Siatki dwuwarstwowe opracowane na podstawie tetraedru

Seria: G E O M E T R IA I G RA FIK A IN ŻY N IERSK A z.3 N r kol. 1453

Jarosław Z. M IRSK I

K atedra A rchitektury i O chrony B udow li Zabytkow ych P olitechnika Św iętokrzyska, K ielce

S IA T K I D W U W A R S T W O W E

O P R A C O W A N E N A P O D S T A W IE TE T R A E D R U

S tre sz c z e n ie . W pracy przedstaw iono trzy sposoby podziału trójkąta sferycznego, które p o zw alają z 4-ścianu forem nego otrzym ać w ielościany pochodne o w iększej liczbie ścian.

L iczby ścian generow anych w ielościanów ujęto w tabele system atyzujące. Pokazano sposoby tw orzenia w ielościanów prototypow ych dla konstrukcji dw uw arstw ow ych w zależności od rodzaju przekształcenia i sposobu ustaw ienia w zględem osi środkow ej.

G E N E R A T IO N T W O L A Y E R N E T W O R K S O F A T E T R A E D R

S u m m a ry . In this w ork are presented 3 kinds o f division o f a spherical triangle that enable to get from the regular 4-polyhedron derivated polyhedrons w ith b ig g er am ount o f walls.

T hey w ere presented w ays o f generating for prototype polyhedrons for tw olayer constructions depending from the kind o f transform ation and the w ay o f setting in relation to the centre axis.

1. W P R O W A D Z E N IE

Praca dotyczy siatek dw uw arstw ow ych, które m o g ą stanow ić zasad ę geom etryczną konstrukcji przekryć: kratow nic, tarczow nic itp. Trójkąty rów noboczne stanow iące ściany czw orościanu forem nego, są dzielone na m niejsze trójkąty jed n y m z trzech podanych sposobów . P rzyjęto do rozw ażań podział trójkątów płaskich zam iast sferycznych, ja k to zaproponow ał T. T arnai w pracy [1], N um eryczne obliczenie punktów podziału każdej kraw ędzi w ym aga na w ejściu w spółrzędnych sferycznych jej początku i końca. Podział kątów w idzenia każdej kraw ędzi ze środka sfery pozw ala obliczyć długości kraw ędzi trójkątów m niejszych. W otrzym anej siatce sferycznej łuki okręgów zastępow ane s ą cięciw am i, co daje pew ien w ielościan w pisany w sferę. W ielościan ten poddaw any je s t dalszym przekształceniom , co w konsekw encji prow adzi do skonstruow ania siatki dw uw arstw ow ej.

L iczby ścian generow anych w ielościanów ujęto w tabele system atyzujące.

9 4 J .Z . M ir s k i

2. Z A S A D Y P R Z E K S Z T A Ł C A N IA W IE L O Ś C IA N Ó W

W prow adzając uproszczenie polegające na rozpatrzeniu zagadnienia interpolacji trójkąta płaskiego, odpow iadającego krzyw oliniow ej siatce w ielościanu, z elem entów trójkąta rów nobocznego siatki w yjściow ej m ożna zbudow ać, m etodą podziałów , kolejne trójkąty m niejsze.

Siatka trójkątów m ałych pow inna przy tym spełniać w arunki [2], [3]: 1) elem entem siatki je s t m ały trójkąt rów noboczny o stałej pow ierzchni, 2) podział trójkąta w yjściow ego na małe oczka m usi być liczbą całkow itą, 3) siatki w ykreślone na ścianach 4-ścianu pow inny być spójne, tzn. linie siatek pow inny schodzić się na kraw ędziach 4-ścianu, a oczka położone na obu ścianach o w spólnej kraw ędzi pow inny stanow ić trójkąt rów noboczny.

R ys. 1. T rzy sch em aty p o d ziału trójkąta ró w n o b o czn eg o F ig .l. T h ree sch em es o f equilateral triangle division

Trzy sposoby podziału trójkąta przedstaw iono schem atycznie na rys. ł na płaskiej siatce trójkątów rów nobocznych, pow stałej z rów no oddalonych od siebie trzech grup prostych rów noległych, przecinających się pod kątem 60°.

W ielościany, których budow a w ynika z I rodzaju przekształcenia, m ają schem aty podziału trójkąta zbudow ane z trzech rodzin prostych rów noległych do boków tego trójkąta.

W II przekształceniu schem aty podziałów trójkątów są siatkam i zbudow anym i z trzech rodzin prostych rów noległych do trzech w ysokości tych trójkątów . Przy zetknięciu trójkątów bokam i oczka siatki uzupełniają się w przypadku tej środkow ej sym etrii.

T rzeci rodzaj podziału obejm uje przekształcenia w ielościanów praw ych i lewych, zw anych w ielościananti dw ukrotnym i [1]. W ielościany te p o w stają przez podział rów nobocznych trójkątów w yjściow ych trzem a rodzajam i prostych rów noległych do odpow iednich prostych, łączących określony punkt podziału boku trójkąta z przeciw ległym w ierzchołkiem tego trójkąta.

J. Fuliński podał i udow odnił w pracy [2] następujące tw ierdzenie: jeże li bok trójkąta rów nobocznego o w ielkości n na rys. 2 podzielim y w stosunku k : (n - k) i punkt A 3 dzielący bok połączym y z przeciw ległym w ierzchołkiem , otrzym am y odcinek d, którego kw adrat rów ny je s t kw adratow i boku trójkąta n 2 pom niejszonego o iloczyn odcinków k(n - k):

d 2 = n2 - k(n - k) = n2 + k 2 - n • k

W zór w yraża zatem liczbę oczek (w trójkącie przekształconym ) o bokach o dłu­

gości w ynikłej z podziału na rów ne części.

W trzecim sposobie podziału „liczbę oczek”

otrzym ujem y dodając „u łam k i” trójkątów rów nobocznych. P odział na ścianie czw o­

rościanu m oże składać się z różnych trójkątów i czw orokątów , zaś ich sum a zaw sze daje całk o w itą liczbę trójkątów rów nobocznych.

W zór na liczbę ścian w czw orościanie otrzym ujem y w ięc po przem nożeniu liczby oczek w trójkącie przez cztery. Podstaw iając w ów czas w e w zorze kolejne liczby naturalne za n i k, otrzym am y tabelę 1, odzw ierciedla­

ją c ą w ielościany pow stałe w trzech rodza­

jach przekształceń.

N a podstaw ie analizy tabeli 1 dochodzim y do w niosku, że istnieją tylko dw a przek­

ształcenia w ielościanów o ścianach z trójkątów rów nobocznych. Pierw sze przekształcenie w yraża się wzorem:

N = 4 • n 2

(gdzie: n je s t k o lejn ą liczbą naturalną) i przedstaw ia układ w ielościanów jednokrotnych:

4-, 16-, 3 6 -ś c ia n ,... itd., dzieląc tabelę na dw ie trójkątne, sym etryczne części.

D rugie przekształcenie, w yrażone w zorem : N = 4 ■ 3 ■ n 2, zaw iera w ielościany także je d n o k ro tn e (oznaczone kropką): 12-, 48-, 108-ścian, ... itd., leżące na dw usiecznej tej trójkątnej tabeli, któ rą dzieli sym etrycznie.

P ow yżej i poniżej tej dw usiecznej są dw ie rodziny w ielościanów dw ukrotnych.

W ielościany dw ukrotne, czyli w ielościany praw e i lew e, m ają tę sam ą siatkę ze w zględu na lustrzane odbicie siatek w rozw inięciu, przy czym przez nazw ę siatki rozum ie się rozw inięcie ścian w ielościanu na płaszczyznę.

W tabeli m ożna także w yodrębnić w ielościany - nazw ijm y je um ow nie w ielościanam i

„translacyjnym i” - pochodzące z podw ojenia liczb n i k w podanym w zorze. Przykładem dw ukrotnych w ielościanów „translacyjnych” są w ielościany:

28-ścian (n = 2, k = 3) i 1 12-ścian (n = 4, k = 6), 52-ścian (n = 3, k = 4) i 208-ścian (n = 6, k = 8)

N a rysunku 3 pokazano, dla przykładu, po cztery kolejne rozw iązania podziałów trójkąta sferycznego na trzech w spółw ierzchołkow ych ścianach czw orościanu forem nego dla w ym ienionych trzech grup przekształceń.

R ys. 2. R y su n ek d o tw ierd zen ia w tekście F ig .2. F ig u re to th eo rem in the text

T rójkątna tab ela w ielościanów tw orzo n y ch z 4-ścianu forem nego w trzech przekształceniach

T a b e la 1

§ " k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 4 12* 28 52 84 124 172 228 292 364 444 532 628 732 844 964 2 12 16 28 4 8 ' 76 112 156 208 268 336 412 496 588 688 796 912 3 28 28 36 52 76 108* 148 196 252 316 388 468 556 652 756 868 4 52 48 52 64 84 112 148 192* 244 304 372 448 532 624 724 832 5 84 76 76 84 100 124 156 196 244 30Cf 364 436 516 604 700 804 6 124 112 112 124 144 172 208 252 304 364 432* 508 592 684 784 7 172 156 172 196 228 268 316 372 436 508 588* 676 772

8 228 256 292 336 388 448 516 592 676 768*

9 324 364 412 468 532 604 684 772

10 400 444 496 556 624 700 784

11 484 532 588 652 724 804

12 576 628 688 756 832

13 676 732 796 868

14 784 844 912

15 900 964

16 1024

R ys. 3. P rzy k ia d y k o lejn y ch ro zw iązań trzech sp o so b ó w p o d ziału tró jk ąta sfe ry c zn e g o n a trzech przyw ierz- c h o lk o w y ch ścian ach 4 -ścian u forem nego. O zn aczen ia liczb: w liczn ik u p o d a n o w ielościan, w m ian o w n ik u - ilość tró jk ątó w m ały ch w y n ik ły ch z p o d ziału i p rz e m n o ż o n y ch p rz e z cztery ściany 4 -ścian u

F ig .3. E x a m p le s o f fo llo w in g so lu to n s for th ree k inds o f d ivisions o f a sp h erical tran g le on th re e w alls at the v e rtices o f th e re g u la r te trah ed ro n . N u m b e r signs: the p o ly h ed ro n as a n u m erato r; as a d en o m in ato r the n u m b e r o f sm all trian g les co m in g from the div isio n m u ltip licated b y th e 4 w alls o f the tetrah ed ro n

U kład w ielościanów generow anych z 4-ścianu forem nego w g kolejności liczby ścian

T a b e la 2

\o

c c

R O D Z A J E P R Z E K S Z T A Ł C E Ń / K I N D S O F T R A N S F O R M A T I O N S

¡ R O D Z A J / ! K I N D U R O D Z A J / I i K I N D I I I R O D Z A J / I I I K I N D

WIELOSCIANWYJŚCIOWY INITIALPOLYHEDRON V WIELOSCIAN PRZEKSZTAŁCONY z CONVERTEDPOLYHEDRON

S I A T K A M A C I E R Z Y S T A W I E L O Ś C I A N U P R Z E K S Z T A L C O N E G O

B A S I C N E T W O R K O F T H E C O N V E R T E D

P O L Y H E D R O N

L-WIELOSCIANPRZEKSZTAŁCONY 'zCONVERTEDPOLYHEDRON

S I A T K A M A C I E R Z Y S T A W I E L O Ś C I A N U P R Z E K S Z T A Ł C O N E G O

B A S I C N E T W O R K O F T H E C O N V E R T E D P O L Y H E D R O N

P o

P O

£ a _ 0- o

5 “

< cc o LU 1/1 >

o z - J O u o

=;

4 - N 3

S I A T K A M A C I E R Z Y S T A W I E L O Ś C I A N U W Y J Ś C I O W E G O

B A S I C N E T W O R K 0 F T H E I N I T I A L

R 0 L Y H E D R 0 N

S i A T K A M A C I E R Z Y S T A W I E L O Ś C I A N U P R Z E K S Z T A Ł C O N E G O

B A S I C N E T W O R K O F T H E C 0 N V E R T E 0 P O L Y H E D R O N

3 N - 4 - 3

5 N N . . 2

2 z ł f - 2

N . 3

N ,

■ S * " 2

il o s e a q u a n i t i t y

i l o ś ć s ~ \ q u a n i t i t y

i l o ś ć A q u a n i t i t y 4—^

i l o ś ć A q u a n i l i t y Zj

l l O ś ć / —V q u a n i t i t y U

i l o ć ć A q u a n i t i t y Z —A

¡ l o s t / ~ \ q u a n i t i t y

i l o ś ć A q u a n i t i t y Z—Y

i l o ś ć A ą u o n i t i t y LA

i l o ś ć / ~ \ q u a n i t i t y ^

4 12 L 0 1 6 4 4 0 - - - - - -

12 3 6 L 4 4 8 4 1 2 4 16 4 0 4 4 0

15 4 6 L 5 5 4 4 1 6 6 - - - - ■ - —

2 8 8 4 L 12 1 1 2 4 2 0 12 - - - - - -

3 5 1 0 6 L _{1 5} 14 4 4 3 5 16 4 e 4 4 4 12 L

4 6 14 4 4 2 2 1 9 2 4 4 8 2 2 6 4 4 6 ⁴ 1 6 5

5 2 1 5 6 4 2 4 2 0 8 4 5 2 2 4 - - - - - -

5 4 1 9 2 4 3 0 2 5 6 4 6 4 3 0 - - - - - -

7 5 2 2 8 L 3 6 3 0 4 4 7 6 3 5 - - - - - -

8 4 2 5 2 4 4 0 3 3 5 4 8 4 4 0 112 4 1 2 4 2 8 1 2

1 0 0 3 0 0 ⁴ 4 8 4 0 0 4 1 0 0 4 8 - - - - - -

1 0 8 3 2 4 4 5 2 4 3 2 4 1 0 8 5 2 14 4 4 1 6 4 3 6 1 5

■12 3 3 5 ⁴ 5 4 4 4 6 4 112 5 4 - - - - - -

1 2 4 3 1 2 4

--- ” ...

6 0 4 9 5 4 124 6 0 - - - — — —

J.Z. Mirski

3. TW ORZENIE SIATEK DWUWARSTWOWYCH

Z każdego w ielościanu tabeli 1 m ożna otrzym ać przez transform ację now y w ielościan. Dla w ielościanu o N ścianach m ożna ująć liczbow o przekształcenie w następujący sposób: I rodzaj przekształcenia da w ielościan o 3 ■ N ścianach, w II rodzaju przekształcenia 4 • N ścianach i w III rodzaju przekształcenia otrzym ujem y — • N ścian.4

Ze zbioru tabeli 1 utw orzono tabelę 2 szeregując w pierw szej kolum nie w ielościany wg kolejności liczby ścian. W tabeli tej podano w ielościany w g w ym ienionych trzech rodzajów przekształceń.

C hcąc teraz utw orzyć siatkę dw uw arstw ow ą poprzez odpow iednie połączenie dw óch w ielościanów zgodnie z prototypow ym i przekształceniam i, należy siatkę w ielościanu

4 w yjściow ego W połączyć zgodnie ze w zoram i: PI = 3 • W, P il = 4 • W , PIH = - - W .

P rzykłady konstrukcji dw uw arstw ow ych:

W 4 W 12 W 16 W 3 88

itd ., P I 1 2 ’ P I 3 6 ’ P I 4 8 ’ " ' ’ P I 1164

W 4 W 12 W 16 W

= — = — = — = * itd

P i l 1 6 ’ P I I 4 8 ’ P i l 6 4 ’ P i l

W W 12 W W

= * — — = * = * itd

P I H ’ P IH 1 6 ’ P IH ’ " ’ P H I

przy czym * oznacza, że przekształcenie nie istnieje.

Isto tą tabeli 2 je s t pokazanie w szystkich m ożliw ych przekształceń w ielościanów , czyli takich połączeń w ielościanów , z których otrzym uje się konstrukcje dw uw arstw ow e. Poza podanym i w tabeli, In n y ch przekształceń z 4 - ścianu forem nego nie ma. W tabeli podano w szystkie m ożliw e kom binacje.

4. KONSTRUKCJE PROTOTYPOWE

Prototypam i konstrukcji generow anych z czw orościanu forem nego są trzy przekształcenia:

przekształcenie 12-ścianu trójkątow ego w 36-ścian trójkątow y, rys.4, przekształcenie 12-ścianu trójkątow ego w 48-ścian trójkątow y, ry s.5, przekształcenie 36-ścianu trójkątow ego w 48-ścian trójkątow y, rys.6.

Schem aty na rysunku 4, 5 i 6 w ykonano przy uw zględnieniu trzech m ożliw ych ustaw ień każdego w ielościanu w zględem osi środkow ej tak, aby odpow iednie grupy w ierzchołków były na w spólnym poziom ie.

10 0 J .Z . M ir s k i

O z n a c z e n i a :

... krawędzie 4 -ścianu/edges of the 4-polyhedron, --- krawędzie 1 2- ś c ia n u / edges of the 1 2-polyhedron, --- krawędzie 8-ś c ia n u /e d g e s of the 8-polyhedron , --- tq czniki/co nn ectio ns

R ys.4. S ch em at id eo w y p ro to ty p o w eg o przek ształcen ia I rodzaju 12-ścianu w 8-ścian p ó tfo rem n y , tj. siatkę m a c ierzy stą 3 6 -ścian u tró jk ąto w eg o w trzech u staw ien iach w zg lęd em osi środkow ej

Fig.4. S ch em atic d iag ram o f the pro to ty p e first kin d tran sfo rm atio n o f the 12-p o ly h ed ro n into a h alfreg u lar 8-p o ly h e d ro n , n a m e ly basic n etw o rk o f a triangle 3 6 -p o ly h ed ro n in 3 settings in relatio n to th e sym m etry axis

a) P ie rw sz y ro d z a j p rz e k s z ta łc e n ia p ro to ty p o w e g o

P rzekształcając 4-ścian forem ny w I rodzaju, otrzym uje się w efekcie przekształcenia ten sam w ielościan. Z tego pow odu przy rozw ażaniu siatek dw uw arstw ow ych tw orzonych z 4-ścianu forem nego zachodzi konieczność posłużenia się w ielościanem o w iększej liczbie ścian. D latego ja k o prototyp I rodzaju w zięto przekształcenie 12-ścianu w 36-ścian, w g tab. 2.

D w unastościan pow staje w g II sposobu przekształcenia 4-ścianu forem nego ja k na rys. 3 przez podział w ysokościam i czterech trójkątów płaskich i w yelim inow anie siatki sferycznej tego 4-ścianu. O trzym uje się w ten sposób 12 trójkątów rów noram iennych ja k na rys. 4.

T en 12-ścian m a 8 w ierzchołków i 18 kraw ędzi. T eraz na każdej ścianie 12-ścianu trójkątow ego ustaw ia się takie ostrosłupy, których w ierzchołki leżą na w spólnej sferze tak, aby tw orzyły one po odpow iednim połączeniu cztery sześciokąty forem ne i cztery trójkąty rów noboczne. O trzym uje się w ten sposób 8-ścian półforem ny o 12 w ierzchołkach i 18 kraw ędziach. Ten 8-ścian półforem ny je s t siatk ą m acierzystą 36-ścianu trójkątow ego. Aby otrzym ać p e łn ą form ę 36-ścienną, tzn. w ielościan trójkątow y, należy 4 trójkąty rów noboczne zam ienić na 12 trójkątów rów noram iennych, a 4 sześciokąty zam ienić na 24 trójkąty rów noram ienne. Przy tej zam ianie w szystkie dodatkow e w ierzchołki w inny leżeć na w spólnej, w spółśrodkow ej sferze z w ierzchołkam i 8-ścianu półforem nego. 36-ścian trójkątow y m a 20 w ierzchołków i 54 krawędzie.

K raw ędzie ostrosłupów postaw ionych na ścianach 12-ścianu stanow ią pręty łączące dwie w arstw y, tj. w arstw ę 8-ścianu półforem nego i 12-ścianu trójkątow ego. N a rys. 4 linie przeryw ane oznaczają zarów no pręty łączące dw ie w arstw y, ja k i uzupełniające kraw ędzie, zam ieniające 8-ścian w 36-ścian trójkątow y.

W ustaw ieniu na rys. 4a je d n a ze ścian 4-ścianu forem nego je s t ustaw iona w najniższym położeniu poziom ym , a jed en z w ierzchołków 4-ścianu je s t najw yżej położony; gdy je s t na odw rót, w ów czas ustaw ienie je s t ja k na rys. 4c, tzn. poziom a ściana je s t w położeniu najw yższym , a je d e n z w ierzchołków je s t w położeniu najniższym . W ustaw ieniu ja k na rys.

4b dw ie kraw ędzie 4-ścianu są na przeciw ległych poziom ach i są do siebie prostopadłe.

b) D ru g i ro d z a j p rz e k s z ta łc e n ia p ro to ty p o w eg o

D rugi rodzaj przekształcenia 4-ścianu forem nego w 16-ścian z tab .2 rów nież nie daje czytelnego obrazu konstrukcji dw uw arstw ow ej. D latego zam iast z 4-ścianu forem nego lepiej w yjść z 12-ścianu trójkątow ego, który pow staje tak, ja k to podano w I rodzaju przekształcenia. Przez środki kraw ędzi tego 12-ścianu prow adzim y prom ienie w ilościanu i na nich w rów nych odległościach (od środka w ielościanu) obiera się w ierzchołki, które po połączeniu ja k na rys. 5 u tw orzą 20-ścian nieforem ny. Ten 20-ścian m a 4 sześciokąty pow stające w m iejsce ścian 4-ścianu, 4 trójkąty rów noboczne pow stające w m iejsce czterech w ierzchołków 4-ścianu i 12 trójkątów rów noram iennych, pow stające w m iejsce kraw ędzi 4- ścianu, ja k na rys.5.

U tw orzony 20-ścian nieforem ny je s t siatką m acierzystą 48-ścianu. Z am ieniając tę siatkę m acierzystą na 48-ścian trójkątow y, otrzym ujem y w m iejsce sześcioboków 24 trójkąty, a w m iejsce trójkątów rów nobocznych pow staje 12 trójkątów rów noram iennych.

Z godnie ze w zorem , że w ielościan przekształcony m usi m ieć 4 razy tyle ścian trójkątnych co w ielościan w yjściow y, 12-ścian trójkątow y daje 48-ścian trójkątow y z tabeli 1 i 2.

Ł ącząc odpow iednio w ierzchołki siatki 12-ściennej z siatk ą m acierzy stą 48-ścianu, otrzym ujem y k onstrukcję dw uw arstw ow ą.

N a rys. 5 linie przeryw ane są jed n o cześn ie kraw ędziam i uzupełniającym i, zam ieniającym i 20-ścian nieforem ny w 48-ścian trójkątowy.

102 J .Z . M i r s k i

krawędzie 1 2- ś d a n u / edges of the 1 2-polyhedron, krawędzie 2 0-ś c ia n u /e d g e s of the 2 0-polyhedron, łączniki / connections

R y s.5. S ch em at id eo w y p ro to ty p o w eg o przek ształcen ia II rod zaju 12-ścianu w 2 0 -ścian n ie fo rem n y , tj. siatką m a c ierzy stą 4 8 -ścian u tró jk ąto w eg o , w trzech u staw ieniach w zg ląd em osi środkow ej

Fig.5. Sch em atic d iag ram o f the pro to ty p e second k in d tran sfo rm atio n o f a 12-p o ly h ed ro n into an irregular 2 0 -p o ly h e d ro n n am ely b asic netw o rk o f a triangle 4 8 -p o ly h e d ro n in 3 settin g s in relation to the s y m m etry axis

kraw ędzie 8 -ś c ia n u /e d g e s of the 8-polyhedron, kraw ędzie 2 0 -ś c ia n u /e d g e s of the 20-polyhedron, tq c z n ik i / connections

R ys. 6. S ch em at id eo w y p ro to ty p o w eg o p rzek ształcen ia 111 rod zaju 8-ścianu p ó łfo rem n eg o , tj. siatki m acie­

rzystej 3 6 -śc ian u tró jk ąto w eg o w 20 -ścian niefo rem n y , tj. tj. siatk ę m a c ierzy stą 4 8 -śc ian u tró jkątow ego, w trzech u staw ien iach w zg ląd em osi środkow ej

F ig .6. S ch em atic d iag ram o f the p ro to ty p e sthird k in d tran sfo rm atio n o f a h a lfre g u la r 8-p o ly h e d ro n n em ely basic n etw o rk o f the trian g le 3 6 -p o ly h ed ro n into 2 0 -p o ly h ed ro n n am ely b asic n e tw o rk o f a triangle 48- p o ly h e d ro n , in 3 settin g s in relatio n s the sy m m etry axis

104 J .Z . M ir s k i

c) T rz e c i ro d z a j p rz e k s z ta łc e n ia p ro to ty p o w eg o

W trzecim rodzaju przekształcenia jak o prototyp przyjęto przekształcenie 36-ścianu trójkątow ego w 48-ścian trójkątow y zgodnie z tabelą 2.

Siatką m acierzystą 36-ścianu trójkątow ego je s t 8-ścian półforem ny, który pow staje tak jak to opisano w I rodzaju przekształcenia na rys. 4. W ielościan ten m a 8 w ierzchołków i 18 kraw ędzi. P ełn ą form ę 36-ścienną otrzym ujem y tak ja k to opisano w I rodzaju przekształcenia.

Ze środka 8-ścianu półforem nego rzucam y środki jeg o kraw ędzi, ja k na rys. 6, na w spół- środkow ą sferę (z tym 8-ścianem ), otrzym ując w szystkie 18 w ierzchołków i 36 krawędzi, pow stałego w ten sposób 20-ścianu nieforem nego, będącego siatk ą m acierzystą 48-ścianu trójkątow ego. T en 20-ścian składa się z 4 trójkątów rów nobocznych, 12 trójkątów rów noram iennych i 4 sześciokątów rów nobocznych. A by otrzym ać p e łn ą form ę 48-ścienną, tzn. w ielościan trójkątow y, należy 4 trójkąty rów noboczne zam ienić na 12 trójkątów rów noram iennych, a 4 sześcioboki zam ienić na 24 trójkąty. Przy tej zam ianie w szystkie dodatkow e w ierzchołki w inny leżeć na w spólnej, w spółśrodkow ej sferze z w ierzchołkam i wyżej podanego 20-ścianu.

K ażdem u trójkątow i 8-ścianu półforem nego odpow iada trójkąt rów noboczny siatki m acierzystej 48-ścianu. K ażdem u w ierzchołkow i 8-ścianu półforem nego odpow iada 12 trójkątów rów noram iennych siatki m acierzystej 48-ścianu.

LIT ER A TU R A

1. T am ai T.: O ptim ization o f Spherical N etw orks for G eodesic D om es. Proceedings o f the T hirol International C onference o f Space Structures, held at the U niversity o f Surrey, G uildford, UK, 11-14 Septem ber 1984

2. Fuliński J.: G eom etryczne elem enty projektow ania kratow nic pow ierzchniow ych. Zeszyty N aukow e AR. N r 64. W rocław . M elioracja XI. 1966

3. Fuliński J.: G eom etria kratow nic pow ierzchniow ych. Prace W rocław skiego Tow arzystw a N aukow ego. N r 178. 1973

4. M irski J.: Program obliczeń param etrów geom etrycznych konstrukcji prętow ych opartych na sferach. Z eszyty N aukow e AR. W rocław . G eodezja V. 1990

Recenzent: D r hab. inż. Janusz Rębelak

A b s tr a c t

The w ork presents tw o-layer netw orks w hich truss jo in ts o layr on tw o spheres o f free radiusses. E lem ents o f each netw ork correspond w ith shouders and apexes o f polyhedrons.

T he exam ple is the retrader and polyhedrones derivative w ith a bigger w a ll’s num ber. There was accepted to considerations the division o f flar triangles instead o f spherical triangles -

proposed by T. Tarnai in his w ork [1], Equilateral triangles w hich are w alls o f tetrahedron are divided into sm aller triangles, into one o f three presented exaples w ith assum ption conditions shew in th e w ork [2], [3], N um ber o f generated polyhedrons are enclosed w ith a system atic list. A nd the next there w as presented kinds o f creation prototype polyhedrons for tw o-layer constructions depending from the kind transform ation and the w ay o f setting in relation to the centre axis. T here also presented original schem es o f this netw orks.