Prace Naukowe Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Prace Matematyczne. [T.] 2

PRACE

MATEMATYCZNE

II

WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU ŚLĄSKIEGO

P R A C E M ATEM A TY C ZN E

II

PRACE NAUKOWE

UNIWERSYTETU ŚLĄSKIEGO W KATOWICACH

NR 19

PRACE MATEMATYCZNE

II

W YD A W N ICTW O U N IW ER SY T ETU ŚLĄ SK IEG O

R E D A K T O R N A C Z E L N Y

W Y D A W N IC T W U N IW E R S Y T E T U Ś L Ą S K IE G O

K a z im ie rz P o p io łe k

S E K R E T A R Z R E D A K C J I

A d a m Jarosz

R E D A K T O R W Y D A W N IC T W

W Y D Z I A Ł U M A T E M A T Y K I, F I Z Y K I I C H E M II

A u g u s t C h e łk o w sk i

R E D A K T O R T O M U

M iec zysła w K u c h a rze w sk i

W yd a w c a

U N IW ER SY TET S L Ą S K I W K A TO W IC A C H , U L. B A N K O W A 15

N a k ł a d 405+50+ 25 e g z . A r k . d r u k . 6,25. A r k . w y d . 8. P a p i e r o f f s e t o w y k l . I I I , 70X100, 70 g.

D r u k u k o ń c z o n o w m a r c u 1972 r . Z a m . 182. L -10. C e n a z ł 10,—

D R U K A R N IA U N IW E R S Y T E T U Ś L Ą S K IE G O , C H O R Z O W -B A T O R Y , U L . S T E F A N A B A T O R E G O 4

JA N A M B R O SIEW IC Z: O p e w n e j w łasności m acierzy p rze m ien n y c h . . . 7 B R O N ISŁA W A B ŁA SZC ZY K : A n o th e r p ro o f th a t a fin ite in te g ra l d om ain

is a f i e l d ... 11 E U G E N IU S Z G Ł O W A C K I: O n a p r o x im a te so lu tio n s of a n o n -lin e a r fu n c tio n a l

e q u a t i o n ...13 JE R Z Y G Ó R S K I: S o n e lo c al p ro p e r tie s of r e as, r e a4 a n d r e t s in th e

class S ... 19 W ŁADYSŁAW K IE R A T , S T E F A N IA K R A SIŃ SK A : On th e d iffe re n c e e q u a ­

tio n s of tw o v a r i a b l e s ... 25

M IEC ZY SŁA W K U C H A R Z E W S K I: L ie sch e A b le itu n g d e r T e n so rd ic h te n . . 35 M. K U C H A R Z E W SK I, S. M IDURA: U ber ein e E ig e n sch a ft der M engen von

T r a n s f o r m a t i o n e n ...43 M A REK KU CZM A : N ote on a d d itiv e fu n c tio n s of se v e ra l v a ria b le s . . . 49 M IC H A Ł LO R EN S: D if fe re n tia l c o n c o m ita n ts of th e m e tric a l te n s o r in R ie-

m a n n ia n sp aces Cn a n d S n ... 53 M IC H A Ł LO REN S: D iffe re n tia l co n c o m itan ts of th e c o v a ria n t te n so r by

w h ich fu lfils th e c o n d itio n D et b (ift j= 0 ... 57 M IC H A Ł LO REN S, G R ZEG O R Z ŁU BCZO N O K : S om e re m a rk s on p - th com ­

p o u n d s of n o n sin g u la r m a t r i x ... 65 JE R Z Y N A ZA R O W SK I: O n th e u n iq u e so lu tio n of an in fin ite sy stem of n o n -

- lin e a r in te g r a l e q u a t i o n s ... 69 M A REK RO C H O W SK I: Im m e rsio n s of tw o -m a n ifo ld s in th e E u clid ean fo u r-

- s p a c e ... 79 K A Z IM IE R Z S Y M IC ZEK : T h e in te g e r so lu tio n s of th e e q u a tio n a x 2 + b y2 +

+ cz2 — 0 in q u a d r a tic f i e l d s ... 91 JO A N N A W U W ER: O b azie f u n d a m e n ta ln e j ciała cyklotom icznego . . . 95 .JO A N N A W U W ER: O b az ie d u a ln e j do bazy po tęg o w ej c i a ł a ... 97

P R A C E N A U K O W E U N IW ER SY TETU Ś L Ą S K IE G O W K A TO W IC A C H N R 12

P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I I , 1972

JA N A M B R O SIEW IC Z

O peuinej lułasności macierzy przemiennych

N iech K n oznacza zbiór w szy stk ich m acierzy sto p n ia n, k tó re m ają tę w łasność, że su m y w y razó w każd ej k o lu m n y są rów ne. Je śli A e K n, t o przez aA oznaczam y w spólną w arto ść su m w yrazów każdej z kolum n

m acierzy A .

R. Z U R M tlH L ([1], s. 215) p o d aje n a stę p u jąc e tw ierd zenie: Jeśli A e K n, to:

(a) m acierz A m a p ie rw ia ste k c h a ra k te ry sty c z n y aA,

(b) jeśli m je s t liczbą n a tu ra ln ą , to A m e K n; p rz y ty m oA™ = (aA )m

■(c) jeśli m acierz A je s t nieosoliw a, to A-1 e K n i aA_j = (crA)_1;

(d) je śli A, B e K n, to A + B , A B e K n oraz

0 A + B — a A ~ ł ~ a B> ° A . B = O A 0 B -

O znaczm y przez W„ zbiór w szy stk ich m acierzy stop nia n, k tó re m ają tę w łasność, że su m y w yrazó w każdego w iersza są rów ne:

&kj> i, k 1, . . . , n.

j = 1 i = 1

W zw iązku z cy to w an y m w yżej tw ierd zen iem p o w sta je p y tan ie , k ied y m acierz B p rze m ie n n a z m acierzą A e W n tak ż e należy do W„. Udow od­

n im y tu ta j n a stę p u ją c e tw ierd zen ie, k tó re po d aje w a ru n k i w y starczające na to, b y m acierz p rze m ie n n a z A e W n tak ż e należała do Wn.

TW IER D ZEN IE 1. N iech A e Wn i niech su m a e le m e n tó w każdego w iersza m a c ie rzy A będzie ró w n a a. Jeśli B je s t macierzą p rzem ienną z A i spełnione są następujące w a ru n ki:

(1) rząd ( A ~ a E ) = n -k, 1 ^ k ^ n, gdzie E — m acierz jednostkow a;

(2) istnieją różne liczby naturalne w\, . • . , w k, 1 ^ w t < n, takie, że (2a) z k o lu m n m a c ie rzy A — aE o n u m e r a c h ró żn yc h od w l t . . . , w k'

m ożna w y b r a ć m in o r stopnia n - k r ó ż n y od zera,

(2b) w m a cierzy B s u m y e le m e n tó w w wierszach o wskaźnikach.

W\ w h są r ó w n e , to B e W„.

D o w ó d . N iech A = (7%), B = fbyj. W d alszym ciągu w sk aźnik i i, j, p, q p rzeb ieg ają zaw sze zbiór 1, 2... n i w zw iązku z tym będziem y pom ijać dla ty ch w skaźników oznaczenia ty p u i = 1, 2, . . n. Z za­

łożenia m am y A B = B A , zatem 2 apibiq = 2 bpiaql, stą d 2 2 apiblq —

i i q i

= 2 2 bpiaiQ. Z m ieniając tu ta j kolejność sum ow ania otrzym ujem y

q » 2 dpi 2 biq 2 bpi 2 CLiq.

i q i q

U w zględniając, że 2 aiQ = a, o trzy m am y

(

3

i q i

W prow adzając oznaczenia

(4) A-ij dij d<5y, 2 bpi — Pp

i

gdzie bij oznacza sym bol K ro n eck era, o trz y m u je m y z (3)

(5) 2 A u fij — 0.

i

P o tra k tu jm y (5) jako jed n o ro d n y u k ład ró w n a ń liniow ych o n iew iado­

m y ch /?,. W yznacznik m acierzy tego u k ła u

= | (Aij) | = |A — aE\ = 0

n a po d staw ie założenia (1), zatem u k ład (5) m a rozw iązanie niezerow e Z założenia (1) rząd (Ay) = rząd (A — aE) = n -k , zatem o d rzu c a ją c z u k ład u (5) pew ne k ró w n a ń o trzy m am y u k ład rów now ażny

(6) 2 A imj fi) = 0, m = 1, 2, n-k.

i

W układzie (6) przenosim y na p raw ą stro n ę niew iadom e p,Dl i o trz y m u je m y

n - I; k

(7) A i mjs Pjs = — A i mwr $m~> m — 1, 2 , . . n-k.

S — i T = 1

N a po d staw ie założenia (2a) m am y:

&n-k = | (Ajmjs) | = |K ;t , . . . , K jn_ k j 0,

gdzie K jt oznacza s -tą k olu m n ę m acierzy (A lmjs ). S to su jąc w zory C ra - m era do u k ła d u (7) o trz y m u je m y

I K j K j , . . . , K j ,1

(8) ^ , * = 1, 2, . . . , n-k ,

A n - k

k

gdzie K< oznacza k o lu m n ę o w y ra z ac h — > A,. m

/ j m rur w r T - 1

N a p o dstaw ie (4) i założenia (2b) m am y / ^ = . . . = pWf: — P, zatem z (8) o trz y m u je m y

IK } K i , , . . . , K } ,1

(9) pu = ^ 0, s = 1, 2, , n -k ,

t*n-k

k

gdzie K j oznacza k o lu m n ę o w y ra z ac h — ^ A mWr. O d ejm u jąc w w yz- r = 1

naczniku, w y stę p u ją c y m w liczn iku w zorów (9), od s-te j k o lu m n y w szy st­

kie pozostałe o trz y m u je m y w w ierszu o w sk aźn ik u im elem ent:

k n — k

~ ^ A immr — ^ A i mjr = — 2 ^ ‘mJ ~ ^ ‘mh ~ &imi + 2 8 °imJ

r 1 r = 1

rzjhs

= A ‘mi, - a + a =

A w ięc po ty m p rze k sz ta łce n iu w y zn aczn ik w liczn ik u (9) je s t id en ty c zn y z źln-fc, i w obec tego z (9) o trz y m u je m y p} = p, s = 1 , 2 , . . . , n -k , co k o ń ­ czy dow ód tw ierd z en ia 1.

Poniższy p rz y k ła d pokazuje, źe je śli są spełnione w szystk ie założenia tw ierd z en ia 1 z w y ją tk ie m (2b), to teza m oże nie zachodzić.

D la m acierzy

2 3 5\

. 4 = | 8 7 - 5 8 — 3 5 1

m am y a = 10, rząd ( A — 10E) = 1, tzn. k = 2. M acierz 1888 - 348 2220 \

II

B = | 2232 443 1805 1656 - 813 2485 /

je s t p rze m ie n n a z A , ale B £ W3. T ak w ięc założenie, że B je st p rzem ien na z A e W n n ie w y sta rc z a n a to, b y B e W n.

Z tw ierd z en ia 1 w y n ik a od raz u

TW IER D ZEN IE 2. Jeśli B jest- macierzą 'przemienną z A e W , i rząd ( A —aE) = n - 1, to B e W „ .

Założenia tw ierd z en ia 2 są w szczególności spełnione d la m acierzy A e W„, k tó ra m a e le m en ty n ieu je m n e i je s t nierozkładalna. Je śli bow iem rząd (A — aE) < n-1, to a je s t p ierw ia stk iem w ie lo k ro tn y m m acierzy A, podczas g dy z [2], s. 355 w iem y, że m ak sy m a ln y p ie rw ia ste k c n ie m oże być p ie rw ia stk ie m w ielo k ro tn y m .

Z tw ierd z en ia 1 w y n ik a też n a stę p u jąc y

W N IO SEK . J e ś li B je s t macierzą p rzem ie n n ą z A e W n i w s z y s tk ie m in o r y stopnia n - k w p e w n y c h n - k w ierszach m ac ie rzy A — aE są róż­

ne od zera, to B e W n w t e d y i ty l k o w te d y , gdy w B istnieje k w ierszy, w k tó r y c h s u m y e le m e n tó w są równe.

L IT E R A T U R A

[1] R. Z u r m ii h 1 -.M atrizen u n d ih re te c h n isc h e A n w e n d u n g e n , B e rlin -G o ttin g e n - H e id e lb e rg 1961.

[1] ¢ . P. T A H T M A X E P : T eo p u n Marpuv,, MocKBa, 1966.

JA N A M B R O SIEW IC Z

O H EK O TO PO M CB O UCTBE IIE P E M E H H b lX M ATPM II

C o s e p 3K a h u e

A b to p f lO K a 3 a ji flBe TeopeMti, b k o to p m x s a j i y c JiO B M a, K a i c n e flO JiJK H b i n c n o j i -

h h t ł MaTppipbi A m B HToSbi MaTpwija B nepeMeHHaa c A MMejia cyMMbi ajieMen- to b B c e x crp oK p a B H b i e . IIpe^nojiaraeT ca, h to MaTpmna A n aieer cyMMbi c tp o k

p a B H b i e .

O ddano do R e d a k c ji 1. 8. 1969

P R A C E N A U K O W E U N IW ER SY TETU ŚLĄ S K IE G O W K A TO W IC A C H N R 12

P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I I , 1972

B R O N ISŁ A W A BŁA SZC ZY K

Another proof that a finite integral domain is a field

In m a n y books w e can fin d p roofs of th e th e o re m on fin ite in te g ra l dom ains an d a ll proofs r u n ex a ctly as, fo r exam ple, in th e B IR K H O FF and M cLA N E’S S u rv e y of M od ern A lg eb ra (ch. II, §3).

It m ay b e of in te re s t to p ro v e th e th eo re m in th e follow ing q u ite d iffe re n t m an n e r.

L e t R be a fin ite in te g ra l dom ain (i.e. a fin ite co m m u tativ e rin g w ith o u t zero divisors) an d le t R* b e th e set of non-zero e lem en ts of R.

If a e R*, th e n a, a2, . . . , a ll b elong to R* (th e re are no zero divisors in R) an d because of th e fin itn e ss of R w e get aP = as fo r som e positive in te g e rs p, q, p > q. W e sh all p ro v e th a t aP_c3 is th e u n it of th e rin g R.

In fact, if b e R, w e h ave

baP = ba'J, baP — bai = 0, (baP-Q — b) a« = 0.

B u t a<J 0, so baP-Q — b = 0, i.e. aP-Q is th e u n it of th e rin g R.

Now ob serve th a t fo r e v e ry a e R* th e r e is an in v erse e le m en t in R*.

Indeed, if aP — a<i, p > q, th e n aP-Q is th e u n it an d if p -q = 1 th e re is n o th in g to prove, since a is th e in v erse fo r itself; if, on th e o th e r hand, p-q > 1, th e n

a • aP-Q--' = aP-i, i. e- aP-Q-1 is th e inverse of a.

T h u s th e rin g R is a field.

B R O N ISŁA W A B ŁA SZC ZY K

NOW Y DOW OD T W IER D ZEN IA , ZE SKO Ń CZO N Y P IE R Ś C IE Ń CA ŁK O W ITY JE S T CIA ŁEM .

S t r e s z c z e n i e

P o d an o n ow y dow ód tw ie rd z e n ia w y m ie n io n eg o w ty tu le O ddano do R e d a k c ji 7. 3. 1970

P R A C E N A U K O W E U N IW ER SY TETU ŚLĄ SK IE G O W K A TO W IC A C H N R I I

P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I I , 1972

EU G E N IU SZ G ŁO W A C K I

O n approximate solutions of a non-linear functional equation

In p a p e r [1] w e h a v e considered ap p ro x im ate solutions of som e lin e a r fu n c tio n a l equations. T h e ro le of th e a p p ro x im ate so lu tio n w as p lay ed b y th e n - th te rm of a su ita b le fu n ctio n al sequence w hose lim it w as th e ex a ct solution. A sim ila r m eth o d m ay be ap plied to m ore g e n e ra l e q u a ­ tions.

In th e p re s e n t p a p e r w e c o n stru c t a p p ro x im ate solutions, w ith a prea ssig n e d accuracy, fo r continuous solutions of th e fu n ctio n al equation

(1) <p(x) = h { x ,< p [ f( x ) ] } ,

w h e re cp(x) is th e re q u ire d re a l-v a lu e d fu n ctio n of a re a l v ariab le. The fu n ctio n s h{x, y) a n d f(x) a re giv en re a l-v a lu e d functio ns of tw o, respec­

tiv e ly one, re a l v ariab le.

In th e sequel w e sh all assum e th a t th e fu n ctio n f(x) fu lfils the follow ing condition:

(I) f ( x ) is co n tin u o u s a n d s tric ly in creasin g • in a n in te rv a l [f, a), m o re o v e r i < f(x) < x fo r x e(£, a).

(In o th e r w ords, f e ft? ([£, a]); cf. [2]).

L e t f n(x) d en o te th e n - th ite ra te of th e fu n ctio n f(x):

f°(x) = x, f n+1 (x) = f[fn(x)], n = 0, 1, 2, . . .

U n d e r h y po th esis (I) w e h av e / ( |) = -, an d th e ite ra te s f n(x) a re defined, contin u o us an d s tric tly in creasin g in [f, a); fu rth e rm o re , fo r ev ery fix ed x e (£ , a), th e sequence {/"(x)} is s tric ly d ecreasing a n d lim f n(x) = |

(cf. [2]).

L e t ij b e a re a l n u m b e r such th a t

<2) 7i(f, y) = y.

L et us fix a rb itra rily a c, 0 < c < a — £.

W e sh a ll m ak e th e follow ing a ssu m p tio n s co ncernin g th e fu n ctio n h{x, y):

(II) T h e fu n c tio n h(x, y ) is co n tin u o u s in th e re c ta n g le D = [ £ , £ + c ] X [ y — d , y + d], d > 0 , m oreo ver, h(D) d fa —d, t] + d].

(III) T h e re ex ist c o n sta n ts 0 < © < 1, 0 < 5 ^ c, 0 < a ^ d such th a t

(3) |h(x,y) — h(x, y)| < 0 |y — y\ fo r Or, y), (x , y) e [I, £ + 5] X fa — a, y + a]

a n d

(4) \h(x, y) - h(£, tj)\ < (1 - ©)o fo r * e [ f , f + 3].

(IV) T h e fu n ctio n h(x, y) fu lfils in th e w ho le re c ta n g le D th e L ipschitz condition w ith a c o n sta n t L > 0, i. e.

(5) |h(x,y) — h(x,y)\ < L |y — y| fo r (x,y), (x,y) e D.

A s h a s b e e n p ro v ed in [2], u n d e r h y p o th ese s (I), (II), a n d (III) eq u a tio n (1) h as ex actly one solution tp w hich is continuous in [|, f + c] and fulfils th e condition tp(£) = rj. T his so lu tio n is given b y th e fo rm u la

(6) cp Or) = lim <pn Or),

n - > o o

w h e re

(7) cpn + 1 Or) = h { x , 9?„[/0r)]}, n = 0, 1, 2 , . . . ,

a n d <pu(x) is a n a rb itra ry co n tin u o us fu n ctio n d efin ed in [|, £ + c], tak in g v alues in fa—d, y + d] an d fu lfillin g th e condition

(8) ■ <Po(£) = V-

T h e fu n ctio n s <pn(x) d efin ed b y (7) m a y b e re g a rd e d as a p p ro x im ate solutions of e q u a tio n (1).

L e t u s fix a rb itra rily e £> 0. W e a re going to fin d th e in d ex n in such a m a n n e r th a t fu n ctio n g?„(x) sh o u ld d iffe r fro m th e e x a ct so lutio n rp(x) in th e w hole in te rv a l [f, £ + c] b y less th a n s.

L e t (po(x) be a n a rb itra ry con tin u o u s fu n ctio n in [£, £ + c] w hich ta k e s v alu es in fa — d, y + d], fu lfils cond itio n (8) an d is such th a t

(9) faoOr) — y\ < a fo r x e [f , £ + 5],

I t follow s fro m (9), (3) an d (4) th a t fo r x e [£, £ + 5] w e h ave

\cpAx) — | h(x, pot/W ]) — h(x, y)\ + \h(x, y) — h{£, y)\ <

^ 0 |95o[/(x)] — y\ + (1 - 0 )o < a, and, as is easily p ro v ed b y induction,

(10) fan(x) — J7| < a fo r x e [f, £ + 5], n = 0, 1, 2, . . .

L e t N b e th e le a s t n o n -n eg a tiv e in te g e r such th a t

(11) f N(i + c ) e [ f , £ + 81.

H ence it follow s b y h y p o th esis (I) th a t

(12) f n(x) e [i, £ + d] fo r n ^ N a n d x e [f, £ + c].

L e t us w rite

(13) K = m ax | ęq(x) — <Po(x)|, [£, £ + «]

(14) a = lo gft ~ Q) + N.

' 6 0 Ln k

We h av e th e follow ing

TH EOREM . U nd er h y p o th e se s (I), (II), (III) and (IV) for e v e r y n > a and e v e r y x e [I, £ + c], w e have

I Vn ( x ) ~ P (x ) I < £,

w h e r e <pn (x ) and (p (x) are defin ed b y (6) and (7), and cpo(x) fu lfils in e ­ qua lity (9).

P r o o f . B y (5), (3), (10), (12) an d (13) w e get th e estim atio n of

\<Pn+i(x) — <pn(x)\, valid fo r n ^ N a n d x e [f, £ + c]

I<Pn + lW — <Pn(x)\ < Ln \<pn -JV + 1 tfN(x)] — <Pn-N [,fN(x)]| <

< L N 9 n~N \<p,mx)\ — cpa(fn(x)\\ < ( — ) &nK.

9

F o r th e d iffe re n c e 9?n(x) — <p(x) w e get hence for n ^ IV and x e [I, £ + c]

■ V / L

I<Pn(x) — cp(x)\ < ^ \<ps + !(x) — tps(x)\ < I ~ I • K ■ 9 s =

s = n N

- I ' i f ■ K ®”

e l 1 — 9

F o r n > a, w h e re a is d e fin e d b y (14). an d fo r e v e ry x e (I, I + cj I <Pn (x) — <p (x) | < £

w h ic h w as to b e proved.

If <5 = c, a = d, th e n fo r a w e h ave th e sim p ler fo rm u la

. £(1 - 0 )

a - l0g 0 k '

I t re s u lts fro m th e e stim a tio n o b tain ed in th e p roof th a t th e convergence of th e sequ ence {q>n(x)} is th e m o re ra p id th e sm a lle r is th e n u m ­ b e r 9 , b u t if w e red u c e 9 th e n N in creases and a need n o t decrease, T h is m ay b e seen fro m th e follow ing

EX A M PLE. W e con sid er th e fu n ctio n al eq u a tio n {x + 2) cp

<p{x) = --- fo r x e [0,l].

(x + 2) q> "t* 1 W e h a v e h e re

h(x, y) = , f(x ) =

f

W e ta k e y = — an d d = — . T h e n D = [0,1] X [0,1] and

2 2

|h (x, y ) — h (x, y)| < 3 \y — y\ fo r (x, y), (x, y) e D .

F o r a n a rb itra rily chosen 0 w ith — < 0 < 1 in eq u alities (3) and (4) 2

a re fu lfille d fo r

4 ( 1 - 0 ) ( 2 0 - 1 ) 2 0 — 1 d — --- , a ---^.

202 — 0 + 1 4 0

If w e ta k e $>o{x) = — , th e n 2

K = m a x |ę?1(x) — 9?o(a:)| = (1 — ©)«

[0, d]

an d fo r a w e h av e th e fo rm u la

a = logg. — — + N

® 3No

S ince f n(x) = --- . N is th e le a st n o n -n eg a tiv e in te g e r such th a t 2n

2^ > — .

d

L e t u s ta k e e = 10-3 . T he e x act d e te rm in a tio n of th e le a s t n u m b er a is too com plicated, b u t try in g v a rio u s v a lu e s w e can fin d th a t th e possible b e st estim a tio n w e h av e fo r 0 — — . T h e n w e h a v e3

5 1 4 < a < 15.

T h e refo re for th e eq u a tio n considered

t a s t e ) — ?>te)l < 1 0 - 3 for x e [ 0,lj.

[1] E. G ł o w a c k i : O n a p p ro x im a te so lu tio n s o f a lin e a r fu n c tio n a l equation.

P ra c e N aukow e U n iw e rs y te tu Ś ląskiego N r 2, P ra c e M at. 1 (1969) p. 41—51.

[2] M. K u c z m a: F u n ctio n a l eq u a tio n s in a single variable. M o n ografie m a te m a ­ ty c zn e 46, W a rsza w a 1968.

E U G E N IU SZ G ŁO W A C K I

O PR Z Y B L IŻ O N Y C H R O ZW IĄ ZA N IA C H N IE L IN IO W E G O R Ó W NA N IA FU N K C Y JN E G O

S t r e s z c z e n i e

W p ra c y ro zw aż an e są p rz y b liż e n ia ciągłego ro zw ią zan ia ró w n a n ia fu n k c y jn e ­ go (p(x) = h{x,ip[f(x)]}, gdzie cp je s t fu n k c ją szu k an ą. P o d o b n ie ja k w p ra c y [1]

ja k o ro zw ią zan ie p rzy b liżo n e p rz y jm u je się n - ty w y ra z odpow iedniego ciągu fu n k ­ cyjnego, k tó reg o g ra n ic ą je s t d o k ła d n e rozw iązanie.

C elem p ra c y je s t dobór liczby rze czy w istej a w te n sposób, by n - te p rz y b li­

żenie (pn (x) ro z w ią z a n ia różn iło się od d o k ła d n eg o ro z w ią z a n ia o z góry z a d an ą w ielk o ść w góry z a d a n y m p rze d zia le, gdy ty lk o n > a.

P ra c a z a w ie ra 1 tw ie rd z e n ie p o d a ją c e sposób doboru liczby a, p rzy czym sposób ten je s t ró w n ież z ilu stro w a n y n a odp o w ied n im przykładzie.

O ddano do R e d a k c ji 27. 5. 1970 r.

2 P r a c e m a t e m a t y c z n e U

P R A C E N A U K O W E U N IW ER SY T E T U Ś L Ą S K IE G O W K A TO W IC A C H N R 12

P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I I , 1972

JE R Z Y G Ó R SK I

Som e local properties of re a3, re ^a4 and re a5 in the class S

IN TR O D U CTIO N . L e t S b e th e clas of a ll holom orphic an d u n iv a ­ len t fu n ctio n s f (z) = z + a2z 2 + a3z3 + .. . in th e u n it disc \ z \ < 1. Each fu n c tio n f(z) m ap s c o n fo rm ally the disc |z| < 1 onto a d o m ain D w h ich co n tain s th e orgin 0 of th e coordinate system a n d w = 1 //(z) m aps j z | .< 1 onto a dom ain G, w h e re G is th e e x te rio r of a continuum E of cap acity 1- T h e o rigin w — 0 is co n tain ed in E. To each fu n c tio n f (z) e S corresponds in o n e-to-on e w ay a c o n tin u u m E, cap E = 1, an d the co ord inate sy ste m w ith th e o rig in 0 e E. W hen E is fixed, cap E = 1, 0 e E, th e n th e ro ta tio n of th e co o rd in ate system a ro u n d 0 gives a new fu n ctio n in S b u t th e a b so lu te values of th e co efficients an, n = 1,2, . . . re m a in u nchanged.

L e t rjx, t]2, . . . , rjn b e th e n th e x tre m a l sy stem of p o in ts in E i.e. a sy ­ stem of n p o in ts in E such th a t II | rjj — \ = E ^ \ w i ~ W k \ 1 < j < fc < n F. L E JA p ro v ed in [1] th e ex isten ce of th e follow ing lim its

lim (rj\ + rj* + . . . + rjkn)/n = sk, k = 1,2, . ..

T h e p o in t Si = 00 is th e th e c e n te r of g ra v ity of th e n a tu ra l m ass d is tri­

b u tio n on E an d its p o sitio n re la tiv e to E re m a in s u n ch an g ed a fte r ro ­ ta tio n or tra n s la tio n of th e co o rd in ate system .

T he aim of th is note is to p ro v e som e sim ple in eq u a litie s concerning re a3, r e a4, a n d r e a5.

A U X ILIA R Y FO RM U LA S. L e t us consider th e set of all co n tinu u m s E of cap acity 1, s itu a te d so th a t c e n te r of g ra v ity 0 is th e com m on p o in t fo r a ll E. It is k n o w n th a t a ll E lie in side th e disc K of rad iu s 2 c e n te rd a t th e p o in t 0. A m ong all E u n d e r co n sid eratio n th e re a re seg m en ts of le n g th 4 w h ic h h a v e th e ir en dpoints on ith e circu m feren ce of K , a ll o th e r E h a v e a p o sitive d ista n c e fro m th e b o u n d a ry of K.

F. L E JA [1] gave fo rm u las w h ic h ex p re ss th e coefficients a„

n = 2, 3 , . . . of f (z) e S as polynom ials in slf s2, . . . If one com putes „the m o m e n ts” sk re la tiv e to th e p o in t 0 in stead of to th e origin 0 one obtain s

Sk = Sfc(0) + (* ) sk - ^ 0 ^ + (2) sk -2(0)s2 + . . . + sf T h e fo rm u la s g iv en by F . L e ja a re th e follow ing

a2 = —Sx, a3 = a\ — s2(0)/2, a4 = a\ — a2 s2(0) — s3(0)/3, as = a* — 3a\ s2(0)/2 — 2a2s3(0)/3 — s4(0)/4 + 5s2 (0)/8.

A s th e ro ta tio n of th e co o rd in ate sy stem does not ch an g e th e m odulus of an, n = 1,2, . . . w e can choose it so th a t th e re a l axis has th e direction of 00 i.e. a2 = 00 > 0.

F o r th e K oebe fu n ctio n z/( 1 — z)2 is

a2 — 2, s2(0) = 2, s3(0) = 0, s4(0) = 6.

O n th e o th e r h a n d (see [2]) for a ll f (z) e S is

|a2| < 2, |s2(0)| < 2, |s4(0)| < 6

th e e q u a lity holds only fo r f(z) = z /(l — ze id)2. In th e g e n e ra l case a2 = 2 — e + i£j, e ^ 0

(1) s2(0) = 2 - 3 + ibi, 3 > 0

s 4 ( 0 ) = 6 — rj + i r j i , r] ^ 0

an d

re a3 = 3 —■ 4e + — 3 + e2 — e2,

2 1

(2) r e a4 = 4 — 10e + 23 — re s3(0)/3 + 6e2 — 6e2 — e* + 3e2 + £ ^ — ed, re a5 = 5 — 20e + 73/2 + ^ / 4 - 4 r e s3(0)/3 — 562/8 + 5<52/8 — 21e2 +

+ 21e2 + 2e4 im s3(0)/3 + 2e re s3(0)/3 — 8e3 + £4 + e* + + 3e23/2 + 6£jój + 24ee2 — 6e2e2 — 31\ 3/2 — 3££i54 — 6e3.

L e t u s consider th e class S of all th ose fu n ctio n s f (z) e S to w hich corresp o nd s as a c o n tin u u m E th e se g m en t I of le n g th 4 a n d th e m iddle a t 0. E ach fu n ctio n f (z) e S h as th e fo rm

f(z) = z — ei6 qz2 + e2if> ( - 1 + 02) z 3 + e3id (2q- q3) z* + . . .

w h e re 0 < # < 2 7r, — 2 < g 2. W hen a2 = — eł9 is > 0, th e n & = n, [0,2] and

f(z ) = z + qz2 + (— 1 + q2)z3 + (— 2q + q3)z* + (1 — 3g* + g4)z5 + . . .

T h e re fo re th e second co efficien t of a ll f ( z ) e S w ith positiv e a2 has th e v a lu e q = 2 — ^e, e ^ 0.

TH EO R EM 1. L e t u s consider all fu n ctio n s f(z) e S w i t h th e same second coefficient a2 > 0 , a2 < 2. T h e n the sm allest value of re a3 is assu m ed b y a f u n c tio n f(z) e S. For a2 > 0 s u ffic ie n tly close to 2 th e

spiallest valu e of re a4 and re a5 are a ssu m e nd b y fu n ctio n s in S

P r o o f . 1°. F ro m (2) r e a3 — 3 = — 4e — — 5 + e2. L et us denote 2

by a3 th e th ird coefficient of a fu n ctio n in S, th e n re a3 — 3 = — 4e + e2.

T h e refo re re a3 — re a3 = — 5 > 0.

2

2°. F ro m (2) r e a4 — re a4 = 25 — re a 3(0)/3 — sd. O ne of G runsky in e q u a litie s (see [2]) has th e form

(3)

Z o < U 2 +

w h e re £4 and £2 are a rb ita ra ry num bers, and th e e q u ality holds only fo r th e K oebe function. T akin g th e re a l p a rts of b o th sides for £4 = 2 a n d £2 = — w e obtain (using previous notations)

2

— 25 + - - re s3(0) - -3- + 5 - - + < 0.

3 4 4 4

H ence

(4)

16 4 16 16

52

O n th e o th e r h a n d it w as p ro v ed in [3]

< 3/2 fo r a ll f(z) e S.

T h e refo re

(5)

F ro m (4) an d (5)

- 35 - — 82 + 3- 5 2 + -2- < 0 =*>

4 4 4 4

V - < 3 5 + - - 5 2 - A . § 2 .

re s3 (0) «2 52

8 H ence

B u t

52 52

e

5 + —--- —

8

8

re o4 - re i 4 >

5j2 + ( 2 - 5)2 = |s2(0)|2 = (2 — c2)2 > c2 > 0

fo r a ll f(z) e S d iffe re n t fro m th e K oebe function- F ro m th e la s t fo r­

m u la follow s

| = | ( 5 - c 2) + - ^ Sl < i - ( 3 - c 2), 5 >

2 > 0 .

H ence

re a4 — r e a4 > 8 — ed + -—--- — f- - - > 5 I — — e I > 0

8 2 2

fo r su fficie n tly sm al t > 0.

3°. W e h av e

re as — r e a5 = 8 + — --- — r e s3(0) — — S2 + - 5 - 52 +

2 4 3 8 8

A ccording to (4)

T h e refo re

-)— — e re s3(0) + e2ó — 6fó.

3 2

V ^ , r > v . , <52 , <5i2

— r e s4(0) > — 8 — H

4 3 4 4

r e 05 re a5 > — 8 o2 -j- ——- 52 + e r e s3(0) + —— t 25 — 6eó

2 8 8 3 2

<5 + — C2 + ■— <32 + — e28 — 6f5 + — re s3(0) > 5[1 — 6e] + — £ re s3(0)

2 8 2 3 3

If w e p u t in (3) = - 2 , — w e o b tain 2

re s3(0) ^ rj 8 32 > 82 3 > _ l 6 r ~ T 6" + 76 a n d m u ltip ly in g b y 2fi > 0

2 ^{— t] 8 s} 32s 62e

-j- e r e8,( 0) > 5- » j - - , - + -5- - U sing (5)

2 _ ofe 82e 82e

£ re s3(0) > — 2óć — —-— h - - > — 3e8 + e c2 + w hen ce

r e as — re as > 8(1 — 9e) and fo r su fficen tly sm all s > 0

re a5 — r e a5 > 0.

THEOREM 1*. P u t a2 = (2 — c) cos a. T h e n for s u ffic ie n tly small c > 0 and | a | ^ 0

r e a3 — re a2 > 0, re a4 — re d4 > 0, r e a 5 — re a5 > 0.

TH EO R EM 2. I f o2 = 2 - e, e > 0, th en re [as + s4(0)/4] < 6 - 1-

2 f o r all s u ffic ie n tly sm all e > 0.

P r o o f . F ro m (2) follow s re + 1 = 6 - L - 2 0 £ + — d -

— — r e s3(0) — — 62 + — S2 + 21 s2 + — t re s3(0) — 8e3 + e4 — — e*3 — 6ei

3 8 8 3 2

a n d

7 . ., 70 , 7 7 .-- i 21 * 7 - 7 j

— (re a4 — 4) =*= — e + — d — — r e s3(0) + — e2 — — £* — — so.

4 4 2 12 2 4 4

H ence

re + ^- = ^— (re a4 ^— 4) 4- 6 ^—----— s — — re s3(0) ^{— —} 52 ^-+-

4 J 4 2 2 4 8

5 . , ,2 1 , , 2 .- , 25 . , , , 3 , , 17 .

H d 2 + — e* + — e r e s 3(0) — — e* + e 4 + — s2d — — ed.

8 2 3 4 2 4

F ro m th e in e q u a lity

a23 _ s3(0)

12 3

o b tain e d b y M. S c h iffe r follow s

< - = - , /(z) e S 3

r e s3(0) £ £f

_ IL + + : - _ _ < 0.

2 4 2 12

T h e re fo re ^{(e4 =} 0)

3 9

— re s3(0) — e

4 4

9 £ * 4 - + 3 £S

8 16

an d

re at +»4(0) j < 6 J 5---5_ S2 + J L «* + — e r e s j (0) +

2 4 8 8 3

+ 2A. E2 - 2 L £s + Ei + J L t23 - 1 1 £a < 6 _ L

8 16 2 4 2

f o r su ffic ie n tly sm all

>

.

R EFER EN C ES

[1] F. L e j a : S u r les c o e ffic ie n ts d es fo n c tio n s a n a ly tiq u e s d a n s le cercie e t les p o in ts e x tr e m a u x d es e n sem b le s, A nn. P ol. M ath., 23 (1950), 69—78.

[2] J. G ó r s k i : S om e sh arp estim a tio n s of coefficien ts of u n iv a len t functions, 3. d ’A nal. M ath., 14 (1965), 199—207.

[3] J. G ó r s k i , J . T . P o o l e : S om e sh arp estim a tio n s o f coefficien ts of u n iv a ­ le n t functions, 3. M a th . M ech., 16 (1966), 577—582.

O znaczm y p rze z S k la s ę fu n k c ji f(z) = z + a iz t + . . . h o lo m o rficzn y ch i ró żn o - w arto śc io w y ch w ko le | z | < 1. K aż d a fu n k c ja l//(z) o d w zo ro w u je koło je d n o st­

k ow e n a o b szar G, k tó reg o u z u p e łn ie n ie do całej płaszczyzny je s t k o n tin u u m E o p o jem n o ści lo g a ry tm icz n ej 1. K ażdej fu n k c ji k la sy S o d p o w iad a p ew n e k o n ti­

n u u m E, p oj. E = 1 o raz u k ła d o d n ie sie n ia o p o c z ą tk u 0 le żą cy m n a E.

F. L e j a p o d a ł w zory n a w sp ó łczy n n ik i a n fu n k c ji f ( z ) e S p rz y pom ocy śre d ­ n ic h sfc, fc = 1, 2... Je ż e li p rze z S oznaczyć p o d k la sę k la sy S sk ła d a ją c ą się z ty c h fu n k c ji f(z), k tó ry m o d p o w iad a ja k o k o n tin u u m E od cin ek o .długości 4, to zachodzą n a s tę p u ją c e n ierów ności

d la w szy stk ich fu n k c ji o ty m sa m y m w sp ó łc z y n n ik u a2> 0, d o stateczn ie b lis­

k ie m u 2.

P o dobnie w y k a z u je się, że d la f(z) e S gdy at> 0 je s t d o sta te czn ie bliskie 2, JE R Z Y G Ó R SK I

W ŁA SN O ŚC I L O K A L N E r e a „ r e a 4 I r e as W K L A S IE S

S t r e s z c z e n i e

r e a3 > r e a s, r e a 4 > r e ait r e a 5 > r e S5

zachodzi nieró w n o ść re

]<

O ddano do R e d a k cji 3. IV. 1970 r.

INTRODU CTIO N. In o rd e r to fin d th e solutions of p a rtia l d ifferen ce eq uatio ns w ith c o n sta n t coefficients u su a lly th e m eth o d s of ’’g e n e ra tin g fu n ctio n s” [2j are applied.

In th is p a p e r w e d e m o n stra te how th e d isc re te o p e ra tio n a l calculus can b e ap p lied to solving p a rtia l d iffe re n c e eq u atio n s w ith c o n stan t coefficients in tw o d isc re te v ariab les. In sections 1 and 2 w e d efin e th e notion of a d isc re te o p e ra to r (generalized sequen ce [4]). In sections 3 a n d 4 w e in tro d u c e th e tra n s la tio n o p e ra to r. T his o p e ra to r is th e basic o p e ra to r of th e d isc re te o p e ra tio n a l calculus. T he g e n e ra l so lu tion of d iffe re n c e e q u a tio n is discussed in sections 5 an d 6.

1. TH E D ISC R ETE O PERA TO R S. L e t £ b e a s e t of sequences x =

= { x n} of re a l n u m b ers su ch th a t x n = 0 fo r n < N x ; n ran g es over th e se t of in te g e rs. In th e se t E w e in tro d u c e th e follow ing algebraic o peratio n s

It m ay easily b e v e rifie d th a t th e se t E w ith th ese op eratio n s is a co m m u tativ e rin g . L e t us d en o te by P th e se t of a ll sequences fro m th e set E such th a t th e ir firs t e le m en t w h ic h is d ife re n t from zero is positive. T h en it is possible to show th a t fo r e v e ry x e E w e h av e x e P , or x = 0, or — r e P, and if x 1 e P and x 2 e P th e n x 1 + x 2 e P and r ’^ e P . H ence, w e can in tro d u c e in th e rin g E th e re la tio n of o rd er x1 > x 2 if a n d only if x 1 — x 2 e P.

T his re la tio n is a lin e a r o rd e r in th e rin g E ([1] p. 270).

T he s e t Eo of a ll e le m en ts x e E su ch th a t x0 0 a n d x n = 0 for 7i # 0 is a su b rin g of th e rin g E isom orphic to th e field of re a l n u m bers.

T h e se t E is a v e c to r space o v e r th e field E 0-

P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I I , 1972

W ŁA D Y SŁA W K IE R A T , S T E F A N IA K R A S IŃ S K A

On the difference equations of tino variables

X l+ X * = {** } + {*2 } = { * i + *-2 } = X,

W e in tro d u c e in E a topology by m eans of th e open in te rv a ls I =

—- {x : x1 < x < x 2}. W ith th is topology th e rin g E becom es a linear o rd ere d topological ring.

T his topology in a n a tu ra l w a y yields a n o tion of th e lim it as follow s

*ePN { r i > N - y \ x n~ x \ < t).

We h av e used th e a b so lu te v alu e in th e u su a l sense.

T h e seq u en ce co = {con} such th a t cot = 1 a n d con = 0 fo r n # 1 has th e follow ing p ro p e rty

cox = co { x n} = { X n - J . In fact,

cox = {a>n } { x n} =

W e d en o te b y a>_1 = {con} th e sequence such th a t co-t = 1 and « n = 0 for n=f= — 1. H ence w e obtain

ca-1 co x = x.

We can also v e rify th a t ^{c o~p} — { x n}, w h e re x _ p = 1 and x n = 0 for n=£ —p. W e can easily see, th e

coP

E ach e le m e n t x = ( . . . 0, x ^ x (V . . . ) g e n e ra te s th e series

(1.1) x =- ^ ^ Xi co4 = x t co1.

i= — i *=N v

L e t

n

Sn

j — — OO

W e see th a t th e seq u en ce of th e p a rtia l sum s S n is c o n v erg en t to x.

H ence e v e ry e le m e n t x e E can b e w r itte n in th e fo rm of series (1.1), w h ich is c o n v erg en t in th e above topology.

W e c an also v e rify th a t

x ! w4 + ^ ^ x? co4 = ^ ^ (xj + x ? ) co1,

i = — &m /=»— oo f=* — oo

( ^{OO \ / o o ' o o / o o \}

j ( ? / “"j ’ £ ( £ ^ )

2. D IV ISIO N IN TH E R IN G E. T h e v a lu e of th e convolu tion x łx2 a t th e p o in t n can be w r itte n in th e follow ing fo rm

(2.1) ^{( x 1 X2')}

11—N x '

i =

z

W e in tro d u c e th e follow ing notations:

(2.2) i-Nx' } Xl SnC^ |Xk l-JVy ( x2‘

T h e n N*« = N x* — 0 an d

n —N x ' —N x 2

(2.3)

i=0

H ence w e o b tain th a t E is a n in te g ra l dom ain.

T he fo rm u la (2.3) can be w r itte n in th e follow ing form :

V - l _y X n —i X i-2

i = 0

(2.4) { ( x ' x 2)n} = ojnx'+n x

F ro m (1.1.) w e ob tain

(2.5) x l x 2 = {(xl x 2)n} = j r ( J ;

i = 1 \t=1

L e t x1 an d x 2 be fix ed elem ents of E. W e seek an elem ent x of E satis­

fy in g th e eq u atio n

(2.6) x2 x = xi

w h e re

x2 0.

T h e e lem en ts x i an d x2 can be w ritte n in th e follow ing form (2.7) x ł ~ cx>Nx' x i, x2 = wNx x 2.

I t follow s fro m (2.6) an d (2.7) th a t

(2.8) x 2x = coNx' ~ Nx' xi.

T h e ele m en t

" 2 n n - 0 ¾

= ^{N . ' ' 1 ________}

X Z_J (X*)n+1

T l -= 0 ^°

.xl 0 0

x l x 200 0 x{

2 ^{~ 2} “ 2 “ 2 “ 1 X n X n— 1 X n— 2 * * ’ X i X n

COn + N x ' —Nx*

satisfies eq u atio n (2.6). H ence w e o b tain th a t th e rin g E is a field. The e lem en ts of te field E w ill b e called discrete operators or generalized sequences.

3. TH E R IN G E+. L e t E+ d en o te th e set of a ll sequences x e E such th a t N x > 0.

F ro m (2.8) it follow s th a t th e s e t E+ is a su b rin g of th e field E. T he se t E + is a v e c to r space ov er th e field Eo-

W e in tro d u c e in th e space E a n en d o m orphism D b y m ean s of th e in fin ite m a trix

0 1 0 0 ...

(3.1) 0 0 1 0 ...

tak in g

0 1 0 0 ... x 0

D x =

0 0 1 0 ... X j

•

O bserve th a t

(3.2) co D x = x — x 0.

B y in d u ctio n

(3.3) cokD kx = x —co1*-1 x k.1—cok-z x k.2 — . . . — Xo.

H ence

k - l

Dkx — —— x — y — *— x it

cok cok~l

i = 0

w h e re D k d en o tes th e k - th p o w e r of m a trix (3.1).

4. TH E SPA C E E 2+. B y E + w e d en o te th e se t of seq uen ces { u v, ^ }

v — 0 , 1 ,. . .; fx = 0 , 1 , 2 . . . , such th a t fo r e v e ry fix e d v th e sequence {w„, n } belongs to E+. U sing th e o p e ra tio n D fo r th e seq u en ce { u v, ^ } w e ob tain

(4.1) D u v = D {u„, n } = {u v, u v> o .

co co

In g en eral, w e h ave

k - l

(4.2) D ku v= D k {« „ , } = \ { u , , , } - V — — «»,. =

COk Z—l cok~x

* =0

W e sh a ll w rite th e la s t fo rm u la in th e follow ing fo rm (4.3) {u v,,+fc} = D* { « ,„ > .

In th e g e n e ra l case th is fo rm u la can b e w r itte n in th e follow ing fo rm

1 h i 1

(4.4) {u.+i.n+k} = --- {«.+!>} — > Uv+i,x =

co* / —> co^~K

x = o

k - 1

1 1

— U - v + i / U v + i , y .

O jh / | q jCOJc-x

x = 0

5. TH E D IFFE R E N C E EQ U A TIO N S IN TW O V A RIA B LES. W e begin b y con sid erin g th e eq u a tio n

m n

(5.1) C*i/c ^v+j, \i+k <Pv,ji»

i = l J ; = 0

U sing (4.4) w e c an w rite e q u a tio n (5.1) in th e follow ing o p eratio n al fo rm

(5.2) <im Uv+m 4~ * * * 4- a0 u v=fVf

w h e re

at = ®in + . . . + a i0; i = 1, 2, . . . , m , coin

an d

m n k — 1

(5.3) f, = ę , + ^ J ] J ] a;

i = 0 f c = l » = 0

O rd e rin g e x p re ssio n (5.3) according to th e po w ers of a> w e obtain

n — 1 m x

(5.4) = <pv + ^ — j—- ^ ^ ai.„_x+fc u„+1>.

x = 0 i = 0 Ar = 0

W e can p ro v e th is fo rm u la sim ila rly as in th e case of th e O p eratio n al C alculus of M ikusiński ([3], p. 291— 292).

Now, w e sh all consid er th e sequences

771

$1 = ^ ^ V'i, n U v + i , Of i =

771 1

( 5 * 5 ) = ^ ^ Uv + i , k,

i = 0 f c = 0

771 7»—i

5 v - 1 = ^ ^ « < , 1 + * U v + i,]fc- i = 0 v = 0

If th e sequences

(5.6) {.^vi o}> • ' • > {^vi n—l}

a re given, th e n w e can u n iq u e ly d e te rm in e sequences (5.5). B u t if w e a re given sequences (5.5), th e n n o t alw ays w e can u n iq u e ly d e te rm in e sequences (5.6).

In th e case, w h e re sequences (5.6) can n o t be u n iq u e ly d e te rm in e d fro m eq u ation s (5.5), w e say th a t e q u a tio n (5.1) is restrictive.

In th e case, w h e re sequences (5.6) can be u n iq u e ly d e te rm in e d from eq uatio n s (5.5), w e say th a t eq u atio n (5.1) is non-restrictive.

In th e n o n -re stric tiv e case th e re alw ays exists a so lution of eq u ation (5.1) for a rb itra ry giv en sequences (5.6) and a rb itra ry b o u n d a ry con­

ditions.

In th e re s tric tiv e case solutions of eq u a tio n (5.1) satisfy in g conditions (5.6) not alw ay s exist. In th is case th e conditions on th e p — axis m u st alw ay s ge given in fo rm (5.5).

T he follow ing th eo re m decides w h ich eq u atio n s of ty p e (5.1) a re non- -re strictiv e .

THEOREM . A n equation of ty p e (5.1) is non-restrictive if and only if e x a ctly one of the coefficients ain is d iffe r e n t f r o m zero.

F ro m th e last e q u a lity w e can u n iq u e ly d e te rm in e th e sequence u v+,„o.

E ach e q u a lity of ty p e (5.5) can be w r itte n in th e follow ing fo rm P r 0 0 f. If ai „ # 0, th e n

(5.7)

ai0-n

( 5 . 8 ) g \ &i, n —K+k Uv + i , k +

1« 0 *■ = 0

n

1=/0+i k = 0

B y th e assu m p tio n of th e th eo re m w e o b tain

> = 0 k = 0 T aking « =*= 1 w e have

m

i — 0

F ro m (5.10) w e see th a t if th e seq uen ce {u,,0 } can be uniq u ely d e te r­

m in e d fro m (5.5), th e n also th e seq u en ce { u v, 1 } can be u n iq u ely d e te r­

m in e fro m (5.5).

F ro m e q q u a lity (5.9) w e see im m id ia te ly th a t also th e sequences { u ,,2 ) . - - - 1 {w-, n- i } can be u n iq u ely determ ined.

Now, w e a re going to p ro v e th a t th e conditio n is necessary. In th e case, w h e re m o re th a n one of th e coefficients ai>n, i = 0, . . . , m, is no t zero, th e n th e p ro b lem of d e te rm in in g th e sequence { u ,,0 } fro m (5.5) red u ces to th a t of solving th e eq u a tio n

w h ich h a s m o re th a n one solution. H ence it follw s th a t also th e se q u en ­ ces {11,,1 {.Uv.n-i} can n o t be u n iq u e ly d e te rm in e d from (5.5).

H ence eq u a tio n (5.1) is re stric tiv e .

6. E X A M PL E O F A R E STR IC T IV E EQUATION. W e sh a ll solve th e follow ing d iffe re n c e eq u a tio n

m

i = 0

(6.1) U v +2, ,..+2— 2

u,t

(6.2) — ( i\» — t 1 , , 2 r - r l 1

U v , o — ( — 1) \ 11,,1 — ( ~ 1) ---—

4 4

an d w ith th e b o u n d a ry conditions

(6.3) { u 0+ }, w h e re

for ju — 0, 1, 2, . . . .

We w rite eq u a tio n (6.1) in a n o p e ra tio n a l form (6.4) u,_|_2--- u.

co2 10

1

( « , + 2 , 0 — U , , o ) + — ( w , + 2,1 — U , , 1 — U , , o ) . CO

T h e fu n ctio n 2 + ~ | ^ + 2 ) | anC* b o u n d a ry conditions (6.3) also can b e w ritie n in th e o p eratio n al fo rm ([4] p. 186)

T h e fu n ctio n 2

{ « w > = - 1— T T T (see 1 0} p - 181 and 186)- W e c a n easily v e rify th a t

(6.6) «v+2,o o — 0 a n d Uv+2,1 —u t —u v,0= 0 fo r v = 0 ,1 , 2 , . . . U sing (6.5) a n d (6.6) in (6.4) w e obtain

L e t us solve th e hom ogenous eq u a tio n

(6.8) 1/ , + 2 - (wH-l)2 u v = 0.

T h e g e n e ra l so lu tio n of e q u a tio n (6.8) has th e form u v = (co + l ) v ( C i + (— l ) v c2), w h e re Cj an d c2 belong to E.

W e can easily v e rify th a t

is a so lution of equ atio n (6.7). H ence th e g e n e ra l so lu tio n of eq uatio n (6.6) has th e form

(6.10) tiv = u v + u ° .

B y th e b o u n d a ry conditions w e h av e

(6.11) u , = u « .

S olu tio n (6.10; m ay b e w r itte n in th e u su a l fo rm

W e can easily v e rify th a t fu n c tio n (6.12) does n o t sa tisfy conditions (6.2), b u t satisfies conditions (6.3) a n d (6.6).

If a fu n ctio n satisfies conditions (6.2), th e n it also satisfies conditions (6.6). H ence it follows th a t a solution of equation (6.1) satisfying condi­

tions (6.2) a n d (6.3) does no t ex ist a t all.

REFER EN C ES

[1] N a t h a n J a c o b s o n : Lectures in abstract algebra, 1964 b y D. V an N e s tra n d C om pany, Inc.

[2] C h a r l e s J o r d a n : Calculus of finite differences, P rin te d by R o ttin g un d R o m w a lte r, S om on H u n g a ry 1939.

(6.12)

[3] J a n M i k u s i ń s k i : O perational calculus, P e rg a m o n P re ss. PW N.

[4] J. F. T r a u b: G en era lized seq u en ces w ith a p p lica tio n s to th e d isc rete calculus, M a th e m a tic s of C o m m u n ic atio n , Vol X IX N o 90, A p ril 1965.

W ŁA D Y SŁA W K IE R A T , S T E F A N IA K R A SIŃ SK A

O R Ó W N A N IAC H RÓ ŻN IC O W Y CH DW ÓCH ZM IEN N Y CH

S t r e s z c z e n i e

C ząstk o w e ró w n a n ia różnicow e o sta ły c h w sp ó łc zy n n ik a ch zw y k le ro zw ią zu je się p rzy pom ocy „fu n k c ji tw o rz ą c y c h ” [2].

W te j p ra c y p o k az u je m y ja k m ożna stosow ać d y sk re tn y ra c h u n e k o p era to ró w do ro zw ią zy w an ia ró w n a ń różnicow ych cząstk o w y ch ze sta ły m i w spółczy n n ik am i, o dw óch zm iennych. W części 1. i 2. w p ro w a d za m y d y sk re tn y o p e ra to r (uogól­

n io n y ciąg [4]). W części 3. i 4. je s t w p ro w a d zo n y o p e ra to r p rze su n ięc ia .

T en o p e ra to r je s t p o d sta w o w y m o p e ra to re m d y sk re tn e g o r a c h u n k u o p e ra to ­ rów . O gólne ro zw ią zan ie różnicow ego ró w n a n ia je s t p rz e d y sk u to w a n e w części 5. i 6.

O ddano do R e d a k c ji 27. 3. 1970.

3 P r a e e m a t e m a t y c z n e I I

P R A C E N A U K O W E U N IW ER SY TETU Ś L Ą S K IE G O W K A TO W IC A C H NR 12

P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I I , 1972

M IEC ZY SŁA W K U C H A R Z E W S K I

Liesche Ableitung der Tensordichten

In d e r N ote [6] w u rd e eine axicm atische D efinition d er Lieschen A b le itu n g d e r lin e a re n h om ogenen g e o m etrisch en O b jek te s -te r K lasse gegeben u n d m it H ilfe d iese r D efin itio n die allgem eine F orm d e r L ie­

schen A b leitu n g d e r S k a lare b estim m t. H ier w ird die allg em ein e F orm d e r L iesch en A b leitu n g d e r b elieb ig en T e n so rd ic h te n ab g eleitet.

Einige B e m e rk u n g iib er die G eschichte u n d L ite ra tu r d e r Lieschen A b leitu n g sind in d e r N ote [6] en th alten . D arum w erd e ich diese hier nich t w ied erh o len . Ich e rw a h n e n u r a n die A rb e ite n von C. I. IS P AS [2], [3], [4], JI. E. E B T y illK J lK [12] u nd A. SZY B!A K [10], die m it u n seren B e tra c h tu n g e n v e rb u n d e n sind u n d in d e r N ote [6] nicht angegeben w u rd e n .

In d e n §§ 1 u n d 2 fiih re ich einige B ezeichnungen u n d D efininionen ein, die im fo lg e n a en notig sind. In sb eso n d ere e n th a lt d e r P a ra g ra p h 2 die D efin itio n d e r L ieschen A b le itu n g fiir die lin e a re n hom ogenen geo­

m e trisc h e n O b je k te e rs te r K lasse. D e r S atz iib er die F orm d e r L ieschen A b leitu n g d e r T e n so rd ic h te n w ird im § 3 bew iesen.

§ 1. Es sei co (ai°) e in a b s tra k te s g eo m etrisch es O b je k t m it d e r T ra n s- fo rm atio n sfo rm el

(1.1) = F ab (A)ojb, a , b = l , 2 , . . . , m , A e L” = G L (n,R ),

u n d m it d e r F a se r M — R m (vgl. [7], S. 60, bzw. [8] S. 24). A us (1.1) folgt, daB co ein re in d iffe re n tie ile s O b je k t des T ypus [m, n, 1] ist. Das O b je k t co heiB t lin e a r hom ogen, w eil seine T ra n sfo rm a tio n sfo rm el h in - sichtlich co lin e a r hom ogen ist. D ie F u n k tio n e n Fg’ e rfu lle n die folgenden R elatio n en

F -" (B ) F f (A) - F f (B -A ), F°b (E ) - 0«',

wo A u n d B beliebige n ic h tsin g u la re M atriz e n d e r O rd un g n sind u n d E die E in h e itsm a trix b e d e u te t. D iese R elatio n en e rh a lt m a n aus d e r fun-

d a m e n ta le n F u n k tio n a lg le ich u n g (vgl. [8], (6.1), S. 24) und aus d er Id en - tita tsb e d in g u n g (vgl. [8], (6.2), S. 24), die jed e T ransform ationsform el des g eo m etrisch en O b jek tes erfiille n muB.

A uB er d e r T e n so rd ic h te n sin d die so g en an n ten S -T enso ren , [1], [9]

bzw. D -T ensoren, [5], B eispiele so lcher O bjekte.

M it H ilfe des O b jek tes (1.1) k a n n ein neues O b je k t (coa, u>b ) ge- bild et w erd en. W ir n e n n e n es die e rste d iffe re n tie lle E rw e ite ru n g von co.

Die T ra n sfo rm a tio n sfo rm el von (coa,o)b b e ste h t aus (1.1) u n d (1.2) (1.2) A . = F»;v (A) A \ cob+ F “ (/1) A \ cob, v

wo F “ v (A) — d F£’ (A)/d f r ist. D ie e rste d iffe re n tie lle E rw e ite ru n g (coa, a>bj ist ein geom etrisch es O b jek t, w eil ih re T ran sfo rm atio n sfo rm el (1.1), (1.2) d e r fu n d a m e n ta le n F u n k tio n a lg le ich u n g u n d d e r Id en tita ts- bedin g u n g geniigt. Es ist lin e a r hom ogen zw e ite r K lasse.

In sb eso ndefe h a t die e rste d iffe re n tie lle E rw e ite ru n g des k o n tra v a - r ia n te n V ek to rs v (u;) die folgende T ra n sfo rm a tio n sfo rm el

(1.3) v = A ;' o'-

(1.4) v ‘\ ' = -^xv A \ v l +-A)'’ A'\ v \ 2., v = 1, 2, . . ., n.

Die K o m ita n te des O b jek tes ( « “, ) w ird D iffe ren tia lk o m itan te e rs te r O rd n u n g des O b je k te s co g e n an n t, (vgl. [7] S. 117 bzw. [8], S.' 57).

K. YANO in [11] h a t allg em ein e F o rm d e r L ieschen A bleitun g f u r die speziellen g e o m etrisch en O b je k te b elieb ig er K lasse erh a lte n . E r h a t auch gezeigt, daB die L iesche A b leitu n g des O b jek tes co d a n n u n d n u r d a n n ein geom etrisches O b je k t d a rs te llt, w e n n co lin e a r ist. A us d e n E rg ebn issen von K. YANO folgt, daB die L iesche A b leitun g d e r T en ­ so rd ic h te n die folgende F o rm

L a co = v J <o“ —F ? v (E) cob v a,_{o v Da x ' 7 v}

h at. H ie r w ird gezeigt, daB eine ah n lich e F o rm (3.2) fiir die L iesche A b leitu n g d e r T en so rd ich ten aus d e r in [6] angegebenen D efinition d e r L ieschen A b leitu n g folgt.

§ 2. M it H ilfe d e r oben e in g e fu h rte n B egriffe n im m t die in [6j ange- gebene D efin itio n d e r L ieschen A b leitu n g fiir die O b je k te e rs te r K lasse die n a c h ste h en d e F o rm an

D E FIN IT IO N 2.1. L iesche A b leitu n g des O b jek tes (1.1) h in sich tlich des k o n tra v a ria n te n V ek to rs (1.3) ist jed e D iffe re n tia lk o m ita n te e rs te r O rd n u n g von v u n d co, die ein geo m etrisches O b je k t m it d e r T ra n sfo r­

m atio n sfo rm el (1.1) ist u n d die folgenden B ed in g u n g en erfiillt:

(2.1) Sie ist h in sich tlich v lin ear.

(2.2) Sie ist h in sich tlich co a d d itiv