg eg a n g en wird und statt von Z' = 0 jetzt von Z'(y . Es sind also für ZJ,j so w ie J Y' und J Z ' die n o tw en d ig en Sp alten in der T ab elle ein zu fügen. Auf W iedergabe d ieser T ab elle wird verzichtet. Lediglich d ie E rgeb n isse Y'^y FJ4) und ZJ2j sind in T a b elle 6 a n g eg eb en . D ie W erte X Y ' ^ und ZJ2j sind ausreichend genau. S ie w.erden m it X , Y bzw. Z der T a b elle 1 addiert und liefern dam it d ie en d gü ltigen statisch un bestim m ten Größen X + X ' , Y + Y' und Z + Z' d es V ieren d eelträgers für ein e E inzellast an Punkt 2- D ie se W erte sind eb en falls in T a b elle 6 a n g eg eb en . Am b este n er­

m ittelt man m it d iesen Größen noch d ie M om en tenflächen und N orm al­

kräfte d e s ganzen Trägers in der üblichen W eise. Man kann dann, w en n d iese M om entenflächen für säm tlich e L aststellu ngen b estim m t sind, sofort die Einflußlinien der E ckm om ente und N orm alkräfte auftragen, oh n e erst die Einflußlinien der statisch un bestim m ten Größen au fzuzeichn en, die für die D im en sion ieru n g doch nicht gebraucht w erd en . Bild 12 gibt d ie en d gü ltige M om en tenfläche an für Last 1 an Punkt 2. Zum V ergleich w urde auch d ie M om en tenfläche d es E rsatzsystem s m it starren V ertikalen in Bild 13 aufgetragen.

T a b e lle 2.

F eld Q l) _{k q Q}

X ’ =

= 2 Q Cx * ( i) ^(D Q + Oj])

+ 0,257 + 3,363 + 0,076 — 0,076 — 0,604 } + 0 , 1 1 2 — 0,534

— 0,110 + 3,075 — 0,036

} + 0,024 — 0,035

— 0,148 + 2,456 — 0,060

} — 0,052

} — 0,029

+ 0,234

— 0,017 + 2,078 — 0,008

+ 0,180 + 0,044 + 2,078 + 0,021

} + 0,001 + 0,176 + 0,048 + 2,456 + 0,020

} + 0,008

} — 0,014

+ 0,180 + 0,037 + 3,075 + 0,012

+ 0,201 + 0,086 + 3,363 + 0,026

1 + 0,0 2 6 + 0,202

ka (Q + Q') cx X '* ) X ,

(2) X X + X ( 2)

H i

+ 0,216

— 0,482

3i r

<

H lr

H r

m

+ 0,482

— 0,216

n A

+ 0,557

— 0,194

— 0,528 } — 0,646

} — 0,059

} + 0,286

} + 0,209

} + 0 , 1 7 5

} + 0,172

} + 0 , 2 1 5 + 0,176 9 x k - x k + y

— 0,103 + 0 ,360

— 0,139 + 0,029

— 0 ,0 1 2

— 0,136 + 0,070

— 0,087 + 0,087

— 0,043 + 0,083

— 0,035 + 0,083

— 0,046

+

— 0,034

— 0,117 + 0,297

— 0,115 + 0,017

— 0,007

— 0,111 + 0,057

— 0,075 + 0,075

— 0,043 + 0,083

— 0,037 + 0,087

— 0,043

+

— 0,039

+ 0,256 + 0,076 + 0,528 + 0 ,604

— 0,134 — 0,044 + 1,174 + 1,130

— 0,178 — 0,072 + 1,233 + 1,161

— 0,026 — 0,013 + 0,947 + 0,934

+ 0,053 + 0,026 + 0,738 + 0,764

+ 0,066 + 0,027 + 0,563 + 0,590

+ 0,056 + 0,018 + 0,391 + 0,409

+ 0,099 + 0,029 + 0,176 + 0,205 2) * ' ( ,) + ZI K , (Q + <?')•

die an den Zw ischenpunkten untersucht. Für die L aststellungen an den K notenpunkten ist die Erm ittlung der X , Y, Z des E rsatzsystem s b e­

son ders einfach. Da säm tlich e U nbekannten unabhängig voneinan der sind, und die <?0-W erte und dam it auch die statisch un bestim m ten Größen nur von der Ai0 -F lä ch e d e s betreffenden F eld es abhängen, so g en ü g t es, d ie L aststellu n g an Punkt 1 zu untersuchen. Für d ie L aststellu n g an jed em anderen K notenpunkt sind d ie U nbekannten je w e ils ein V ielfach es der für Last an Punkt 1 errechneten.

D er A b leitun g der i 0 -W erte d ie n e Bild 9. Am einfachsten sind die i 0 2 -W erte zu b estim m en , da d ie M om en tenfläche für Z — — 1 (Bild 2 e) aus R echtecken b esteht. Dann folgt d ie B erechnung der <7 - W erte. D ie

¿•o v -W erte lassen sich aus So z und <5' zu sam m ensetzen . D ie A b leitu n g erfolge für ein en b e lie b ig e n Knotenpunkt. Für Punkt 1 ist dann b — a.

(D ie Ai0 -F lü ch e erstreckt sich nur über den Untergurt. Im statisch b e ­ stim m ten H aup tsystcm mit durchschnittenem O bergurt treten bei horizontalem U ntergurt k e in e Norm alkräfte auf.)

Aus Bild 9 b u. c erhält man für die ¿'0 2 -W erte rechts vom Last- angriffspunkt: S0

angriffspunkt ist S0

r = f M o M z d s • ■ u ' b . Links vom Last-

• u' b .

¿ c

J l

Zur B estim m u ng der i 0y -W e r te wird das Trapez der M g -F lä ch e entsprechend Bild 9 d in ein R echteck und in ein verschränktes Trapez zerlegt. D as R echteck liefert k einen Beitrag zu Som it wird rechts vom Lastangriffspunkt ä0

a

° y links davon <?,

o y + { r u ' b und

ist. Wird Punkt 2 b elastet, so w ach sen d ie U nbekannten rechts vom Lastpunkt auf das D op p elte von denen für Last an Punkt 1. Links in den Feldern 1 und 2 sind sie das 6 fa ch e bzw. — 6 fa ch e der beim ersten Lastfall in den Feldern 1 und 2 vorhandenen U nbekannten usw.

B ei gleich en Feldern ist L— t i a oder

ö L n

Punkt 1 in den Feldern rechts vom Angriffspunkt: d o z = - +

und som it für Last an ' o z = - ~ r c u n d

j o y - ■ Un • | • Es bleib t So x ^ - v u So z - y • tg « So y .

E s m ögen z. B. die U nbekannten im äußersten rechten F eld 1 für Last an Punkt 1 bestim m t w erd en . Es ist dort:

UL 10

n

10

u 10,0

So z ~ — 1.25• 5 = — 6,25 ^ = + 1 , 2 5 - ß

■ = 1,250 c = 5 m a 10 m + 2,0833.

a- . tg « = — 0,85 m E ntsprechend w ie in F eld 1 ist a H = 4,87 m ,

SQX = + 4,87 • 6/25 + 0,85 • 2,0833 = + 32,208.

32,208 „ , 2,0833

10,01

Es w ird: X T = +

yr = +

- = — 0,2083.

= + 0,2081

u ' b . D ie /W..-Flächen sind Trapeze, d ie man

°> b l x

entsprechend Bild 9 f aus ein em Rechteck und ein em verschränkten Trapez T a b e lle 1

__ + 0,0880 3b6

_ 6,25_

1 ' 30,0

Zur Durchrechnung d e s ganzen Trägers benu tzt man naturgem äß T abellen.

D ie U nbekannten im linken F eld 1 sind ± 7 m a l so groß: X x == + 0,616, Z^ = — \ ,458, aber Yt = — 7 • 0,2081 = — 1,457.

ln der fo lg en d en T a b elle 1 sind d ie U nbekannten X , Y, Z d e s Ersatz­

sy stem s für d ie Lastangriffspunkte 1, 2 und 3 zu sa m m e n g este llt. Last an Punkt 4 w urde w e g g ela ssen .

F eld -ast an Punkt 1 I ast an Punkt 2 Last an Punkt 3

X Y Z X Y Z X Y Z

1 + 0,616 — 1,457 — 1,458 + 0,528 — 1,249 — 1,250 + 0,440 — 1,040 — 1,041

2 + 0,8365 + 0,1933 — 2 ,5149 + 1,174 — 1,160 — 3,482 + 0,978 — 0,966 — 2,902

3 + 0,6167 + 0,1886 — 2,0755 + 1,233 + 0,377 — 4,151 + 1,408 — 0,943 — 4,717

4 + 0,4735 + 0,1838 — 1,6544 + 0,947 + 0,368 — 3,309 + 1,420 + 0,551 — 4,963

4 + 0,3688 + 0,1838 — 1,2868 + 0,738 + 0,368 — 2,573 + 1,106 + 0,551 — 3,860

3 + 0,2817 + 0,1886 — 0,9434 + 0,563 + 0,377 — 1,887 + 0,845 + 0,566 — 2,830

2 + 0,1956 + 0,1933 — 0,5804 + 0,391 + 0,387 — 1,161 + 0,587 + 0,580 — 1,741

1 + 0,0880 + 0,2081 — 0,2083 + 0,176 + 0,416 — 0,417 + 0,264 + 0,624 — 0,625

zu sam m en setzen kann. D ie M x-F läch en lassen sich som it durch d ie M z - und h r„ — h l„

A fy-Flächen ausdrücken. Es ist M x = 0 1 .(6 ) w ar h ra = v a + ,r (tg y.- + tg «)

V „ M .

und

■ M y . Nach / /

also ist h ru - Mx = — v„ M 2

= 2 • y (tg y + tg «) = a (tg y - f tg «). Es wird '

, (tg tg x) ¡V/v . U nter B enutzun g d ie se s W ertes ergibt sich:

I M a M x d s - - J = — v a j M 0 M Z d s - - j — “ (tg y; + tg «) J M 0 My d s -

Y - ‘g “ V

Last an Punkt 1: Sg , = -

Last an Punkt 2: S „ , — -

- • h' a und So y --

t • « ' a -2 und Sg y ,

+ • u ,

+ • U'• 2 U S W .

6 /

Es ist nach den bish erigen Ausführungen z. B. im F eld 4 für Last an Punkt 1: K = + 0,1838, für Last an Punkt 3: K = 4 - 3 • 0,1838 = + 0,551.

Ich m ache noch w eiter darauf aufm erksam , daß bei dem hier vorliegen den sym m etrischen Träger für ein en Lastfall die Y rechts vom b ela steten K notenpunkt sym m etrisch zur M itte sind und die Z sich für gleich zur M itte lie g e n d e F eld er proportional c ergeben. A lso ist z. B. für Last an Punkt 1:

Z.T = — 0,9434 und Z3 - 0,9434 ■ s v = — 2,0755. 55 2.0

a ;

- V u So z ~ 2 (tgV' + ‘g “ ) ‘V

B eim v o rlieg en d en B eisp iel ist tg ^ = 0, also ¿'o x = — v u S02

H ierbei ist zu beachten, daß für d ie rechte Trägerhälfte t g a n egativ ist.

Für Last an Punkt 1 wird b — a. Für Last an Punkt 2 wird b — 2 a usw . Es ist also rechts vom Lastangriffspunkt für

f

ii

L

©

Ü

D as h eiß t bei g leich en Feldern sind d ie d^-Werte rechts vom Last­

angriffspunkt und dam it auch d ie statisch unbestim m ten Größen ein g a n zes V ielfach es derjen igen für Last an Punkt 1. (Bei u n gleich en Feldern

b \

w ach sen sie im V erh ältnis - - . J Es g en ü g t also, den ein en Fall, daß K notenpunkt 1 b ela stet ist, zu untersuchen und dafür die U nbekannten X , Y, Z nur in den F eldern 2 bis 1 (8) zu b estim m en . Aus Sym m etriegründen sind dann schon b ei d iesem Lastfall d ie U nbekannten X 1 und Zj d es F e ld e s 1 das + 7 fache derjen igen d e s F eld es 1 (8), w ährend Yx = — 7 KT

d J t

j£L

©

k

f - + 4 K M0 -Fläche Bild 10a bis d.

Es b leib en noch d ie L aststellungen an den Z w ischenknotenpunk ten zu untersuchen. W ie schon am Schluß von A bschnitt c erw ähnt, wird die im F eld angreifend e Last 1 auf d ie b eid en benachbarten K notenpunkte verteilt. Im v o rlieg en d en Fall w ürde also an jedem der beid en Knoten-