Algorytm genetyczny rozwiązujący przepływowy problem obsługi z zasobami

(1)

ZESZY TY N AUKOW E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A UTOM ATYKA z. 114

_______ 1994 N r kol. 1250

A dam JA N IA K +, P rzem ysław KO BYLAŃSKI^

+ In s ty tu t C ybernetyki Technicznej, i In s ty tu t O rganizacji i Z arządzania, P olitechnika W rocław ska

ALGORYTM GENETYCZNY ROZWIĄZUJĄCY PRZEPŁYWOWY PROBLEM OBSŁUGI Z ZASOBAMI

Streszczenie: W arty k u le opisany został przepływowy problem obsługi, w k tó ry m czasy operacji, n a kilku m aszynach, zależą liniowo od ilości przydzielonego, podzielnego w sposób ciągły, lokalnie i globalnie ograniczonego, zasobu. P rzedstaw iono własności problem u oraz zaproponowano kilka im plem entacji algorytm u genetycznego do jego rozwiązyw ania.

GENETIC ALGORITHM FOR THE PERMUTATION FLOW-SHOP PRO

BLEM W ITH RESOURCES

S um m ary: T h e p ap e r deals w ith a p erm u tatio n flow-shop problem where th e processing tim es of jobs on some m achines are linear functions w ith respect to th e am o u n t of continuously-divisible, locally and totally constrained resources.

Some h eu ristic alg o rith m of a genetic ty p e was applied to solve this problem . T his alg o rith m em ploys som e su b stan tia l problem properties th a t are presented.

EIN GENETISCHER ALGORITHMUS ZUR LÖSUNG DES FLIESSBEDIENUNGPROBLEMS MIT RESSOURCEN

Z usam m enfassung: In dem A ufsatz wird ein Fließbedienungsproblem behandelt, in dem die O p erationszeiten an einigen M aschinen von der M enge einer zugeordneten, ste tig dividierbaren, lokal und global beschränkten Ressource linearw eise abhängen. E igenschaften des P roblem s werden darg estellt und einige Im p lem entierungen eines genetischen A lgorithm us für seine Lösung w erden vorgeschlagen.

(2)

100 A. Jan iak , P. Kobylański

1. W s tę p

K lasyczny przepływ owy problem obsługi (ang. flow-shop) opisany został dokładnie w literatu rz e, n a p rzykład w pracach B akera [1], Lagewega e t al. [9] czy Grabowskiego e t al.

[6], W pracach tych czasy w ykonyw ania zadań opisane były stałym i liczbowymi. Jed n ak w wielu procesach produkcyjnych czasy operacji zm ien iają się w przedziale ograniczonym m aksym alnym (norm alny) i m inim alnym (graniczny) czasem w ykonania. Czasy te zależą w sposób ciągły od przydzielonych zasobów, takich ja k energia, paliwo, gaz, elektryczność, n ak ład y finansowe, k tó ry ch dostarczenie zm niejsza czas w ykonania operacji. P roblem y takie w y m ag a ją bardziej ogólnego podejścia do szeregowania, gdyż określają nie tylko kolejność w ykonyw ania zadań, ale również rozdział ograniczonej ilości zasobu.

A rty k u ł nasz przed staw ia rozszerzenie klasycznego przepływowego problem u obsługi n a przy p ad ek , kiedy czasy w ykonania czynności są liniowo m alejącym i funkcjam i ilości zasobu, podzielnego w sposób ciągły i ograniczonego lokalnie i globalnie.

W n astępnej części zostanie form alnie opisany problem . W części trzeciej przedstaw ione zo sta n ą własności problem u, k tó re w ykorzystujem y w algorytm ie genetycznym opisanym w części czw artej. Część p ią ta je st opisem eksperym entu obliczeniowego, z którego wnioski zam ieszczone są w części szóstej.

2 . S form u łow an ie p ro b lem u

R ozpatryw any problem m ożna sform ułow ać n astępująco. K ażde z n zadań J x, . . . , J n musi być w ykonane n a m m aszynach A f j,. . . , M m w jednakow ej kolejności n a każdej m aszynie.

K aż d a m a szy n a M v, v = 1 , 2 , . . . , m , m oże obsługiwać w danej chwili tylko jed n o zadanie.

Zbiór indeksów operacji do w ykonania n a M v oznaczany je st przez N v. Z adanie J ,, i = 1 , 2 , . . . , n , sk ła d a się z ciągu m operacji O n , . . . , 0 ; m, gdzie 0 ,„ odnosi się do w ykonania ./; n a M v podczas nieprzerw ałnego czasu p,„. P rzy jm u je się, że d la indeksów m aszyn ze zbioru M l czas w ykonyw ania p,„ = const, v € AT1, a d la pozostałych m aszyn, których indeksy v należą do zbioru M 2, przy czym M 1 D M 2 M 1 U M 2 = { 1 , 2 , . . . , m }:

Piv ~ biv &ivl'iv, 2 = 1, 2, . . . , ?l, (1) gdzie a,-„ > 0, b,v > 0 są znanym i p ara m e tra m i, a r,„ je s t ilością zasobu przydzielonego operacji 0 ;„ (u 6 M 2). Mówimy, że ilość zasobu przydzielonego operacjom 0 ,„ , i ę N v (u € A /2), zapisyw ana w postaci w ektora r v = [ri„, r 2v, . . . , r ,„ , . . . , r„ tU], je s t dopuszczalna, jeśli sp ełn ia n astęp u jące ograniczenia:

Oit, ^ r,-„ ^

fi,,,, i

— 1 , 2 , . . . , n (2)

E E r - < R , (3)

„gA/2 ¡=1

A

gdzie R je s t całkow itą ilością zasobu, ja k ą dysponujem y, oraz q,„ i (3iv są zadanym i technologicznym i ograniczeniam i n a m in im aln ą i m ak sy m aln ą ilość zasobu przydzielonego

(3)

A lgorytm genetyczny rozw iązujący przepływowy problem obsługi z zasobam i 101

operacji 0 , v. Jednocześnie

£ £<*,■„ < R < £ £ / ? . v , 0 < a,„ < p iv < — .

„ e AP ¡=1 „6A P i= l

P rzez R oznaczany będzie zbiór w szystkich dopuszczalnych przydziałów zasobu r = [rui , r V3, . . . , r Vj, . . . , r„m, ] w rozpatryw anym problem ie, gdzie vj e A /2, dla j = 1,2

a m l je s t rozm iarem zbioru M 2.

K olejność w ykonyw ania zadań może być reprezentow ana przez perm u tację

indeksów zadań ze zbioru { 1 , 2 , n}, gdzie a (i) opisuje te n indeks zadania, któ re je s t n a i —tej pozycji w a.

P rzepływ ow y p roblem obsługi (ang. flow-shop) z czasam i operacji zależnym i od ilości przydzielonego zasobu, m oże być rozwiązyw any w odniesieniu do wielu kryteriów optym alizai W poniższej p racy będziem y m inim alizow ać długość czasu potrzebnego n a zakończenie w szystkich zadań (nazyw anego całkowitym, czasem realizacji), k tó ry przy ustalonej kolejności zadań a £ Et i przydziale zasobu r € R oznaczać będziem y przez M ( a ,r ) . Innym i słowy, p roblem polega n a znalezieniu takiego rozw iązania (<r*,r*), tj. takiej kolejności zadań <7* 6 II i takiego dopuszczalnego przydziału zasobu r* € R , że całkow ity czas realizacji je s t m inim alizow any, tj.

= m inm inA f(cr, r ),

<ren rez?

Pow yższy pro b lem m a w ielką wagę praktyczną. Je st uogólnieniem bardzo trudnego klasycznego przepływowego problem u obsługi, k tó ry był rozpatryvvany n a p rzykład przez B akera [1], Lagewega e t al. [9] i Grabow skiego e t al. [6].

W [8] zostało udow odnione, że dw um aszynow y przepływowy problem obsługi, ze stały m i czasam i o peracji n a jednej m aszynie i liniowo zależnym i od zasobu n a d rugiej, je st N P —tru d u

Do rozw iązyw ania rozpatryw anego problem u stosowanych będzie kilka im plem entacji algorytm u genetycznego, w k tó ry ch w ykorzystyw ać będziem y własności problem u, om ów ione w następnej części.

3 . W ła sn o śc i p ro b lem u

M ożna udow odnić, że ro zpatryw any problem posiada następujące własności.

W ł a s n o ś ć 1. Całkowity czas realizacji M (cr, r), dla dowolnego dopuszczalnego rozwiązania (a, r ), je s t rów ny

m—1 *>+1

£ £ p * ( '» + i> (4)

gdzie czasy wykonyw ania operacji są obliczone dla przydziału zasobu r.

(4)

102 A. Jan iak , P. K obylański

D la danego dopuszczalnego rozw iązania (cr, r) ciąg liczb n aturalnych (i) *2j • • • ï Im—1 i ri)

spełniających 1 < ń < . . . < i v < . . . < im - 1 < n oraz ciąg operacji (p atrz (4)) (Oo( 1)11 ĆJ<r(2)l) • • • î ć}<y(i,)l,

Oo(ii)2i ^ < r ( i i * f ł ) 2 ) • • • i ^ c t ( Î 2 ) 2 )

‘ 5 0<j(iv)vi

Oo(im-i)m i • • • î Oa(n)m)

nazyw ać będziem y, odpow iednio, pozycjam i ścieżki i ścieżką zw iązaną z tym i pozycjam i w cr przy r.

S um ę czasów operacji tw orzących ścieżkę w cr przy r G R będziem y nazyw ać długo

ścią ścieżki.

J e s t oczyw iste (p a trz (4)), że długość każdej ścieżki w a przy r nie je st dłuższa od w artości M(cr, r).

P rzez r* będziem y oznaczać optym alny przydział zasobu dla ciągu a , tj. przydział zasobu, d la którego M (cr,r* ) = m in r6R M (a , r).

O p ty m a ln y przydział zasobu r*, d la każdego cr € II, w przy p ad k u liniowego m odelu operacji, je s t znajdyw any przez użycie algorytm u H arnachera i T ufekciego [7] (z pew nym i m odyfikacjam i).

D la danego rozw iązania (cr, r*) (tj. danej kolejności zadań cr z o ptym alnym przydziałem zasobu r*) pozycje ścieżki (1, ¿ i, ¿2, - • •, i m- i , u) i ścieżkę zw iązaną z tym i pozycjam i, dla której zachodzi

*1 *2 n

M {cr, r'„) = + z L ¿MO* + • • • + z L ?<*(«>,

1 = 1 » = ¿ 1 t= ł'm —1

gdzie czasy o peracji są policzone d la przydziału zasobu r " , będziem y nazyw ać, odpow iednio, p ozycja m i ścieżki krytyczn ej oraz krytyczną (najdłuższą) ścieżką w cr (przy r*).

J a k łatw o zauw ażyć, m oże być wiele ścieżek kry tycznych‘w <7 przy r"a i rozw iązanie p roblem u znalezienia optym alnego przydziału zasobu r* € R , d la dowolnej kolejności cr € Ü, nie je s t jednoznaczne. Może być wiele o ptym alnych przydziałów zasobu z t ą sa m ą w ar

tością k ry te riu m A i(cr,r“), je d n a k z różną liczbą ścieżek krytycznych w cr lub krytycznych operacji (tj. operacji należących do krytycznej ścieżki).

Ł atw o spraw dzić, że zachodzi n astęp u jąca własność.

W ł a s n o ś ć 2 , Dla dowolnej kolejności cr € II istnieje optym alny przydział zasobu r ' , taki że albo

(5)

1. dla każdej kryty czn e j operacji Oiv (v G M 2) w o r*v = albo

2. dla każdej niekrytycznej operacji 0 , v (tzn. nie należącej do żadnej ścieżki krytycznej w a ) r 'v = a tv i ograniczenie dla całkowitej ilości zasobu je s t spełnione, tj.

£ X X = * '- v€M2 «=1

M ówiąc o o p ty m a ln y m przydziale zasobu (d la ustalonego o ), będziem y m ieli n a myśli przy d ział sp e łn ia jąc y W łasność 2. U żyw any przez nas algorytm optym alnego przydziału zasobu p o d a je rozw iązanie p o siad ające tę własność. Łatw o zauważyć, że przydział r* € R sp e łn ia jąc y W łasność 2 w yznacza m in im aln ą liczbę ścieżek (oraz operacji) krytycznych w a.

N iech CPa = { i , j [ , j ,i , - - - , j ' „ - - - , j ' a'<r,n ) będzie ciągiem kolejnych (różnych) pozycji ścieżek we w szystkich ścieżkach krytycznych w u (tj. I < j[ < j'2 < . . . < j's, < n).

P odciąg kolejnych zad ań {Ja(j't_ j , ■■■, 1)> Sdzie J » - i *í's s4 kolejnyn pozycjam i ścieżek k rytycznych w C P a, będziem y nazyw ać s —t ą sekcją w o (przy r*) i będziem y oznaczać przez 5 Sym bolem S , oznaczać będziem y zbiór zadań z s —tej sekcji, s = 1 , 2 , . . . , s a , gdzie s a = s'a + 1.

W dow odach w łasności k orzysta się z następujących definicji.

P odciąg zadań z s —tej sekcji w o , k tó ry nie zaw iera pierwszego zad an ia •/t7(j;_l ) ani z a d a n ia o statn ieg o Ja(j',)i będziem y nazyw ać s —tą sekcją wewnętrzną w o (przy r*) i będziem y oznaczać przez S ’s, s = 1 , 2 , . . . , s a.

P odciąg kolejnych operacji < Oa{yl_1)v, Oa(y_,+\)v, ■ ■ ■, Oa( j:-i)v> > leżących n a ścieżce k rytycznej w <r (przy r*), wykonyw anych n a tej sam ej m aszynie M„ (gdzie j's_ 1 i j't są kolejnym i p ozycjam i ścieżek krytycznych w C P a),będziem y nazyw ać s —ty m segm entem operacji n a m aszynie M v i oznaczać przez 0 5 “.

A nalogicznie do definicji w ew nętrznej sekcji, podciąg operacji z 0 5 ”:

(^«X¿í_l+l)v> ,+2)ui • • • l ^ ( g - l ) v )

będziem y nazyw ać s —ty m w ew nętrznym segm entem operacji n a m aszynie M v w o (przy r ’ )-

W ł a s n o ś ć 3 . D la każdej kolejności zadań a istnieje optym alny przydział zasobu r* (posiadają W łasność 2), któ ry dla każdego wewnętrznego segm entu w o , m inim alizuje wartość, bę

dącą sum ą czasów w ykonania jego operacji.

Inaczej m ów iąc, d la każdego a istn ieje r* ta k i, że dla każdego w ew nętrznego segm entu (w a p rzy r*) całkow ita ilość zasobu przydzielonego do jego operacji je st jednocześnie przyd zielo n a o p ty m a ln ie ze względu n a długość ścieżki złożonej z tych operacji.

W ł a s n o ś ć 4 . Jeśli ciąg ir byl uzyskany przez zam ianę kolejności wykonania zadań w w ew nętrznej sekcji ciągu er, to M(7T,r*) > M ( o ,r " ) .

A nalogicznie ja k W łasność 4, m ożna udow odnić, że zachodzi n astęp u jąca własność

(6)

A. Ja n iak , F. Kobylański

W ł a s n o ś ć 5 . Jeśli ciąg ~ został o trzym a n y z ciągu o

• przez przeniesienie zadań z pierw szej w ewnętrznej sekcji S \ w o przed pierwsze zadanie z S i , lub

• przez p rzeniesienie zadań z osta tn iej wew nętrznej sekcji S '1<r w a za ostatnie zadanie z~SSe, to

M ( x ,r 'T) > M (o , r'a ).

Pow yższe własności zo stan ą u ży te w algorytm ie genetycznym zarów no w fazie krzy

żówki, ja k i m utacji.

4 . O pis im p le m en ta c ji a lg o ry tm u g e n e ty c z n e g o

P rzed staw im y te ra z ogólny schem at algorytm u genetycznego, a następnie dla każdego z jego faz, za proponujem y różne możliwości im plem entacji. Część z nich zo stała przetesto w an a podczas ek sp ery m en tu obliczeniowego, którego wyniki przedstaw im y w następnej części.

W fazie krzyżów ki i m u ta cji, po za klasycznym i podejściam i znanym i z lite ra tu ry [5], w ykorzystaliśm y własności problem u opisane w poprzedniej części.

W ogólnym schem acie algorytm u używ am y chrom osom ów, będących p erm u tacjam i indeksów zadań. D la każdego chrom osom u zn ajd u jem y opty m aln y przydział zasobu (tzn . m in im alizu jący całSswity czas realizacji) przez zastosow anie algorytm u H arnachera i T u fek cie;

[7]-

4 .1 . O góln y sch em a t alg o ry tm u

Ogólny sc h em a t alg o ry tm u zapisać m o żn a następująco:

1. N := 0;

2. Faza inicjowania;

3. Faza przetrw ania:

4. Faza krzyżówki;

5. N := N + l;

6. Faza mutacji;

7. Jeśli n ie je s t spełniony warunek zakończenia, to przejdź do kroku 3;

S. Faza analizy,

W koleinvch p o d p u n k ta c h opiszem y poszczególne fazy algorytm u.

(7)

A lgorytm genetyczny rozw iązujący przepływowy problem obsiugi z zasobam i 105

4.2. Faza in icjow an ia

T w orzym y początkow ą populację przez pozostaw ienie co najw yżej Q chromosom ów z najlepszym i wartos'eiami k ry teriu m , któ re otrzy m an e były przez iterow anie algorytm ów przybliżonych D an n en b rin g a [3], C am pbella e t al. [2] i N awaza [10].

O gólny sch em at iteracji zapisać m ożna n astępująco:

1. za p om ocą algorytm u H arnachera i T ufekciego przydziel o ptym alnie zasób dla chrom osom u ( 1 , 2 , . . . , n ),

2. z n a jd ź z a pom ocą algorytm u przybliżonego (D annenbringa, C am pbella e t al. lub N aw aza) ta k ą kolejność zadań, by całkow ity czas realizacji, obliczony d la o statniego przy d ziału zasobu, był m inim alny,

3. d la kolejności zadań z poprzedniego kroku znajd ź optym alny przydział zasobu, i jeśli całkow ity czas realizacji popraw ił się, to przejdź do kroku drugiego.

4.3. Faza p rzetrw a n ia

Je st wiele możliwości definiow ania fazy p rzetrw ania ([4], [5]). O program ow aliśm y dwie z nich*.

• d e t e r m i n i s t y c z n a f a z a p r z e t r w a n i a : zachow ujem y co najw yżej Q chrom osom ów z n ajle p sz ą w artością k ry teriu m ,

• lo s o w a f a z a p r z e t r w a n i a : chrom osom m a tym większe praw dopodobieństw o przetrw aj im lep szą m a w artość k ry teriu m . P raw dopodobieństw o to je st równe:

A C T U A L W O R S T - c r ite rio n Q x A C T U A L W O R S T - A C T U A L S U M '

gdzie A C T U A L W O R S T je s t najdłuższym czasem realizacji wśród w szystkich czasów o dpow iadających chrom osom om bieżącej populacji, Q je st rozm iarem bieżącej populacji, A C T U A LS U M je s t su m ą czasów realizacji d la wszystkich chromosom ów w bieżącej populacji, a c r ite r io n je st czasem realizacji dla kolejności zadań opisanej danym chrom osom em .

4.4. Faza k rzy żó w k i

Spośród całej p o pulacji w ybieram y C p ar rodziców (odrzucam y pary złożone z jednakow ych chrom osom ów) i tw orzym y C p a r potom ków . Poprzez analogię do koligacji rodzinnych, jednego z rodziców zw ykło się nazyw ać ojcem , a drugiego m a tk ą, ja k również jednego z potom ków nazyw a się synem , a drugiego córką.

P o dobnie ja k w fazie p rze trw a n ia praw dopodobieństw o wylosowania chrom osom u u- zależniam y od wielkości k ry teriu m .

W ek sperym encie obliczeniow ym użyliśm y dwóch sposobów krzyżow ania:

(8)

106 A. Jan iak , P. Kobylański

• k r z y ż ó w k a k la s y c z n a p o legająca n a podzieleniu chromosom ów rodziców n a dwie części (rozm iar pierwszej części je s t w ybierany losowo i jednakow y dla obu rodziców ).

P otom ków o trzy m u je się poprzez połączenie pierwszej części chrom osom u o jca z d ru g ą częścią chrom osom u m a tk i (u syna) i odpow iednio u córki, pierwszej części chrom osom u m a tk i z d ru g ą częścią chrom osom u ojca. Pow stałe w te n sposób chromosomy m ogą nie być popraw nym i p erm u tacjam i. W tak im p rzypadku p ow tarzające się elem enty zam ien ia się n a te, k tó re w p erm u tacji nie w ystępują;

• k r z y ż ó w k a s p e c j a l n a p o legająca n a pozostaw ieniu n a swoich pozycjach w chromosom ie sy n a tych zadań z chrom osom u ojca, k tóre leżą n a pozycjach krytycznych (odpow iednio w chrom osom ie córki z chrom osom u m a tk i). P ozostałe zadania pozostaw iam y na swoich pozycjach z p raw dopodobieństw em 1 /2, n ato m ia st wolne pozycje uzupełniam y ty m i zad an iam i z chrom osom u drugiego rodzica, któ re nie pozostały w chrom osom ie.

4.5. Faza m u ta cji

O program ow aliśm y wiele technik m u tacji, je d n a k w eksperym encie obliczeniow ym uży

w am y dwóch;

• m u t a c j a k la s y c z n a p o legająca n a losowym w yborze dwóch zadań i zam ianie ich m iejscam i w chrom osom ie (p odobna do operacji sąsiedztw a używanej w sym ulow anym w yżarzaniu lub T abu Search [4]),

• m u t a c j a sp e c ja ln a ,lo so w e przeniesienie losowo w ybranego zad an ia poza sekcję, w której się znajdow ało.

4.6. W arunek zak oń czen ia

A lgorytm m oże być z a trzy m a n y po osiągnięciu zadanej liczby iteracji, po w ykonaniu określonej liczby iteracji b ez popraw y k ry te riu m lub po upływ ie zadanego czasu. W ek sperym encie obliczeniow ym przyjęliśm y, że algorytm będzie kończył pracę po 50 iteracjach.

4.7. Faza a n a lizy

P odczas p rac y p rogram u, będącego im p lem en tacją algorytm u genetycznego, zb ieran e są d a

ne o p opulacjach, k tó re p o w sta ją w kolejnych iteracjach. W fazie analizy inform acje te p rzetw arzan e są prostym i m eto d am i staty sty czn y m i i prezentow ane w form ie raportów .

5. E k sp e r y m e n t o b licz en io w y

5.1. O pis e k sp e ry m en tu

W ek sperym encie w szystkie przykłady problem u składały się ze s tu operacji i podzielone były ze względu n a liczbę m aszyn i zadań n a dw a typy;

1. m = 10, n = 10,

(9)

2. m = 5, n = 20.

K ażdy przy k ład problem u uależał do jednej z trzech rodzin problem ów;

1. w szystkie o p eracje n a jednej losowo wybranej m aszynie zależą, od zasobu, 2. w szystkie o p eracje n a dwóch losowo w ybranych m aszynach zależą od zasobu, 3. w szystkie o p eracje n a trzech losowo w ybranych m aszynach zależą od zasobu.

Czas każdej operacji opisany był m odelem liniowym p = b — ar, r € [a,/?],

przy czym d la każdej operacji a = 0, n ato m ia st /? = 1)jeśli o p eracja zależała od zasobu lub /? = 0 w przeciw nym przypadku.

W śród przykładów problem u wydzielić m ożna dwie grupy:

1. z p a ra m e tre m b będącym losową liczbą całkow itą z przedziału [1,9], 2. z p a ra m e tre m b będącym losową liczbą całkow itą z przedziału [5,9].

W obu gru p ach p a ra m e tr a je s t losową liczbą całkow itą z przedziału [ l,m a x ( l,6 — 1)].

Ze w zględu n a całkow itą ilość zasobu R przykłady problem ów podzielić m ożna n a trzy g rupy;

1. o niskim poziom ie zasobu, 2. o śred n im poziom ie zasobu, 3. o w ysokim poziom ie zasobu.

A

W artości R w zależności od rodziny, ty p u oraz poziom u zasobu są n astęp u jące ;

A A A

• ro d zin a 1, ty p 1: R = 1, R — 5, R = 9,

• ro d zin a 1, ty p 2: R = 2, R = 10, R = 18,

• ro d zin a 2, ty p 1: R — 2, R = 10, R = 18,

• ro d zin a 2, ty p 2: R = 4, R = 20, R = 36,

• ro d zin a 3., ty p 1: R = 3, R — 15, R = 27,

• ro d zin a 3, ty p 2: R — 6, R — 30, R = 54.

Mnożąc przez siebie liczbę grup, rodzin i typów, otrzym ujem y 36 kategorii przykładów . E k sp ery m en t nasz polegał n a rozw iązaniu pięciu losowo wygenerowanych przykładów z każdej z 36 kategorii (razem 180 przykładów ), za pom ocą czterech różnych im plem entacji algorytm u genetycznego:

(10)

108 A. Ja n iak , P. K obylański

• R C R M z losową krzyżów ką i losową m utacją,

• R C S M z losową krzyżów ką i sp ecjalną m utacją,

• S C R M ze specjaln ą krzyżów ką i losową m utacją,

• S C S M ze sp ecjalną krzyżów ką i specjalną m utacją.

Za każdym razem m aksym alny rozm iar populacji równy byl 50, a obliczenia kończyły się po 50 iteracjach.

5 .2 . W y n ik i e k sp ery m en tu

W praw ie w szystkich obliczonych p rzykładach zaobserwowaliśmy popraw ę m aksym alnego czasu zakończenia w stosunku do populacji początkowej, generowanej za p om ocą znanych h eu ry sty k D annenbringa, C am p b ella e t al. i Nawaza. M im o że popraw a była niewielka (średnio o 0.63% ), to d opatrzeć się m ożna tu pew nych prawidłowości.

Lepszą popraw ę (średnio o 0.96% i m aksym alnie o 3.45%) o trzy m u je się stosując algorytm genetyczny R C S M (z losową krzyżów ką i specjalną m u tacją) niż w przy p ad k u pozostałych trzech algorytm ów .

6 . W n io sk i

E k sp ery m e n t obliczeniowy pokazał p rzydatność zastosow ania algorytm ów genetycznych w rozw iązyw aniu problem ów szeregow ania zadań z uwzględnieniem zasobów. P otw ierdził słu

szność doboru m u ta cji specjalnej i skierował naszą uwagę n a poszukiw anie lepszej krzy

żówki niż ta , k tó rą stosow aliśm y w eksperym encie.

L IT E R A T U R A

[1] B aker K .R .: A co m p arativ e stu d y of flow-shop algorithm s. O pns. Res. 23, 1975, 62.

[2] C am pbell H .G ., D udek R .A ., S m ith M .L.: A h eu ristic algorithm for th e n job, m m achine sequencing problem . M gm t. Sci., 16, 1970, B6 30-B6 37.

[3] D annenbring D .G .: A n evaluation of flow-shop sequencing heuristics. M gm t. Sci., 23, 1977, pp.1174-1182.

[4] D avis L.: H andbook of G enetic A lgorithm s, ed. Van N o strand R einhold, New York, 1991.

[5] G oldberg D .E .: G enetic A lgorithm s in Search, O ptim ization an d M achine Learning.

A ddison Wesley, M ass. 1989.

[6] G rabow ski J ., S kubalska E. an d Sm utnicki C.: O n flow-shop scheduling w ith release and due d a te s to m inim ize m ax im u m lateness. J. Opl. Res. Soc., 34, 1983, 615.

(11)

[7] H am acher H .W ., Tufekci S.: A lgebraic flows and tim e-cost tradeoff problem s. A nnals of D iscrete M a th ., 19, 1984, p p .165-182.

[8] Ja n iak A.: T w o-m achine p e rm u ta tio n flow-shop problem w ith transferable resource.

Technical R e p o rt of I n s titu te of Engineering C ybernetics Techn. Univer. of W roclaw (w d ru k u ), 1987.

[9] Lageweg B .J., J.K . L en stra and A .H .G . Rinnooy Kan: A general bounding schem e for th e p e rm u ta tio n flow-shop problem . O per. Res., 26, 1978, 52.

[10] N aw az M ., E nscore E .E . J r., H am I.: A heuristic algorithm for th e m -m achm e n-job flow-shop sequencing problem . O M EG A 11, 1983, pp.91-95.

Recenzent: P rof.dr hab.inz. K onrad W ala W plynqlo do R edakcji do 30.04.1994 r.

A b s t r a c t

T h e p a p e r deals w ith a p e rm u ta tio n flow-shop problem w here th e processing tim es of th e jobs on som e m achines axe linear, decreasing functions w ith respect to th e am o u n t of continuously-divisible, nonrenew able, locally and totally constrained resources (e.g.

energy, ca ta ly ze r, raw m a teria ls). T h e purpose is to find a processing order of jobs (the sam e on each m achine) and a resource allocation th a t m inim ize th e length of th e tim e required to com plete all jobs, i.e. m akespan. Since th e problem is strongly N P - h ard , some h eu ristic alg o rith m of a g enetic ty p e was applied to solve it. T his algorithm strongly em ploys som e su b sta n tia l p roblem p roperties th a t were presented. T h e results of som e co m p u tatio n al ex p e rim en t are also included.