Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 12, Heft 12

DER STAHLBAU

9 3

S c h r i f t l e i t u n g :

Professor Sr.dgng. K. K l ö p p e l , Darmstadt, Technische Hochschule Fernsprecher: Darmstadt 7711, Apparat 599

Professor W. R e i n , Breslau, Technische Hochschule. — Fernsprecher: Breslau 421 61 Veröffentlichungsbeiträge an voranste hende Anschriften erbeten

B e i l a g e T A T T 7 T ) \ T Y T ^ T ~ 7 T T I V

T

^{T T ^} Fachschrift für das ge- r Z e i t s c h r i f t \ J \ 1 + Q f \ ( J X l A y I I 1 \ 1 l V samte Bauingenieurwesen

Preis des Jahrganges 10 RM und Postgeld

12. Ja h rg a n g B E R L IN , 9. J u n i 1939 Heft 12

Alle Rechte V o r b e h a l t e n .

Zur B erech n u n g des ein g e sp a n n ten v ersteiften S t a b b o g e n s 1).

Von P h il ip p S tein , Darmstadt.

W äh rend schon seit langem Arbeiten über den versteiften Zwei­

gelenkbogen bekannt si n d 2), wird der eingespannte versteifte Bogenträger erst in n euerer Zeit in der Literatur b e h a n d e l t3). In Anbetracht der Schwierigkeiten und des Umfangs der rein analytischen Berechnung werden die U nters uchungen ü ber den versteiften ein gespan nten Bogen bis auf eine A u s n a h m e 4) experimentell durchgeführt. Die Veröffent­

lichung von S c h u b e r t 4) erm unte rt nicht ge ra d e dazu, den rechnerischen W eg einzuschlagen.

Es lassen sich indessen durchaus analytische Verfahren mit wirtschaft­

lich vertretbarem Rechenaufwand an geb en . Für den versteiften ein­

g espannten Stab bogen mit gelenkig an Fahrbahn und Bogen angeschlossenen Stützen werd en eine ge n a u e Durchführung der Rechnung und zwei Annäherungsverfahren mitgeteilt. Die U nters uchungen bleiben im Bereich d er Theorie 1. Ordnung. Es wird somit die Gültigkeit des H oo k esch en G esetzes vorausgesetzt und der Einfluß der Systemverf orm ung ver­

nachlässigt.

G e n a u e r R e c h n u n g s g a n g .

Eine unmittelbare Ermittlung der

(n

+ 2) statisch unbestimmten Größen des System s in Bild 1 führt bei den verschiedenen Möglichkeiten

d er Wahl der U nbekannte n im mer auf ein zur Auflösung ungeeig netes Gleichungsschema [s. S c h u b e r t 4)]. Es ist vorteilhafter, die Untersuchung stufenweise durchzuführen, d. h. mit einem oder m ehrere n statisch un­

bestim mten H auptsyste m en zu arbeiten. Setzt man die Kämpfermomente des Bogens und die Horizontalkraft

H

am rechten Kämpfer gleich Null,

ar a,rf t

so ergibt sich ein

(/1

— l)-fach statisch unbestim m tes System (Bild 2), das als H auptsyste m für den Rechnungsgang angenom m en wird. Bei der Wahl der restlichen drei U nbekannte n des Systems wird d ie Sym m etrie ausgenutzt.

4) Vgl. Diss. d. Verf., Technische Hochschule Darmstadt.

2) M ü l l e r - B r e s l a u , Zivilingenieur 1883. — G o t t s c h a l k , Diss.

T. H. Berlin. — W a n k e , D er Eisenbau 1921. — S p i l k e r , Bauing. 1922.

— G r ü n i n g , Die Statik des eb enen Tragwerkes, S. 593. — G i r k m a n n , Stahlbau 1929.

3) J ä g e r , B. u. E. 1936. — S c h a e c h t e r l e , Bauing. 1938. — K l e t t und R i e t l i , B. u. E. 1938. — J ü n g l i n g , B. u. E. 1938. — W i l s o n , Bd. 5 der A bhandlungen der Intern. V ereinigung für Brückenbau und Hochbau 1937/38.

4) S c h u b e r t , Schweiz. Bauztg. 1936, Zuschrift S t ü s s i .

v \ _ o ^ n ^{v l} v l > v l

a 2 r ° —

Y l

—

Y l

v l _ 1 o n ^{v l _ v l v l}

A b — ² n a b

X }

= 771^.

Zur Berechnung des statisch unbestim mten Hau ptsystems w erd en als U nbekannte die M omente

Y{ ■— Yn _

j des Bogens eingeführt (Bild 3).

Die Momentenflächen für den Zustand /,. = — 1 [/• = 1

(n

— 1)],

Br-

Fläche im Balken und Kr -Fläche im Bogen, erstrecken sich nu r ü b er die beiden dem Stüt zp unkt

r

benachbarten Felder (Bild 4). Demnach ergibt sich für das H auptsystem ein dreigliedriges Gleichungssystem.

0 1 2 r n J n

Bogen

, ,

Y.-Fläche

Bild 4.

Yr = —

1.

Srt

^{r - 1 Y r _ ! +} r K , + s r , r + , K r + x . . [ r = 1 - (rr - 1)]

E J c * r ,r -

1 =

f Mr _ t M r ds' + - £ - [ N , _ 1 JVr ds"

e j

r

+ CF/FT j Q r - \ Q r d s " ’

E J c Sr r = J j V i 2r ds' + y - j Y ds" + ^ J

q

I ds"'

E J c är r + [ = I Mr

+ ,

Mr ds

+ —- /*Arr + j

Nr ds

J c J

e j

r

+ G ^ / O r + lQ rd s'".

Wird der Einfluß der Normal- un d Querkräfte vernachlässigt und das Trä gheitsm oment im Balken und Bogen fetdweise konstant an­

genomm en, so ergeben sich folgende Koeffizienten:

9 4 S t e i n , Zur Berechnung des einges pannten versteiften Stabbogens DER STAHLBAU

B e ila g e z u r Z e its c h rift » D ie B a u te c h n lk “

E J .

c r , r — \

E J J r

i K ' + V )

y ( a r + s r ) + 3

-(ar + \

₊

Sr+

l)

B dc^r,r +

1 — fi k + 1 Sr+ *)

1 - M « — 1)

J r, Balken r, Bogen

Zur Auflösung eines dreigliedrigen Schemas stehen gen ü g en d V er­

fahren zur Verfügung. Überwiegen, wie in unserem Schema, die Glieder in der Hauptdiagonale, so treten bei der Auflösung keine rechnungs­

mäßigen Schwierigkeiten auf. Es sei nur erwähnt, daß sich das G außsche Eliminationsverfahren gut zur Auflösung eines dreigliedrigen Schemas eignet. Es sind dabei nur neue Werte für die Glieder der H aupt­

diagonalen zu berechnen.

Das Gleichungssystem läßt sich noch vereinfachen, wenn folgende An­

nahm en gem acht werden, die für die ausgeführten S ystem e meist zutreffen:

Das Trägheitsmom ent

J

des Balkens ist konstant. Für das Bogen­

trägheitsm om en t

Jr

im Feld

r

gilt:

J r = -

sec <

J.

E J .c r, r — 1 - (1 -f- a ) a = "g-(1 +

« )a

r , r + l g Die /•-Elastizitätsgleichung lautet nun:

-i + 4 K r + y r + I (1 + «)

a.

y.

k Z ,

k = y.

i z.

1 + «

Jc

== Balkenträgheitsm oment

J.

Das Schema der Elastizitätsgleichungen kann aufgefaßt w erden als eine inhom ogene Differenzengleichung II. O rd n u n g mit konstanten Koeffizienten.

Die Integration d e r Differenzengleichung liefert eine geschlossene Lösung für die Unbekannte n K1 ^ - K n _ 1 des unbestim mten Hauptsystems.

Setzt man' voraus, daß eine beliebige, lotrechte Belastung nur in den Stü tzpunkten des Balkens angreift, so verläuft die ß 0-Fläche zwischen den Stü tzpunkten geradlinig. Das Belastungsglied erscheint dann in der allgemeinen Form

E J c Z r - a

angeben:

Yr

= fe ß_{r, o '}

Die Randbedingungen für

Yr

und

Br 0

entsprechen sich:

für

r ■

für /• =

:

o

wird

Y„

:

n

wird

Y„

— 0 und und

B o,o =

0.

B n , 0

= °-

0 n~1

A

^Bogen Ya - Fläche

A

Bild 5. X \ = — 1.

Im Gleichungsschema für die

Ya

0 -F läche sind nur die Werte Z t und Z n _ , von Null verschieden. Das Schema kann aufgefaßt werden als eine hom ogene Differenzengleichung II. O rd nung mit den virtuellen Randbedingungen:

K * = - Z , und

Yn = -

_{~‘tl —1 *}

Die allgem ei ne Lösung der hom ogenen Differenzengleichung lautet:

Y r = C j a \ + C 2 a 2 -

a , 2 sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung

a2

+ 4

a

+ 1 = 0 .

Durch Einsetzen der Randbedingungen erhält man

(4 — !) — «a K - 1)} r = 1 -H (b - 1).

a \ a 2

Die Unbekannte n

Y\

im Zustand

X^

= - 1 ergeben sich dam it zu

Y lr; a = - k + - A Ä -

[flj (a » _ i) _

a§

(fl- _ l)] r = ! -H (« - !).

n-1 n

r ~s rpr.

s

— Scheitelträgheitsm oment des Bogens.,

Weiterhin wird konstante Feldw eite

a

angenom m en und voraus­

gesetzt, daß die Knickpunkte des Stabbogens auf einer Parabel 2. Ordnung liegen. Die Koeffizienten der r-Elastizitätsgleichung ergeben sich zu:

1 . . „ . „ 4

Bogen Yb 0~Fläche

Bild 6.

Y \ = —

1.

A

* < ]

= — 1 Auf gleiche Weise w erden die

Yr

- Werte für den Zustand

X b -

(Bild 6) gefunden:

Y\ . b = k B b, o

+

^{— ¡T}

k (4 + ]) ~

^•

4 (4 + 0] /•=!=(«— 1).

a\ a2

Die Mom entenfläche im Zustand

X xc =

— 1 erstreckt sich im G ru nd­

system nur über den Balken (Bild 7). Die Lösung ergibt sich sofort zu

Y \ . c = k y r-

0 1 Z r n .-1 n

6 {B r - l , o + 4 B r. o + B r + \, o) • ■ ■ r = \ A - ( n — \).

Es läßt sich sofort ein partikuläres Integral der Differenzengleichung y r _ ! + 4

Yr + Y

r + , =

k [Br

_ lt 0 + 4

Bn 0

+

B r

+

ii0)

Somit ist die angegebene partikuläre Lösung zugleich die vollständige der Differenzengleichung für äußere Belastung. Die Differenzengleichung muß noch für die virtuellen Lastfälle

X^

= — 1, W] = — 1 und

x \

= — 1 integriert werden.

In Bild 5 ist die iMomentenfläche für den Zustand

X^ =

— 1 am G ru nd­

system angegeben. Der Einfluß derM om ente nflä che des Balkens u nd Bogens wird zw eckmäßig g etrennt verfolgt. Infolge d e r ß c 0-Fläche ergibt sich sofort:

4 = - A [r = 1 -7- (« — 1)].

1 und

X,

1 liefern symmetrische Die Zustände

X

^ =

Momentenflächen.

Die

M \

-Fläche ist antisymmetrisch.

4 , b = 4. a = $

4 , c = 4 , b =

o.

Die U nbekannte

Xj,

ergibt sich unmittelbar. Für

X^

und

X^

erhält man zwei Gleichungen mit zwei U nbekannten.

*1 X i

1. 4 c ⁱⁱ

2. 4 1 4 c - 4

X.

_{b°b b '}^{I U}

Durch A nw endung des Reduktionssatzes vereinfacht sich die Er­

mittlung der ft-W erte

E J A k d s' = f M i Mk ds'-

Aus den Unb ekannte n ergeben sich schließlich durch Superposition die M om ente im Balken und Bogen

Y, = Y l V 1 r r. a A aX 1 r, b x l - x Y l - x l

J a h rg a n g 12 H e ft 12

9 . J u n i 1939 S t e i n , Zur Berechnung des eingespannten versteiften Stabbogens 9 5

Bei gleichförmiger Belastung (Lasten in den Stützpunkten) ent­

stehen keine Momente. Zur Ermitt­

lung von Einflußlinien werd en zw eck­

mäßig die Lastfälle

P —

1 in 1

~

~~

untersucht. Zur Berechnung der Be­

lastungsglieder ist es vorteilhaft, die Momentenfläche aus äuß ere r Be­

lastung am unbestim mten H aupt­

system zu neh men .

T a fe l 1.

ik

^-Tafel.

E J c Z t

S M a M c d s ‘ F-Jc Z \ = J ń i b M g d s ' E J C z ]

—f M c M.\

ds'.

Für eine Feld teilung n = 1 0 wurd en die Lastfälle

P =

1 in 1 -4- 5

untersucht und die Bogen- und Balken m omen te für die Verhältnisse

« = 0,1; 0,2 . . . 0,9; 1; 2 ; 3 . . . 9; 10 zahlenmäßig für eine beliebige Feld w eite

a

b e r e c h n e t5), ln Bild 8 ist die Momentenfläche im Balken

4 B [ 4 B \ B \ 4 4 4 4

1. + 0,931 + 0,078 __ 0,137 — 0,047 + 0,015 + 0,049 + 0,055 + 0,032 __ 0,018 = 4 2. + 0,078 + 1,124 + 0,168 — 0,125 — 0,088 — 0,053 — 0,022 + 0,007 + 0,032 = 4 3. — 0,137 + 0,168 + 1,154 4- 0,156 — 0,161 — 0,130 — 0,083 — 0,022 + 0,055 = 4 4. — 0,047 — 0,125 + 0,156 + 1,129 + 0,128 — 0,180 — 0,130 — 0,053 + 0,049 = 4 5. + 0,015 — 0,088 — 0,161 + 0,128 + 1,113 + 0,128 — 0,161 — 0,088 + 0,015 = 4 6. + 0,049 — 0,053 — 0,130 — 0,180 + 0,128 + 1,129 + 0,156 — 0,125 — 0,047 = 4 7. + 0,055 — 0,022 — 0,083 — 0,130 — 0,161 + 0,156 + 1,154 + 0,168 — 0,137 — 7 1— 8. + 0,032 . + 0,007 — 0,022 — 0,053 — 0,088 — 0,125 + 0,168 + 1,124 + 0,078 — 7 1— z,8 9. — 0,018 + 0,032 + 0,055 + 0,049 + 0,015 — 0,047 — 0,137 + 0,078 + 0,931 — 7 1—

ö f 0,237 Yr~F/öche des unverstèiftèn Bogen Bn~ "

'1/

Ys-0,Väd

— Yr - »

Bild 8.

und Bogen im Lastfall

P =

1 in 5 für « = 1 angegeben. Die Ergebnisse der Rechnung zeigen, daß sich im allgem einen die Mom ente des un- versteiften, eingespannten Stabbogens etwa im Verhältnis « auf Balken und Bogen verteilen. Dies gilt aber nu r für den mittleren Bereich des Systems. Am Kämpfer bis ungefähr zum V iertelpunkt wird diese Ver­

teilung durch die Verringerung des Einspannmom ents gestört. Die Balken m omen te weichen erheblich in ihrem Verlauf von den Werten des durchlaufenden Balkens auf starren Stützen ab. Sie w erden vor­

w ie gend durch den Einfluß des Bogens bestimmt.

A n n ä h e r u n g s v e r fa h r e n .

Es erweist sich als zweckmäßig, für die Annäherungsverfahren ein andere s H auptsyste m der Berechnung zugru nde zu legen. Als dreifach statisch unbestim mtes H auptsys tem wird der eingespanntc Bogen gewählt.

Die Balkenm omente

B\

^{- 4 -}

B xn

(Bild 9) w erd en als statisch unbestimmte

Größen in die Rechnung eingeführt. Der versteifte Stabbogen wird demnach als Balken auf elastisch senkbar en Stützen aufgefaßt, dere n Nachgiebig­

keit nicht von der Elastizität der Stütze allein abhängt. Im Gleichungs­

system für die unbekannte n Balkenm om ente verschwindet kein einziger J* ¿-W ert. Jedoch überw iegen die Koeffizienten in der Hauptdiagonale bei weitem. N äherungsw eise Lösungen der Elastizitätsgleichungen w erden im allgem einen daher gut konvergieren. Zur Ermittlung der

d

\ k -Werte

des Gleichungsschemas berechnet man zweckmäßig die Biegelinien im Hauptsystem f ü r P = l in 1 - 4 - - ^ - * Diese Werte w erden auch später w ie der bei der H erleitung von Einflußlinien gebraucht. In Tafel 1 ist das Koeffizientenschema der Elastizitätsgleichungcn zahlenm äßig für ein System mit

n

+ 1 == 10 und

oc=

1 angegeben.

Die Annäherungsverfahren verw enden den Matrizenkalk ül6).

E r s t e s A n n ä h e r u n g s v e r f a h r e n .

Die folgende Met hode g e h t von dem „norm ie rte n“ Gleichungssystem aus. Je d e Zeile des Schemas wird durch den ¿ ]&- W e r t d e r Hauptdiagonale dividiert, so daß alle Glieder der Hauptdiagona le den Wert Eins haben.

Ein solches Schema heißt normiert. Das System der

n -

Elastizitäts­

gleichungen lautet in Matrizenschreibweise

\n , n)

V(n, l) = }(„, i>-

A(H,

lt) —

Koeffizientenmatrix der Elastizitätsgleichungen vom Typus (

n

,

n)

(normiert),

t)(n, ]) = „V ek to r“ aus den

X i

^{- 4 -}

X n =

( ß j

B

^ - W e r t e n

= Matrix vom Typus (

n

, 1),

fy, j) = Vektor aus den Belastungsgliedern

z \

-4-

Z ln.

A n , n) —

n, 1 Die Lösung des Gleichungssystems ist

9(n, 1) — A n , n) kn, 1)'

Dabei ist A _1 die reziproke Matrix von

A.

Die Koeffizienten von

A~

1 bestehen aus den Ele m ente n der reziproken D ete rm in ante von

A.

Diese Lösungsform b e d e u te t zunächst w eiter nichts als die Darstellung der b e ­ kannten ^ ¿ - T a f e l in Matrizenschreibweise.

Die Matrix

A

wird nun zerlegt in

X i 4 ,2 4 ,3 ■ • 4 , fl *1 4

4 , i 4 ,2 4 ,3 • ■ 4 , n * 2 4

• . \ n , 1) —

. 5(n, l) — •

4 . 1 4 , 2 4 , 3 ’ • • 4 , fl n, n n, 1 4

'(n. «) '

E (.n ,n )~ B (.n, n) : 1 0 • • . o' 0 1 • • • 0

B(n,n) 0 . . . .1 n, n

0 1,2 ^•0,3

— S,

_2,1

® 4,3

fl, 2 ' ««n, 3 a, n Die Lösung für 1; lautet

D =

E — B

Den Faktor — g - kann man als Sum m e einer geometrischen Reihe 1 auffassen:

1

E —B = E + B - r B 2 + B ? + - - - + B n +

• Die Lösung von i; ist damit in eine Matrizenreihe entwickelt:

■ ) ; . Voraussetzung: l i m ß ,1 = 0 . i

) = (E + B + B 2 + B3 +

5) Die Zahlenw erte sind in der Dissertation des Verfassers angegeben.

Die Potenzen von

B

w erden nach der Multiplikationsregel für Matrizen berechnet. Nach ihr wird je de Zeile der ersten Matrix mit jed er Spalte

6) Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß Prof. W e g n e r , H eid elb erg (früher Darmstadt), in einem Werk über die mathematischen M ethoden zur Lösung linearer Pro blem e der Baustatik, insbesondere von Elastizitätsgleichungen, das dem näc hst im Verlag Springer erscheinen wird, u. a. das Rechnen mit Matrizen behandelt,

9 6 S t e i n , Zur Berechnung des eingespannten versteiften Stabbogens DER STAHLBAU

Beilage zur Zeitschrift .D ie Bnulechnlk*

der zw eite n Matrix multipliziert. Die Addition der Potenzen von ß er­

folgt so, daß man die entsprechenden E le m ente addiert. Ehe man mit der praktischen Berechnung von

A~

1 durch Entwicklung in die ¿¡-Reihe beginnt, ist es wichtig zu wissen, ob die Entwicklung überhaupt konvergiert.

Zur U nte rs uchung der Konvergenz wird die Reihe zu einer N e u m a n n sehen Reihe erweitert und festgestellt, ob die vorliegende Reihe im Konvergenz­

bereich der N -R e ih e liegt. Die N eu nia nnsche Reihe lautet:

(;.

E

-

B)~

1 = -- 7

l -

-B 1 - = 4 +

B

¿2 + B

2 k3

⁺ i (E — T

¿-— unabhängig Veränderliche. Für

k =

1 erhält man die ¿¡-Reihe.

Die N -R e ih e konvergiert nun für alle /- W e rt e größer als der größte absolute Betrag der Wurzeln der Frequenzgleichung

\k E — B =

0 | .

Diese Gleichung besagt: Das Koeffizientenschema der Matrix (it

E

—

B)n

wird als Schema einer D eterm inante n t e n G rades aufgefaßt und gleich Null gesetzt. Die Frequenzgleichung liefert ein Polynom rcten Grades in

k.

Ist der absolut größte Betrag der Wurzeln des Polynoms, | ¿max ], kleiner als Eins, so ist die Reihenentwicklung von A - 1 konvergent.

Die Ermittlung der

n

-Wurzeln der Frequen zg leichung ist im all­

gem einen schwierig. Es interessiert jedoch nur | Zmax j . F ür die größte Wurzel eines Polynom s stehen Abschätzungen zur Verfügung.

Abschätzung für ¿m3X nach Prof. W e g n e r :

K: l ^ m a x v f l i . j | + (.2 ⁺ i = 1 n

Die (¡¿¿-Werte der Abschätzungsformel beziehen sich auf die Matrix ¿¡.

Z a h l e n b e i s p i e l .

Das Gleichungsschema für das versteifte Bogensystem mit

n —

9 und « = 1 ist in Tafel 1 wiedergegeben. Die Matrix wird zunächst normiert und daraufhin zerlegt in A =

E

—

B.

Zur K onvergenzunter suchung ermittelt man die größte Zeilensumm e der Matrix

B

max v [ p . , ! + . . . + 1 ^ | ] = 0,789.

T a f e l 2. « =

a.

p>\

B \ B \

1 . N äherung . . . 2 . „ . . . 3 ...

G enauer Wert . .

— 0,0151

— 0,0145

— 0,0144

— 0,0144

— 0,1206

— 0,1149

— 0,1172

— 0,1169

— 0,0867

— 0,0809

— 0,0823

— 0,0817

+ 0,0352 + 0,0303 + 0,0312 + 0,0306

+ 0,2421 + 0,2335 + 0,2371 + 0,2365

: [(£

+ B ) + B* +

ß 3] ä

Lösung für den Lastvektor

P

hinzuzufügen. Diese V erbesserung pt wird aber nur angenähert bestim m t aus

Vi =

Es bleibt wieder ein Belastungsrest ä^2) beim Einsetzen der V erbesserung pt übrig, für den eine w eitere V erb esserung p2 bestim m t w erden kann usw.

Das H ertw ig sche Verfahren g e h t also nach folgendem Schema vor sich:

G egeben in A p = j ist

A

und 3, gesu cht p.

Zerlegung:

A

=

B

+

C. ß

~ 1 wird berechnet.

l)o"

9i =

% = :

B ~ l

3

: B ~

1 3(»

:

B

₃⁽²⁾

3(1>

3(2) = ,P) =

= 3 ~

Ar)o

■ ■ P - A i h

■ P - A ^ Die Lösung ist

9 = 9o + 9r + 9a + ■ • • •

Zur K onvergenzuntersuchung w erden die W erte für die Verbesser ungen von p in die Gleichung für p eingesetzt und man erhält die Matrizen­

reihe

9 = ,Z J

1 (E

+

M

+

M* + M 3

+ _■)!

A ß ~ V n ).

Die Konvergenz kann nun wie beim ersten Annäherungsverfahren festgestellt w erd en durch Erweiterung der/Vf-Reihe in eine N eunia nnsche Reihe. Demnach ist die H ertw ig sche Entwicklung konvergent, wenn der absolut größte W ert der Wurzeln der Frequen zgleich ung |

k E

—

M \

= 0 kleiner als 1 ist. j

k^ax

| wird zweckmäßig w ie der abgeschätzt.

Sind die Matrizen

B

und

C

symmetrisch, so läßt sich noch eine zweite K onvergenzbedingung herleiten für die M-Reihe:

■ I 1 m ax 1

kc

I < r I - 1 Am ln j •

kB

!

In Worten: der absolut größte Betrag der Wurzeln der Frequenz- gleichung

\ k E

— C | = 0 muß kleiner sein als der absolut kleinste Betrag der Wurzeln der Gleichung |

k E

—

B

| = 0.

7 "'

• iS gibt Prof. W egner folgende Formel an

Zur Abschätzung von

\

¿ ^ in | k_{m in} | ^ min [

* u \

Aus der Abschätzungsformel ergibt sich damit, daß j ¿max j kleiner als Eins ist. Die Reihenentwicklung von A - 1 ist also konvergent. In Tafel 2 sind für den Lastfall

P —

1 in 5 die Werte der Unbekannte n ¿¡’( -f- ß ^ an­

gegeben, die man aus der ersten bis dritten A nnäheru ng von A—1 erhält.

Erste A nnäheru ng von

A~

1 und 1):

A - ' = (E + ß) + B*

p = [(ß + ß ) + ß 2] 3 Zweite A nnäheru ng von

A~

1 und p:

A~

' = (£■ +

B) +

ß 2 +

B 3

Dritte A nnäheru ng von

A~

1 und p:

A~

1 =

(E

+

B)

-(- ß 2

+ B 3 + B* = [(E + B) + B* + B3 + B

4] 3.

Es genügen schon die Werte der zweiten Annäherung.

Z w e i t e s A n n ä h e r u n g s v e r f a h r e n .

Die näherungsweise Ermittlung der reziproken Matrix A“ 1 ist dann vorteilhaft, wenn eine Reihe von Lastfällen zu untersuchen ist. Zur Be­

handlu ng eines einzelnen Lastfalles eignet sich die folgende Methode besser. Die U nbekannte n w erden nach dem H e r t w i g s c h e n V erfahren7) ermittelt. Durch A nw endung des Matrizenkalküls kann die Darstellung der Met hode sehr vereinfacht und die Konvergenz der A nnäheru ng unte r­

sucht w e r d e n 8). Hertwig zerlegt das g eg eb en e Schema A d e r Elastizitäts­

gleichungen in

^(n. n) 9(rt, 1) = “I" ^)(n, n) 9(n, 1) = 3(n. 1)-

Die Matrix

B

wird so gew äh lt, daß die reziproke Matrix

B

~ 1 leicht zu bere chnen ist. Wird zunächst einmal der Anteil von

C^n n)

an der Matrix A vernachlässigt, so erhält man einen angen äh erten Wert der Un­

bekannte n:

9o = ß 1 3-

Wird die Lösung p0 in die Gleichung A p = j an Stelle von p ein­

gesetzt, so erhält man einen Vektor 3', der von dem g e g e b e n e n wirklichen Belastungsvektor 3 um 3' 1' abweicht. Der Wert p0 ist die g enaue Lösung der Gleichung für den Lastvektor 3'. Es ist also zur Lösung p0 noch die

7) H e r t w i g , Festschrift Müller-Breslau.

s) W i t t m e y e r , Z. ang. Math. 1936, Diss. 1934, T. H. Darmstadt,

+

a u ß er J (- /

• • • +IM)] = °-

Die zweite Konverg en zb ed in gung hat den Vorzug, daß man schnell feststellen kann, wie man den Ansatz A = ß +

C

wählen muß, dam it die H ertw ig sche Entwicklung konvergiert. Es ist auf diese Weise möglich, die Leistungsfähigkeit des H ertw igschen Verfahrens ganz auszunutzen.

Z a h l e n b e i s p i e l : Es wird w ieder das obige Beispiel behandelt.

Matrix A s. Tafel 1.

1. ß wird so gewählt, daß die Matrix ß nur die (¡¿¿.-Werte der Haupt- und der beid en Neben diagonalen von A enthält. Zur U nte r­

su chung der Konvergenz der H ertw ig schen Entwicklung w erd en die Werte [ ¿ ^ a x j und j ¿,„ln ! nach den angegebenen Formeln abgeschätzt.

Es ergibt sich

c I max 1

;S I

min 1

; 0,588

■0,831.

erfüllt

Die Konverg enzbedin gung ist erfüllt und die Berechnung der Werte p0, pl . . . g e h t nach dem ang eg eb en en Schema vor sich, nach­

dem zuvor die reziproke Matrix

B

~ 1 auf irgendeine Weise ermittelt wurde. (Auflösung eines dreigliedrigen Schemas.)

In Tafel 3 sind die p-Werte aus der ersten bis dritten Annäheru ng angegeben.

T a fe l 3. « =

a.

B\ B \ B \

*4

B \

1. N äheru ng . . . 2...

3 ...

G e n a u ...

— 0,0170

— 0,0138

— 0,0145

— 0,0144

— 0,1117

— 0,1177

— 0,1166

— 0,1169

— 0,0762

— 0,0831

— 0,0813

— 0,0817

+ 0,0285 + 0,0317 + 0,0305 + 0,0306

4- 0,2258 + 0,2388 + 0,2360 + 0,2365 1. N äheru ng p = p0

+

Pi

2. N äherung p = p0 +

V)L

+ p, 3. N äheru ng p = p„ + p, + p_, + p3.

Die dritte A nnäheru ng g e n ü g t schon vollauf.

2. Es wird das H ertw ig sche Verfahren noch für eine zw eite Wahl von ß durchgeführt.

ß b esteh t jetzt nur aus den Koeffizienten der Hauptdiagonale.

Auch für diesen Ansatz fällt die Kon vergen zu ntersu ch ung positiv aus.

: 0,911 kc_{max j}

| ¿ « m | > 0 , 9 3 1 .

ß —1 ist einfach zu bilden. Die reziproke Matrix von ß b esteh t nur aus den reziproken Koeffizienten der H auptdiagonale von ß . Die Werte von p in d e r 1, bis 3. A nnäheru ng sind in Tafel 4 w ie dergegeben

J a h r g a n g 12 lie f t 12

9. J u n i 1939 S t e i n , Zur Berechnung des eingespannten versteiften Stabbogens. 9 7

T afel 4.

^2

4 B \

4

1. N äheru ng . . . 2 ...

3 ...

G e n a u ...

— 0,0146

— 0,0151

— 0,0145

— 0,0144

— 0,1013

— 0,1206

— 0,1150

— 0,1169

— 0,0742

— 0,0867

— 0,0809

— 0,0817

+

0,0265 + 0,0352 + 0,0303 + 0,0306

-1- 0,2104 + 0,2421 + 0,2335 + 0,2365 Sie sind kaum ungünstiger als die Werte der ersten Rechnung.

Z u s a m m e n f a s s u n g .

Zur Berechnung des versteiften eingespannten Stabbogens mit g e ­ lenkig angeschlossenen Stützen werd en rein analytische Verfahren an­

gegeben, die sich mit wirtschaftlichem Rechenaufwand durchführen

lassen. Die Methoden bleiben innerhalb der Theorie I. Ordnung und benutz en die Kraftmethode. Ein g e n a u e r Rechnungsgang g e h t von einem unbestim mten Hauptsystem aus, das unte r gew issen Annahmen mit einer Differenzengleichung II. O rd nung untersucht w erd en kann. Zur angeniiherten Berechnung des Systems sind zwei Verfahren im Matrizen­

kalkül angegeben.

Es bleibt noch die Frage offen, welchen Einfluß der oft ausgeführte biegungsfeste Anschluß der Stützen an Fahrbahn und Bogen auf das System ausiibt. G eht man von dem versteiften Stabbogen mit gelenkig angeschlossenen Stützen als statisch unbestim mtem H auptsystem aus, so wird sich auch dieser Einfluß analytisch mit erträglichem Rechenaufwand verfolgen lassen. Zu klären wäre u. a. auch noch die Frage, ob die Vernachlässigung der Normalkräfte bei der U ntersuchung des ein­

gespannten, versteiften Stabbogens berechtigt ist.

Alle R ech te V o rb e h a lte n .

B ie g e v e r s u c h e mit z w e i g ro ß e n , g e s c h w e iß t e n V o llw and trägern aus St 52.')

(Mitteilung aus dem Staatlichen M aterialprüfungsamt Berlin-Dahlem.) Von Dipl.-Ing. K u r t A lb e rs , Berlin-Dahlem.

Auf A nordnung des Herrn G eheim rats Professor Dr. S c h a p e r wurde die ge sc hw eiß te Eisenbahnbrücke aus St 52 in km 97,067 der Strecke M ünchen— Garmisch ausg ebaut. Die Brücke befand sich mehr ere Jahre im Betrieb. Schäden waren nicht fes tgestellt worden.

Einer der Haupttrüger w urde zu Versuchen v erw endet. Biegeversuche mit Trägern so großer A b m essungen sind bisher noch nicht ausgeführt worden, so daß die Ergebnisse dieser Versuche im Hinblick auf die zur Zelt vielfach erörterten Fragen ü b e r das Schweißen von Brücken aus St 52 mittetlensw ert sind.

1. V o r g e s c h i c h t e u n d H e r s t e l l u n g d e r V e r s u c h s t r ä g e r . Die 24 m weit gestütz ten Hauptträger w u rd en von G g. N o e l l

&

C o., Würzburg, hergestellt'. D ieT räger bestanden aus Gurtplatten £ = ^ 440X 60 nun und ein em Stegblech 1740 X 16 mm. Die etwa in den Drittelpunkten lieg enden Stegblechstöße w are n genietet. Die Gurtplatten stöße waren um ungefähr 2,50 m gegen die Stegblechstöße versetz t und un te r 4 5 ° stumpf geschweißt. Die H alsnähte bestanden au s 7 mm dicken Kehl- nähten; das Stegblech w ar nicht zugeschärft w orden.

Die Gurtp lattenstöße u nd H alsnähte wurden mit Elektroden Kjcllberg St 52a, 4 und 5 mm Durchm. in der Werksta tt geschweißt. Die Aus­

steifungen w are n mit Plättchen vor dem Schweißen der K ehln ähte ein­

gepaßt worden.

Die Versuchseinrichtung gestattete eine grö ßte Stützweite von 6800 mm.

Aus einem Hauptträger w urden zwei Versuchsträger und ein Hilfsträger hergestellt. Ein Reststück w urd e zerlegt, um die Schrum pfspannungen zu ermitteln.

Da die Träger im Zuggurt zu Bruch gehen sollten, mußten die U nte r­

gurtplatten im Bereich der größten M om ente von 440 auf 200 mm Breite verschmälert werd en. Dies war für eine ausr eich en de Knicksicherheit des O bergurts un d Beulslcherheit des Stegblechs erforderlich. Das Ste g­

blech war w egen der starken V erg rö ßeru ng des V erhältnisses von Q u er­

kraft zu M om ent durch die geringere Stü tzweite be so nders gefährdet.

Beim Versuchsträger 2 mußte die Kehlu ng außermittig angeord net werden, da steh in der Nähe der Trägermitte Bohrungen von einem W in d v erb an d ­ anschluß befanden, die mit der K ehlung nicht zusam men fallen durften (Bild 1). In der Mitte des Versuchsträgers 1 befand sich ein Gurtplattenstoß.

Nach dem ersten Versuch wurd en der Träger 2 und der Hilfsträger noch zusätzlich ausgestellt. Die Aussteifungen c=: 1 8 0 X 1 3 verliefen in Richtung der D ruckdiagonalen der einzelnen Felder.

Die Herrichtung der Versuchsträger führte die Firma H e i n , L e h m a n n

&

C o ., Berlin-T em pelhof, nach Anweisu ng des Staatlichen Material­

prüfungsamtes Berlin-Dahlem aus.

2. A n a ly s e , H ä r te .

Die Querschnittsan alyse der Gurtp latte ergab folgen de Z usam m en­

se tzung:

C äs 0 ,1 5 % S i » l , 0 % M n s s 0 , 8 % Cu » 0 , 3 % P = 0 ,0 4 0 % = 0,0 39% .

In der Halsn ah t w u rd en C = 0 ,1 0 % und N — 0 ,0 3 2 % ge fu nden.

Die Analyse des Stegblechs ergab:

C = 0 ,2 0 % Sl » 0,31 % Mn » 0 , 8 1 % P = 0 ,0 4 1 % S = 0,0 2 2 % Cu « 0 , 5 0 % Cr » 0 , 6 0 % .

Z a h l e n t a f e l 1.

' Mittlere*)! Größte

Vickershärte Grundwerkstoff Gurtp latte . . . . 200

Übergangszone G urtplatte . . . . 260 302 S c h w e i ß e ... 230 267 Ü berg an gszone Stegblech . . . . 350 376 G rundwerkstoff Stegblech . . . . 210 —

!) Die Erg ebnisse w u rd e n auf der Tagung des D e u t s c h e n A u s ­ s c h u s s e s f ü r S t a h l b a u am 10. 2. 1939 mitgeteilt.

Schnitt a-b

m

*) Mittel aus acht Werten.

An zw ei Q uers chnitten w urd e die Aufhärtung gem essen (Bild 2, Zahlcntafel 1). Die Härtespitzen lagen in den Ü berg angszonen der G urt­

platte u nd des Stegblechs. Überraschend ist die wesentlich stärkere Aufhärtung des nur 16 mm dicken Stegblechs (376 Vickershärte) g egenüber der Aufhärtung der Gurtplatten (302 Vickershärte). Für eine M ehrla gensc hw eiß ung sind die Härten seh r hoch. Dies Ergebnis zeigt deutlich den b e d e u te n d e n Einfluß der Werkstoffeigenschaften. Der Werkstoff des Stegblechs muß eine wesentlich größere Neigung zum Aufhärten be-

■Kerńźone

Jhmbxme

i

A ł 1

/Y. ! ^j\\

A _j f * rcr , \ \

¿ Ji t

\ i

vl L

sitzen als Gurtes.

der des

i s r riAm^ ' s ~ pd- m

Bild 1. Versuchsanordnung. Bild 2. Härten in der Halsnahtzone.

3. S c h r u m p f ­ s p a n n u n g s ­ m e s s u n g e n .

Bei der V er­

sc hm äle rung eines Teils der G urtplatten war mit einer Verrin­

g erung derSchrumpf- zugspannungen In der H alsnahtzone zu rechnen. Durch Setz ­ d ehnung sm essu n g en mitlOOmmMeßlänge vo r un d nach dem

9 8 A l b e r s , Biegeversuche mit zwei großen, geschweißten Vollwandträgern aus St 52 Beilage iur Zeitschrift .Die Bautechnik'

Abarbeiten wurde die V erm inde­

rung der Längsschrumpfspannun­

gen ermittelt. Wie aus Bild 3 zu ers ehen ist, haben sich die Spannungen in der Halsnahtzonc des Trägers 1 um etwa 800 bis 1050 kg/cm 2 und des Trägers 2 um etwa 500 bis 940 kg/cm2 verm indert.

Belm Zerlegen eines Reststücks des H au ptträg ers wurd en über den ganzen Querschnitt verteilt die Längsschr umpfs pannungen g e ­

m essen (Bild 3). In den Halsnahtzonen ergaben sich örtlich begrenzte Schrum pfspannungen in der G rößenord nung der Streckgrenze. Da die herau sgesch nittenen Streifen von 1 cm Dicke und 2 cm Breite bei den örtlich begrenzten Spannungss pitzen Immerhin nur M ittelwerte der Schrumpf-

Z a h l e n t a f e l 2.

lx

■

Wu

^{j m ax Al*)}

Rechnerische, mittlere*) G urtspannungen

c m 4 c m 3 c m 3 k f j c m

0

k g / c m 2

11

k g / c m 2

H i l f s t r ä g e r ... 4 9 8 0 0 0 0 5 3 6 0 0 = ^{n z 0} 1 5 8

P

- 2 , 8 5 - I 0 ~ 3 P + 2 , 8 5 - 1 0 - 3 P

V ersuchsträger in

geschwächtem Querschnitt 3 5 5 5 0 0 0 4 8 5 0 . 0 3 1 6 0 0 1 4 2 , 5

P

^— 2 , 8 2 .10“ 3 P ⁺ 4 , 3 9 • 1 0 ~ 3 P

*) P = G esa mtla st in kg.

tJSJO

Itmol

Schrumpfspannungen in kg/cm! durch Setzdehnungsmessungen beim Zerlegen

ermif/ell

tJIZO

ff M b/

1-1165)

fJSSO

— o

Schnitt f

— o

Schnitt e( )

Die beim Auskehlen abgebauten Schrumpfspannungen in kg/cm!

Versuch Z

(fJ050)

tJUO

'1050

150

1060 550

Bild 3. Schrumpfspannungen.

Einzellasten mit 1100 mm Abstand belastet. Zur Druckverteilung waren an den Lastangriffstellen Platten von 400 X 420 X 30 mm aufgeschweißt worden.

Die D urchbiegung w urd e am Unte rg urt mit Leuner-Uhren, die an einem Balken befestigt waren, gem essen. An den G urten wurd en die

Spannungen ü b er diese Breiten ergeben haben, ist es nicht ausgeschlossen, daß die Spannungen in den gehärtete n Zonen noch wesentlich höher lagen. Diese V erm u tu n g w urd e schon verschiedentlich ausgesprochen.

Diese gem es senen Spannungen liefern einen sicheren Beweis, daß nach längerer Betrieb sd auer noch erhebliche Schrumpfspannungen vorhanden sind.

Im ausgekehlte n Teil des Unterg urts war nach den M eßergebniss en in den H alsnahtzonen mit einer noch vorhandenen Längsschrumpfspannung von rd. 3 5 0 0 — 1000 = 2500 kg/cm 2 zu rechnen.

Die Frage des Einflusses der Schrum pfspannungsverminderung auf das Ergebnis der Biegever suche wird später erörtert werden.

4. V e r s u c h s a n o r d n u n g (Bild 1, 4 u. 5).

Die Träger wurden in der 3000 t-Maschine des D eutsch en Stahlbau- V erbandes auf dem G elä nde des Staatlichen Materialprüfungsamtes Berlin- D ahlem geprüft.

Der Hilfsträger d ien te zur Unterstü tzung des Versuchsträgers mit 6800 mm Stützweite. Der Versuchsträger w urde durch zwei symmetrische

Bild 4. Versuchsanord'nung, Versuch 1.

Bild 5. Versuchsanordnung, Versuch 2.

D ehnungen mit Huggenberg er-Tenso m ete rn mit 20 mm M eßlänge b e ­ stimmt. Aus den elastischen D ehnungen wurd en die Spannungen mit

E —

2,1 ■ 106 kg/c m 2 errechnet. A ußerd em befand sich zwischen den mittleren Aussteifungen beiderseits des Stegblechs eine Zeiß uhr zur Bestimm ung der Deh nung ü b e r 870 mm Meßlänge.

Zahlentafel 2 enthält die Trägheits- und W idersta ndsm om ente und die rechnerischen, mittleren G urts pannungen in der Trägermitte. Die Versuchsergebniss e sollen nicht nach den Randspannungen, sondern nach den Mittelspannungen in den Gurten beurteilt werden.

D i e m i t t l e r e S c h u b s p a n n u n g im S t e g b l e c h b e t r u g

Die kritische Beullast für das Stegblechfeld neben dem Mittelfeld wurde nach den vorläufigen Vorschriften der Deutschen Reichsbahn berechnet.

U nte r Berücksichtigung der Biege- und Sch ubsp an nungen erhält man

P K

= 960 t.

Auf G ru nd früherer Versuchserfahrung w urd e je doch ein höhere r Wert für

P K

erwartet.

5. V e r s u c h s e r g e b n i s s e .

V e r s u c h 1. Die Spannungsv erte ilung ü b er die Gurtp lattenbreite war gleichmäßig. Im elastischen Bereich stim mten die Span nungen mit den rechnerischen W erten gut überein, so daß auch bei den höheren Lasten die Ü berein stim m ung angenom m en w erd en kann. Bild 6 zeigt den Verlauf der D ehnung im Mittelfeld un d d e r Durch biegung bis 986 t.

Von etwa 700 t ab nah m en die ble ibenden D ehnungen schnell zu. Bei 885 t

{da =

3890 kg/c m 2) machte sich der F ließbegin n durch Abspringen der Zunderschicht bem erkbar. Bei 986 t (<ra — 4330 kg/cm2) b etru g die ble ibende D ehnung 0 ,2 8 % , die Durchbiegung 20,6 mm gesam t und 6,6 mm bleibend.

Die H ö c h s t l a s t betrug 1 1 3 9 t. Bei dieser Last beulte das Stegblech neben den Mittelfeldern plötzlich mit dum pfem Knall aus. Die U nte r­

g urtspannung b etru g rechnerisch m a x

da

= 1139 • 4,39 = 5 0 0 0 k g / c m 2 und die mittlere S chubspannung des Stegblechs ' m a x r = 1139 • 1,796

= 2 0 4 0 k g / c m 2.

Die Teilungen neben den H alsnähten ergaben bei der Nachmessung durchweg ein e Deh nung von 1 b i s 2 % , stellenweise bis 4 ,5 % .

*9.Juli 1939 A l b e r s , Biegeversuche mit zwei großen, geschweißten Vollwandträgern aus S t 52 9 9

Bild 8. Ausg ebeultes Stegblech des Versuchsträgers 1.

An der am stärksten verformten Stelle w urden durch die Untergurt­

halsnähte des Trägers 1 Quer- un d Längsschnitte gelegt. Es wurd en keine Anrisse gefunden.

6. Z u s a m m e n fa s s u n g .

Die Tragfähigkeit der Träger war durch Versagen der Stegbleche bedingt. Die Beullast lag beim Träger 1 1 9 % höher als die nach den Vorschriften gere chnete kritische Last.

Durch die zusätzliche Aussteifung des Trägers 2 w urd e das A us­

beulen des Stegblechs verhindert. Jedoch war die Tragfähigkeit dieses Trägers durch Erreichen der Schubfließgrenze des Stegblechs bedingt.

Bild 10. Versuchsträger 2 nach dem Versuch.

Die G urtplatten ha ben Beanspruchungen von 5000 bzw. 5400 kg/cm2 ohne Bruch ertragen. Die Nachmessung der Teilungen ergab beim Träger 1 1 bis 2 % , stellenweise bis 4,5%> beim Träger 2 2 bis 3 % Dehnung. Anrisse waren nicht festzustellen.

ln der Übergan gszone waren erhebliche Härtu ngen bis 376 Vickers­

härte festgestellt worden. Trotzdem war die Bewährung der Versuchs­

träger gut.

Es ist nicht anzunehm en, daß die Verringerung der Längsschrumpf­

span nungen durch die V erschm äleru ng der Gurte die Ergebnisse günstig beeinflußt hat, da im Grundwerkstoff die Streckgrenze überschritten wurde und die Ü bergangszone die D ehnungen ohne Risse ertragen h a t 2). Die beid en andere n K omponenten des räumlichen Span nungs­

zustandes dürften -sich nur unwesentlich geän d ert haben.

2) B i e r e t t , Elektroschweißung 1938, Heft 7, S. 121.

Bild 11. Hilfsträger nach dem 2. Versuch.

0,500 Durchbiegung in mm

Bild 6. Versuch 1. Verlauf der D ehnung und Durchbiegung.

Bilder 7 u. 8 zeigen den verformten Versuchsträger 1 nach dem Versuch.

V e r s u c h 2. Um das Ausb eu len des Stegblechs zu verhindern, wurden auf das Stegblech des Versuchsträgers 2 und des Hilfsträgers schrägverlaufendc Aussteifungen aufgeschweißt. Durch die einseitige Anord nung der Aussteifungen trat in den Gurten eine ungleichmäßige Spannungsv erte ilung ein. Die mittleren Span nungen stim m ten jedoch im elastischen Bereich befriedigend mit den rechnerischen Spannungen überein.

Bild 9 zeigt den Verlauf der Deh nung im Mittelfeld und der Durch­

biegung. Bei der Beurteilung der D ehnung ist zu beachten, daß der Untergurtquerschnitt im Mittelfeld veränderlich war. Der Dehnungsverlauf ist ähnlich wie bei Versuch 1. Bei 885 t begann die Zunderschicht ab-

Bild 7. Versuchsträger 1 nach dem Versuch.

zuspringen, nachdem bei 685 t schon an der höher beansp ruch ten Seite mit den Tensom etern einseitig Fließen fes tgestellt wurde. Die Durch­

bie gung war infolge der zusätzlichen Aussteifungen wesehtlich geringer.

Bei 986 t betr ug sie 14 mm gesam t und 4,8 mm bleibend.

Bei 1182 t fiel die Last stark ab, augenscheinlich weil di'e Fließgrenze Im Stegblech mit ^t = 2140 kg/cm2 erreicht war. Die Last ließ sich bis 1 2 3 0 t (<r)( = 5 4 0 0 k g / c m 2 und r = 2 2 1 0 k g / c m 2) steigern. Unter dieser Last verformte sich der Träger ohne Laststeigerung derart stark, daß der Versuch abgebrochen werden mußte.

Die Nachmessung der Teilungen neben den H alsn äh ten des Unte r­

gurtes ergab etwa 2 bis 3 % Dehnung.

Bild 10 zeigt den verformten Versuchsträger. Auch der Hilfsträger war stark verformt (Bild 11). Die Höchstbeanspru chung in den Gurten des Hilfsträgers betr ug

<t —

1230 • 2,85 = 3500 kg/cm 2.

1,8 2,0 2 / 2,‘t 2fi 2ß 3,0 3 / 3'i 30 o 2

v

⁵ a 10 12 n

Durchbiegung in mm

Bild 9. Versuch 2. Verlauf der D ehnung und Durchbiegung.

1 0 0 J o k i s c h , Zur Ermittlung der Einflußlinien statisch bestim m ter Fachwerkträger. Beilage zur Zeitschrift .D ie Bautechnik*

Die gute Bewährung der beid en gro ßen geschw eißten Biegeträger aus St 52 ist ke in eswegs übe rr asc hend. Es ist schon w ie derholt darauf hingew iesen w orden, daß zahlreiche große geschweißte Brücken aus St 52 sich im Betrieb seit Jahren ausg ezeichnet b ew äh rt ha b e n . Die U n te r­

such ung der Schadenfälle Zoo und Rüdersdorf lassen verm ute n, daß hier die Ursachen in gefährlichen Werkstoffehlern zu suchen sind, die sich in Zukunft verm eid en la s s e n 8).

Es liegen aber zahlreiche an d e re Versuchsergebnisse, zum Teil auch an großen Bau werken vor, die hinsichtlich der Festigkeit u nd Forrn- änderungs fähigkeit dicker, längsgeschweißter Profile unbefr ie digend sind.

Daß un ter sonst gleichen Bedin gungen die H ärtung der Übergang^- zonen in V erbin dung mit den Schrumpfspannungen einen ungünstigen Einfluß ausübt, kann als erw iesen gelten. B i e r e t t wies schon darauf hin, daß den stofflichen Eigenschaften hierbei ein b e d e u te n d e r Einfluß z u k o m m t2). K u n t z e machte auf den Einfluß der Trennempflndlichkeif des Grundwerkstoffs und der gehärtete n Ü berg angsz onen aufmerksam.

Er wies jedoch nach, daß die Trennempfindlichkeit des St 52 nicht mit der H ärtung zunehm en m u ß 4). Bei der stofflichen Inhomogenität in

3) S c h a e c h t e r l e , Bautechn. 1939, H e f t 4, S 4 6 . — 4) K u n t z e , Vortrag auf der Tagung des Deutschen Ausschusses für Stahlbau am 23. 11. 1938.

geschw eißten Profilen sind die Verhältnisse jedoch etwas anders zu bew erten als bei der Trennempfindlichkeitsprobe aus gleichmäßig g e ­ härtetem Werkstoff.

Die Ergebnisse der letzten Zeit lassen erhoffen, daß es den Stahl­

erzeugern gelingen wird, die stofflichen Verhältnisse beim St 52 so zu verbes sern, daß die Gefahren beim Schweißen auf ein Mindestm aß b e ­ schränkt oder gar mit Sicherheit verm ie den werd en.

Darüber hinaus aber wird der konstru ktiven G estaltung und der Schweißausführung weiterhin volle Aufmer ksamkeit zu schenken sein.

Besonders wird hier auf die gute n Erfahrungen beim Spannungsfreiglühen nach, dem Schweißen h in g e w ie s e n 5). D ie V erbesserung hinsichtlich des F orm änderu ngsverm ögens u nd auch der Festigkeit durch Spannungsfrei­

glü hen be ru h t sowohl auf dem V erschw inden der Schweiß sp annungen als auch auf einer w esentlichen Verm inderung der grö ßten Härten. Das Spannungsf reiglühen ganzer Träger bereitet jedoch technische und w irt­

schaftliche Schwierigkeiten. Es w urd en jedoch schon verschiedentlich Vorschläge unterbreitet, die die Sicherung der gefä hrdete n Teile durch Spannungsg lühen ermöglichen.

5) B i e r e t t u. S t e i n , St. u. E. 1938, Heft 16, S. 427.

Zur Ermittlung der Einflußlinien statisch b estim m ter Fachw erkträger.

Alle Rechte V o r b e h a l t e n . Von Dipl.-Ing. F.

Die sogenannte „kinematische“ M ethode zur Bestimmung der Ein- fiußlinien von Stabkräften statisch b estim m ter Fachwerkträger ist schon lange b ekannt; daß. sie praktisch nur selten zur A nw endung gelangt, liegt wohl vor allem daran, daß das gewöhnliche, auf den Gleichgewichts­

betrachtungen aufgebaute Ermittlungsverfahren in der Regel derartig einfach und übersichtlich ist, daß keinerlei Bedürfnis nach einem anderen Verfahren besteht. Nur in jenen Fällen, in denen bei der Bestimmung der Einflußlinien gewisse Sonderüberle gungen erforderlich werden, macht sich bei den w enig er geü b ten Statikern der Wunsch nach einem zweiten, der Kontrolle dienenden Lösungsweg geltend. Von den in Frage kom m enden Verfahren scheint nun eins von den S tu diere nden (wie die Erfahrung im Rahmen des Ü bungsbetriebes aus der Baumechanik an der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn zeigt) bevorz ugt zu werden — ein Verfahren, das auf der V erschm elzung der kinematischen Methode

J o k i s c h , Brünn.

Zur Bestimmung der Gurtbiegelinie steht uns das Verfahren der elastischen Gewichte zur Verfügung. Wir haben den Träger der Reihe nach in allen Lastgurtknoten

n

dem bekannte n „k ombinie rte n“ Hilfsangriff der Kräfte

l/a, 2/a, l/a (a =

Feldweite) zu unterwerfen, die hierbei ent­

stehenden Stabkräfte S* zu bestim men und die elastischen Gewichte

wn = /S S * S s /E F

auszurechnen; da S bloß im untersuchten Stab von Null verschieden ist und in diesem Stab die Größe

S = E F /s

besitzt, b e s t e h t diese S u m m e bloß aus dem Sum m anden

(2)

wn

=

S*.

und da wir bei den meisten der „kombinie rte n“ Hilfsangriffe für den untersuchten Stab

S* —

0 erhalten, sind nur wenige elastische Gewichte (im allgemeinein nur so viele, als Eckpunkte in der ge su chten Einfluß­

linie vo rh an den sind) von Null verschieden. Die elastischen G ewichte

wn

0 1 l J

/l/f (L

Bild 3. f

1/11

Ö Ö Ö 3

r, = Ö*- + 4

l/'s ;

V'ZTTl

K X X!

u

in gleicher I/Veise’-

/ I

mit der Met hode der elastischen Gewichte beru ht und im folgenden — ohne ihm damit auch nu r den geringsten Anspruch auf B edeutu ng oder Originalität zubilligen zu wollen — kurz geschildert sei.

Bekanntlich zeigt die Einflußlinie für die Stabkraft

S

eines statisch bestim m ten Fachwerkträgers den gleichen Verlauf wie die Biegelinie der Fahrbahn (allgemeiner: Biegelinie des der Einflußlinie zuge ord neten Längs­

trägerstranges), die e nts te ht, w en n wir die Länge des Sta bes um den infinitesimalen Betrag

M s

vergrößern und dieses

M s

als Einheit des O rdinat enmaßs tabes verw enden. Da der Längsträgerstrang als Balken­

kette mit den G ele nken ü b er den Querträgern vorausgese tz t wird und die V erlängerung M s = l auch als elastische Längenänderung des Stabes zufolge der Stabkraft

( 1)

S = E F /s

(£■ = Modul,

F =

Querschnittsflüche und s = Länge des untersuchten Stabes) aufgefaßt w erden kann, läßt sich dieser Satz auch so formulieren:

Die Einflußlinie für S zeigt den gleichen Verlauf wie die Biegelinie des Lastgurtes, die entsteht, wenn wir den untersuchten Stab der Zug­

belastung S =

E F /s

unterwerfen.

w erden nun als lotrechte, in den Knotenpunkten n w irksame Kräfte auf den Träger gestellt und die hierbei auftretenden Biegem omente ermittelt;

die auf diese Weise gefu ndene M om entenver teilungslinie stim mt mit der gesuchten Gurtbiegelinie und damit auch mit der gesuchten Einflußlinie

„S“

überein. Bloß in einem einzigen Sonderfall — w enn S die Stabkraft in einer E n d v e r t i k a l e n ist und die Fahrb ah n o b e n liegt — müßten wir dieses Rechenschema durchbrechen; an Stelle der Momentenver teilung müßte hier das Seileck mit der Polw eite 1 gezei ch net und das Rand­

bedin gungspaar der Gurtbiegelinie (das hier vom Randbedingungspaa r der B iegem om entenverteilu ng abweicht) durch das richtige Einlegen der Schlußlinie erfüllt werden.

In Bild 1 bis 4 wird die A nw endung des geschilderten Ermittlungs­

verfahrens vorgeführt.

I N H A L T : Z u r B e re c h n u n g d e s e in g e s p a n n te n v e rs te llte n S ta b b o g e n s . — B ie g e v e rs u c h e m it z w e i g ro ß e n , g e s c h w e iß te n V o llw a n d trflg e rn a u s St 5 2 . — Z u r E r m ittlu n g d e r E ln flu ß lln le n s ta tis c h b e s tim m te r F a c h w e rk trä g e r. ___________________

V e ra n tw o rtlic h f ü r d e n I n h a l t : P r o fe s s o r 35r.*3nÖ- K. K l ö p p e l , D a rm s ta d t.

V e rla g v o n W ilh e lm E r n s t & S o h n , B e rlin W 9.

D ru ck d e r B u c h d ru c k e re i G e b rü d e r E rn s t, B e rlin SW 68,