Uwagi o nowej metodzie linearyzacji statystycznej opartej na minimalizacji błędu kwadratowego energii potencjalnej

Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230

Jerzy S K R Z Y P C Z Y K

K a te d ra M echaniki T eoretycznej P o litech n ik a Śląska

U W A G I O N O W E J M E T O D Z IE L IN E A R Y Z A C JI S T A T Y S T Y C Z N E J O P A R T E J N A M IN IM A L IZ A C JI B Ł Ę D U K W A D R A T O W E G O E N E R G II

P O T E N C JA L N E J

Streszczenie. W pracy przedstaw iono m eto d ę linearyzacji statystycznej wielow ym iarow ych dyskretnych układów dynamicznych. Z astosow ana m eto d a o p a rta je st na m inim alizacji różnicy między energią p o ten cjaln ą oryginalnego system u nieliniow ego i energią przybliżonego układu liniowego. D okładność m etody je st spraw dzana na trzech przykładach układów dynam icznych, dla których zn an e są rozw iązania analityczne.

R E M A R K S O N A N E W ST A T IST IC A L L IN E A R IZ A T IO N M E T H O D B A S E D O N M IN IM U M M E A N S Q U A R E D E V IA T IO N O F P O T E N T IA L

E N E R G Y

Sum m ary. T h e purp o se o f this p a p e r is to p re se n t a new m ulti dim ensional stochastic linearization technique. It is based on the re q u ire m e n t th a t a m ean sq u a re deviation o f th e potential energy o f th e original n o n lin ear system ,and th at o f the equivalent linear one, be minim al. T h e accuracy o f know n versions of statistical linearization m ethods is checked on exam ples o f dynam ical systems with available exact solutions.

3 AMEMAHHH O HOBOM M E T O f l E C T A T H C T H H E C K O H J M H E A P H 3 A U H H O C H O B A H H O K HA MHHHMAJ 1H3AUHH C P E ł t H E K B A J ł P A T H H E C K O l l OUIHBKH n O T E H U H A J I H O t i E H E P H U i

P e 3 io M e . B p a ó o T e n pe a c T a B J ie H O MeTozt C Ta T H C T H te c K o ii jis iH e ap ii3 a un K MHorcmepHbix AMCKpeTHux juiHaMMaecKMx c H d e M . npeacTaBJieHHbiii MeTOfl o c H O B a H H a M H H H M a j i H 3 a i i M H oiuhókm M e x ^ y noTeHU«aJiHoii e n e p F e K o p b i r H H a j i b H o f i H e i i H H e i i H o i i c u c T e H t i h e H e p r e R npn6jin*;eHHoR

J i H H e t i H o i i C H C T e M b i . T o H H O C T b M e T O A a n p o B e p n e T C H H a T p e x n p H M e p a x f l J I H K O T O p b l X M 3 B e C T H b l T O H H b l e n p O Ó a Ó M J 1 M C T M H e C K M e p e m e H H H .

358 J. Skrzypczyk 1.W ST ĘP

T ech n ik a linearyzacji statystycznej je st pow szechnie stosow ana w dynam ice stochastycznej. B ogatą bibliografię tej problem atyki m ożna znaleźć w p racach [1-4,1-10,15]

i w wielu innych.

M e to d a linearyzacji statystycznej polega na zastąpieniu u kładu nieliniow ego liniowym układem dynam icznym , który jest w pewnym "probabilistycznym" sensie rów noważny układow i oryginalnem u.

N iech b ęd zie dany nieliniowy układ dynamiczny, ew entualnie ze sp rzężen iem zw rotnym , dany ró w n an iem operatorow ym :

x = AFx + z}

(1)

gdzie z je s t n-wymiarowym p rocesem stochastycznym zdefiniow anym na R + c R , F jest nieliniowym o p e ra to re m , A je st przyczynowym,liniowym o p e ra to re m całkow ym .D la uściślenia załóżm y, że o p erato ry F i A m ają następującą postać:

(Fx) ( t, o ) : = £ ( t,x{ t, co) , tei?*1 ( 2 )

gdzie f:R 1+ x R n -+ R" je st funkcją nieliniową i

C ^

(Ax) (t, a>) : =fk(t, s) x(s, a>) n (ds) , tei?» <3 >

o

gdzie ją d ro k(t,s) je st zdefiniow ane na A i A: = { (t,s):t,se R 1+ , 0<s<t<«>}, k (t,s) = 0 dla s > t , k i v j e L ^ o ^ R 1^ i całkow anie zachodzi dla zbioru [ O .tj c R ^ -

G e n e ra ln ie m e to d a linearyzacji statystycznej polega na zastąp ien iu p ro b lem u nieliniow ego o pisanego rów naniem całkowym o postaci

C

x(c,u>) = z ( t,<i>) + jk( t, s) f(s,x(s,a) ) n (ds) , tei?.1 ( 4 ! o

przez p ro b le m liniowy w następującej postaci:

t

y ( t , co) = z(t,Ci >) + Jk( t, s) 1 (s,y(s, o) ) n (ds) , t ( 5 ) o

gdzie l(t,y ):= C (t)y + c (t), y ,c(-)eR n. C(-):R"-*Rn,

W taki o to sposób sform ułow anie m etody linearyzacji statystycznej (M LS) je st po d o b n e do p o d an eg o przez K azakova i B ootona [3],

359 2. M E T O D Y L IN E A R Y Z A C JI ST A T Y ST Y C Z N E J

W lite ra tu rz e najbardziej zn an e są dwie klasyczne M LS.Pierw sza m eto d a polega na takim d o b o rze m acierzy C[(-) i Cj(-), który m inim alizuje następujący funkcjonał:

p g ( l ) : = E { \ f ( Ł , x ( t , u ) ) - i ( t , x ( t , co) |2} (6)

dla V te R i dla pew nej klasy procesów stochastycznych. R ozw iązanie teg o zagadnienia jest zn an e i m o żn a go znaleźć np. w [1].

M eto d a d ru g a polega n a takim d oborze m acierzy C2(-) i c^-), aby funkcje losowe l(t,x(t,cł))) i f(t,x(t,cp)) miały takie sam e w artości oczekiw ane i identyczne m acierze kow ariancji dla pew nej klasy procesów stochastycznych x(t,eo)V te R . N iech

r 2 ( t ) =e { ( / (t , x ( t , u ) ) - E l f {t , x ( t , <o)) } ) ( i (t , x ( t , <o)) - s { / ( t , x ( t , co)) ) ) T ) ,

D (t) = B { ( J ( C ,x ( t,c o ) ) - £ { J ( t:,x ( t,G > ) ) } ) ( J ( t,x ( t ,c o ) ) - f t { J ( C ,x ( C ,c o ) ) } ) r} =

£{ (C( t) ( x ( t ,io ) - £ { x ( t ,c o ) ] ) ) (C (t) ( x ( t,< o ) - i:ix ( t,C i) ) l) ) T] = C ( t ) i f ( t ) C r ( t) , ( 7) n ato m iast K (-) je s t zdefiniow ane w następujący sposób:

m

Zauw ażm y, że m acierze K(-) i rU ) są sym etryczne i nieujem nie określone. Stąd wynika, że istnieją m acierze K'/!(-) i r (•) V te R . N a podstaw ie rów nań (6) i (7) m ożem y napisać:

1 - (8)

c 2(t)* J (t) = r 2(o ,

A zatem m acierzeC 2(-) i C2(-) przyjmują postać:

I \ C2(r) = r 22(t)it5(i)

c2(f) = £[/(U t,<o))-e2(t)£(x(t,<o))) ,

W [16] autorzy zaproponow ali now ą technikę linearyzacji statystycznej, polegającą na m inim alizacji średniego kw adratow ego błędu różnicy pom iędzy energią potencjalną zw iązaną z oryginalnym nieliniowym układem a jego rów now ażną aproksym acją liniową.

Poniżej przedstaw iony je st ogólny schem at dla wielowymiarowych układów dynamicznych.

N iech en erg ia p o ten cjaln a rozpatryw anego układu dynam icznego b ęd zie oznaczona jak o U (-), g ra d U = f, dla uproszczenia niech U (0 )= 0 .

W nowym schem acie M LS będziem y wymagać, aby:

360 J. Skrzypczyk

p:=£( |{/0t(t,w))-i£ £ cux f .t , u ) x k( t , u)|2| = 2 /-l *-i

= £ ( | U (x(t,u))- ^<x(t,< j),C jr(I,u)> |2} =

=£{ | C / ( x ( I , « » - ^ ^7'(t,u )C ^ (r,M )|2l = m in ,

2 ..i

(9)

gdzie

a a a

W aru n k iem koniecznym ekstrem um jest

vC(p = EIC/(x(t,a))-^J^xT(r,<i>)C/xi(t,<o))x(t,o>)xt(t,<o)}=0

r t - E KC, .

( 10)

gdzie oznaczono

r,: =£{ U(,x(t,u)yx(t,u)xk(t,u )) , (t>to: =E{xt(t,u>)xi(.t,u)x(t,u)x T( r ,u ))

ri=p„r2,.. .r„],*:■[*„] .

dla i,k = l,2 ,...,n . O trzym am y

2r = <tc ⁽11)

o raz ja k o rozw iązanie problem u

(12)

R ó w n an ie (12) kończy nasze rozw ażania.

3. P R Z Y K Ł A D Y

D la poró w n an ia skuteczności przedstaw ionych M LS w ybrano układ dynamiczny opisany rów naniem różniczkow ym w znorm alizow anej form ie

x(t) + pi(r)*F(x(f)) =z(r) , leR l , ( 13)

gdzie (•) = d/dt, G = c o n st> 0 określa współczynnik liniowego tłum ienia, F(-), x e R 1 re p re z e n tu je nieliniow ą siłę sprężystą. R ozpatryw any będzie przypadek, gdy siła w ym uszająca je s t stacjonarnym procesem stochastycznym 2 rzędu ze śred n ią zero i gęstością sp e k tra ln ą postaci:

S ( i u)=— , u e R ] , (14)

1

gdzie So> 0 i r są pew nymi stałymi. D la opisywanego przypadku m ożliwe je st określenie dokładnych charakterystyk probabilistycznych rozw iązania [14].

3.1. Przykład 1

Z astosujm y przedstaw ioną teo rię do układu dynam icznego będ ąceg o oscylatorem nieliniowym , którego charakterystyka sprężysta m a postać:

F(x) =

0.5x , dla i s -1 x , dla -1 < x < 1 0.5* , dla x i l

D o k ła d n e śred n ie odchylenie kw adratow e rozw iązania cr2x dok m o żn a określić ja k p o d an o w pracy [14]. W yniki z zastosow ania linearyzacji statystycznej ct2x zostały obliczone zgodnie z p rzed staw io n ą teorią. Przez o 2a oznaczono średnie odchylenie kw adratow e rozw iązania układ u liniow ego, dla F (x )= x , xeR*

In teresu jąca m oże być obserw acja ja k wygląda błąd względny

n j---

°x.d ck

różnych m eto d linearyzacji. Wyniki są dość jednoznaczne. N owa m e to d a je s t (p o za m ałym zak resem zm ienności <j0, czyli SD) gorsza od obu klasycznych M LS, zw łaszcza dla dużych w artości o .

3 6 2 J. Skrzypczyk

R y s.l. P o ró w n an ie błędów linearyzacji dla oscylatora nielinio-w ego typu 1 dla różnych 'MLS (krzywa "i" odpow iada M LS typu "i")

F ig .l. C o m p ariso n o f linearization erro rs for 1-st type oscillator fo r different m ethods (curve "i" c o rresp o n d in g to i-th m ethod)

3.2. Przykład 2

Ja k o drugi przykład weźmy p od uw agę oscylator D uffing’a, k tó reg o charakterystyka sprężysta m a postać:

F(x) = k ^ + kjjc3,

gdzie kj, k2 są pew nym i stałymi. Porów nanie dokładności M LS było robione w pracy [16]

dla zakłócenia typu białego szum u, dla względnie małych w artości a 0e [0,1]. W tym zakresie a 0, rzeczywiście, m ożna przyznać, że dokładność nowej M LS je st w iększa od obu m etod klasycznych.

D la większych w artości o 0 dokładność m etod klasycznych przew yższa dokładność m etody nowej, zw łaszcza jeśli b rać p od uw agę b łąd względny. O dpow iednie wyniki są p rzed staw io n e na rys.2.

U w agi o n o w ej m e to d z ie lin e ary za cji statystycznej..

Rys.2. P o ró w n an ie błędów linearyzacji dla oscylatora nieliniowego typu 2 dla różnych M LS (krzywa "i" odpow iada M LS typu "i")

Fig.2. C o m p ariso n o f linearization erro rs for 2-nd type oscillator for different m ethods (curve "i" co rresp o n d in g to i-th m ethod)

Rys.3. P o ró w n an ie błędów linearyzacji dla oscylatora nieliniow ego typu 3 dla różnych M LS (krzywa "i" odpow iada M LS typu "i")

Fig.3. C o m p ariso n of linearization erro rs for 3-rd type oscilla-tor fo r different m ethods (curve "i" co rresp o n d in g to i-th m ethod)

364 J. Skrzypczyk 3.3. Przykład 3

P rzedyskutujm y jeszcze je d e n przypadek oscylatora z charak-terystyką sprężystą o postaci:

F(x) = kjX + k2x5 ,

gdzie k, i k2 są pew nym i stałymi. Podobnie ja k w przypadku 2 po-rów nania dokładności M LS były p o d an e w pracy [16] dla zakłócenia będącego białym szum em . W tym przypadku przew aga m etody nowej je st wyraźnie w idoczna dla wszystkish w artości a 0, co p otw ierdza wyniki cytow anej pracy [16]. Wyniki m oża porów nać na rys. 3.

4. W N IO SK I

W pracy p o rów nano trzy MLS. D la uzyskania pewnych w skazów ek dotyczących dokładności nowej m etody w porów naniu z m etodam i klasycznymi,wykorzystując wnioski z pracy [16] i wyniki [14] przeanalizow ano trzy przykłady układów dynam icznych. Na p odstaw ie pow yższego m ożna wnioskować, że now a M LS w ykazuje w iększą dokładność dla u kładów b ard zo silnie nieliniowych (typu X5 ) oraz dla układów silnie nieliniowych (typu

X3 ) dla m niejszych w artości intensyw ności zakłóceń. D la układów słabo nieliniowych nowa m e to d a je s t m niej d o k ład n a niż m etody klasyczne w zasadzie dla praw ie wszystkich intensyw ności zakłócenia.

L IT E R A T U R A

[1] B unke H .: G ew öhnliche D ifferentialgleichungen M it Z ufälligen P a ra m e tre n , A k ad em ie -V erlag Berlin, 1972.

[2] G utow ski R., W. A. Swietlicki: D ynam ika i drgania uładów m echanicznych, PW N, W arszaw a 1986.

[3] K azakow I. J.: Statisticzeskaja tieoria sistiem upraw lienia w p rostranstw ie sostojanij,

"N auka", M oskw a 1974.

[4] K rasow skij A. A.: Fazow oje prostranstw o i statisticzeskaja tieoria dinam iczeskich sistiem , "N auka", M oskwa 1974.

[5] Piszczek K.: D rgania zdeterm inow ane i przypadkow e układu o jednym stopniu sw obody przy charakterystyce sprężystości w postaci linii łam an ej, R ozpr. Inż., Vol. 18, N.4, (1970).

[6] Piszczek K.: W pływ nieliniowości na niek tó re charakterystyki drgań przypadkow ych, Zag. D rgań Nielin., V o l.12, ss. 113-127.

[7] Piszczek K.: M etody stochastyczne w teorii drgań m echanicznych, PW N , W arszaw a 1982.

[8] Piszczek K., J. Nizioł.: R an d o m V ibration of M echanical Systems, PW N , W arszaw a 1986.

[9] P ugaczew W. S.: T ieo ria słuczajnych funkcji i prim ienienia w tieorii aw tom aticzieskow o upraw lienia, M oskwa 1962.

[10] R o b e rts J. B., P. D. Spanos: R an d o m V ibrations and Statistical L inearization, J. Wilej, C h ich ester 1990.

[11] Skrzypczyk J.: Analysis o f Statistical L inearization o f R an d o m N o n lin ear V o lterra E q u atio n s, Proc. o f X 11' Int. C onference on N onlinear O scillations, V arn a 1984, Publ.

H a u se o f B ulgarian A cad. Sci., Sofia 1985, ss. 750-753.

[12] Skrzypczyk J.: Statistical L inearization O f N onlinear D ynam ic Systems D escrib ed By In teg ral E q u atio n s O ver Locally C om pact A belian G roups, P roceedings o f C o n feren ce

"N onlinear A nd R andom V ibrations", O berw olfach 1986 S e p te m b e r 14-20, O berw olfach 1987.

[13] Skrzypczyk J.: W yznaczanie dokładnych charakterystyk probabilistycznych w nieliniow ych układach dynamicznych, Sym pozjon "M odelow anie w M echanice", Wisła luty 1993, Zesz. N auk. Pol. Śl.., ser. M echanika z. 113, ss. 369-376.

[14] Skrzypczyk J.: Exact Steady-State R esponse Solution F o r Second O rd e r N onlinear System s U n d e r E xternal Stationary Excitations, M echanika T eo rety czn a i Stosow ana (w dru k u ).

[15] S p an o s P. D.: Stochastic L inearization in S tructural D ynam ics, A pplied M echanics R eview s (1981), ss. 1-8.

[16] Z h a n g X., I. Elishakoff, R. Z hang: A stochastic L inearization T ech n iq u e B ased on M inim um M ean S quare D eviation o f P otential E nergies, Stochastic S tructural D ynam ics 1, New T h eo retical D evelopm ents, Springer-V erlag, B erlin-H aidelberg-N ew Y ork 1991, ss. 327-338.

R ecenzent: Prof. d r hab. inż. B ogdan Skalm ierski W płynęło do R edakcji w grudniu 1993.

A b stract

T h e p u rp o se o f this p a p e r is to co n trast a new m ultidim ensional stochastic linearization tech n iq u e w ith classic m ethods. It is based on the re q u ire m e n t th a t a m ean sq u are deviation o f th e p o ten tial energy o f th e original nonlinear system, and th a t o f the eq u iv alen t linear one, be m inim al. T h e resultings equations (12) a re p re se n te d in details.

T he accuracy o f known versions o f statistical linearization m eth o d s is check ed on 3 exam ples o f dynam ical system s o f the type (13), for a stationary excitation w ith spectral density (14). F o r such systems the exact solutions for probability densities are available [14]. G en erally conclusions are sim ilar to th a t given in [16], T h e new m eth o d turns out to be su p e rio r th an conventional linearization techniques, for strongly n o n lin ear oscillators.

H ow ever, fo r weakly nonlinear systems the onventional linearization m ethods yield m ore accu rate results.