O dekompozycji funkcji przełączających

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄ SK IEJ 1971

S e r ia : AUTOMATYKA z. 19 Nr k o l. 317

JAN PIECHA

K ated ra Autom atyzacji Procesów Przemysłowych

O DEKOMPOZYCJI H JŃKCJI PRZEŁĄCZAJĄCYCH

S tre s z c z e n ie . W a rty k u le omówiono tr z y modele de­

kompozycji fu n k c ji p rz e łą c z a ją c y c h . Przed staw io­

no sposób p o d e jścia do problemu m in im a liz a c ji fu n k c ji p rz e łą cz a ją cych p od legających dekompozy­

c j i według zdefiniow anych schematów,

1« Term inologia, oznaczenia

N iech fu n k cja f będzie fu n k cją p rz e łą cz a ją cą opisaną na zbiorze zmiennych X o mocy n , X = |x^ . . . , x n| . "Podziałem " X. na zbio­

rz e X je s t ro d zin a n iep u stych , rozłącznych podzbiorów tw orzących z b ió r X

X : A U B u CU . . . . “ X

oraz

X : A H B O C H . . . . o 0

N iech {a,b| będzie podziałem na zbiorze X .

O k re śle n ie :

0

fu n k c ji

f(x )

mówimy, że podlega dekom pozycji lu b z b ió r X je s t fu n k cy jn ie ro z d z ie ln y , ze zbiorem ograniczonym (zw iąza­

nym) A 1 zbiorem wolnym B , wtedy gdy is t n ie ją fu n k cje P i 0 t a ­ k ie , że:

f(x)

- F [0 (A )tB ] . . . (1 )

42 Jan P iech a

J e ś l i fu n k cja p rz e łą c z a ją c a je s t dekomponowalna wg schematu przed­

staw ionego wyrażeniem (

1

) to mówimy, że fu n k cja podlega dekompozycji p r o s te j. W yrażenie (1 ) można z ilu stro w a ć schematem przedstawionym na r y s . 1 .1 .

Is t n ie ją rów nież b a rd z ie j złożone modele dekonęozycji ja k : dekompozycja w ie lo k ro tn a

f(x )

- f [ 0 ( a ) ,

y

( B ) , . . . ,

c]

co można z ilu stro w a ć schematem przedstawionym na r y s . 1 .2 .

(

2

)

W w w

Kx)

R y s. 1.2

dekompozycja ite r a o y jn a

f(x )

= 3?[z>[y(a), b]

,c]

(3 )

O dekompozycji fu n k c ji p rze łąc zają cy ch 43

W

■ w

w -K*)

Rys. 1.3

g d zie:

<p ,y , . . . to fu n k cje o g ran iczen ia podzbiorów.

Rozpatrzmy k o lejn o przedstaw ione modele dekom pozycji.

2 . P ro s ta altern atyw n a dekompozycja

Dyskusję metody rozpocznijm y od prostego p rzyk ład u . N iech będzie da­

n a fu n k c ja

fOO “27(0,5,6,7,10,11,12,13).

Okazuje s ię , że można znaleźć fun kcję

0 (A) =27(1,2,3,4,5), X . , x2, * 3 ^{, x j}

g d z ie:

oraz

A = | x i, X

3

^{, x4} ,} X \ A = B = | x

2

^j.

f ( x ) - P[«>(A), B ] »2 7 (0 ,3 )

Znajdowanie ty c h zależ n o ści "metodą rebusową" je s t bardzo trudne 1 d la w iększej lic z b y zmiennych niem al niem ożliw e.

Rozpatrzmy następ u jącą s ia tk ę Karnaugha (zwaną m atrycą p o d z ia łu ):

r y s . 2.1

44 Ja n P iech a

X 2 O 4

Ja k w idać jeden w iersz je s t n eg acją drugiego. Przyjm ijm y, jeden z w ie rs z y rrp. d ru g i, o p isu je pewną fu n k cję X na zbiorze ° A, o ż y li w ie rsz pierw szy odpowiada stanow i X . Można łatw o wykazać s łu s z ­ ność r e la c j i:

0 (A ) <*=> * ( A )

Wprowadzenie dodatkowych w ie rsz y sk ła d a ją cych s ię z samych jedynek lu b samych zer n ie zm ieni w yrażenia 0 (a) .

Tw ierdzenie

2.1.

^{Fu nkcja}

f(x)

podlega dekom pozycji f [0 ( a ) ,b ] ze zbiorem wolnym B i zbiorem ograniczonym A, w tedy gdy m atryca po­

d z ia łu posiad a c z te ry lu b m niej znaczące ro d zaje w ie rsz y . Dowód:

f (A ,B ) = f[0 (A ),b] = f [o,b] 0 (a) + F [ l , B ] 0 ( A )

- gdy F [0 ,B j « 0 ,F [1 ,B ] = 0, w iersz skład a s ię z sanych z e r,

- gdy f [o,b] ■ 0 ,F ( l,B ] = 1, w iersz je s t pewną kombinacją zer i je ­ dynek, k tó ra odpowiada fu n k c ji 0 (A ),

- gdy F |0 ,bJ «• 1, F [ l , B ] = 0, w ie rsz je s t kom binacją zer i jedynek, Irtó ra odpowiada fu n k c ji 0 (a),

- gdy F [0 ,B ] w 1, F [1 ,B ] « ‘ 1, w iersz skład a s ię z samych jedynek.

Tw ierdzenie 2.1 je s t warunkiem koniecznym, a le n iew ystarczającym . X1 3X4

0 1 2 3 8 9 10 11

1 0 0 0 0 0 1 1

0 1 1 1 1 1 0 0

f(x)

R y s. 2.1

O dekompozycji fu n k c ji p rzełąc zają cy ch 45

Tw ierdzenie 2 .2 . Fu nkcja podlega dekompozycji F [?>(a) ,b] ze zbiorem wolnym B i zbiorem ograniczonym A, w tedy, gdy m atryca p od ziału po­

s ia d a co najw yżej dwa znaczące rodzaje kolumn.

Dowód: je s t o cz yw isty, w ynika z dowodu tw . 2 .1 . P rz yk ła d 2.1

Dana je s t

f ( X ) = £ (0 ,1 ,2 ,3 ,8 ,1 0 ,1 7 ,1 9 )

g d z ie:

X - { v V x3* X4 }

Znaleźć fun kcję o g ran iczen ia <P (A ) oraz f(?> ,b ).

N ależ y spraw dzić 2n - n - 2 przypadków n ie try w ia ln y c h podziałów . Mo­

że s ię zdarzyć, że lic z b a dopuszczalnych podziałów wynosi 0, 1 lu b > 1 . 0 - oznacza, że fu n k cja n ie podlega dekom pozycji, 1 - odpowiada p rzy­

padkowi p ro s te j, a ltern a tyw n e j dekom pozycji, > 1 - przypadek dekompo­

z y c ji w ie lo k ro tn e j lu b it e r a c y jn e j. W racając do przykładu - p o d z ia ł:

, x2 / przedstaw ia s ia tk a Karnaugha przedstaw iona na r y s . 2.2

X3X4

00 01 10 11

00 1 1 1 1

01

10 1 1

11 1 1

f(x)

R ys. 2.2

46 Jan fle c h a

Zgodnie z tw ierdzeniem 1.2 i 1.1 fu n k cja podlega dekompozycji ze zb io­

rem ograniczonym i zbiorem wolnym |x ^ , x^ j

A = { x 3, x4) , B » (x i( x2)

n ie ch

0

(A ) - *

3*4

+ x3*4

<P (A ) o x3x4 + X jX 4

Uproszczeniem je s t tu n ie w ą tp liw ie możliwość w ykorzystania n e g a c ji fu n k c ji o g ran iczen ia <P (A ), c o je s t szczeg ó lnie jaskraw e w przypadku, gdy w yrażenie Q (A ) je s t skomplikowane. D la zd efin io w an ia 0 (A ) n a le ­ ży wybrać w iersz d a jąc y w yrażenie p ro s ts z e . Może s ię zdarzyć, że nie- is t n ie je p o d z ia ł p ozw alający na dekompozycję analizow anej fu n k c ji. W t e j s y t u a c ji n ależy ro zw iązania szukać według jednego ze sposobów:

1. Rozpatrujem y przypadek gdy: x. = 0, x , = 1 to znaczy zmniejsza-

t) u

my lic z b ę zmiennych o j = 1 . . . m [1 ] i rozpatrujem y możliwość dekom­

p o z y c ji ta k uzyskanych fu n k c ji. Metoda t a wydaje s ię być bardzo żmudna i w olna.

2. Znajdujemy m atryce p o d z ia łu p od leg ające dekom pozycji, reprezen­

tu ją c e fun kcje związane r e la c ją :

0F i( x ) l e j o — kj-

lu b

y j* i(x )

l e j o . . . . k,}

O dekompozycji fu n k c ji p rze łączają cy ch 47

3 . W ielo krotn a altern atyw n a dekompozycja

Przypadek te n ma m iejsce gdy znajdujemy w ię ce j n iż jeden p o d z ia ł analizow anej fu n k c ji. Rozpatrzmy n ajp ro stsz y przypadek tz n , gdy i s t ­ n ie ją dwa p o d z ia ły f u n k c ji.

Tw ierdzenie 3 .1 . N iech:

f ( X ) = f (A ,B ) - P p ( A ),B ] = g[y(b) ,a]

w tedy:

Dowód:

f (A ,B ) = f [<P(A),b] = P [O ,B ]0 (A ) + p [ l fB ]i> (A )

= g[v(b) ,a] = g[o,a]v(b) + g[i ,a]v(b)

d la

P [0 ,B ] = 0, F [ l f B] = 1 =±>0(A) . . . ( i )

G [0,A] = 0,G [1 ,A ] = 1 = > V (b) . . . ( i i )

d la

x-6X, X = AU B ,

A x :

f ( x ) = >

f(x)

xeX n a podstaw ie ( i ) , ( i i )

<P(A) U Y {b )

=*-f(x)

48 Ja n P iech a

a n a lo g ic z n ie :

F [0 fB] - 1, P [ l fB ] » 0 =*>0(a)

G [0,A ] - 1, G [1 ,A ] - 0 = i> y (B )

0 ( A ) U Y (B )= > f(x ), f ( x ) - f (A ,B ) - H [0 (A ) ,V (B )]

P rz yk ła d 3.1

N ieok będzie dana fu n k c ja f ( x )

* * £ lJ ( 0 ,2 ,3 ,5 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1 2 ,1 4 ,1 5 ).

^Ma­

try c ę p o d z ia łu p rzed staw ia r y s . 3 .1 , X ■ |x ^ , x2, x j, x^j

*3*4

00 01 10 11

X1X2

' 00 1 1 1

01 1

10 1 1 1

11 1 1 1

R y s. 3.1

f ( x )

Ja k widać fu n k cja podlega dekom pozycji ze zbiorem ograniczonym x ^ | oraz zbiorem wolnym ,X g j. N iech 0 (x ^ ,x ^ ) ■= to 0 = x^ + + x .

f ( x ) » P |0 (x 3 , x4 ) , xl t x2] ■* + x2 )

J e ś l i rozpatrzym y d rug i .p o d z ia ł, g d zie: y ( x 1,x 2 ) => x.,x2, y = to fu n k cja

f ( x ) «. 0 Y + 0 V - h [ 0 ( a ) , V ( b ) ] .

O dekompozycji fu n k c ji p rzełąc zają cy ch 49

Tw ierdzenie 3 .2 « N iecht

f ( x ) - f (A , B ,C ) - F[< P(A),B,C] = G ^ ( B ) tA , c ]

wtedy:

f ( A , B ,C ) - H[<P(A)t y ( B ) , c ]

U o g ó ln ia n o tw ierd z e n ia 3.1 i 3.2 otrzymamy:

Tw ierdzenie 3 .3 . Nieoh:

f ( x ) « f ( A , B , . . . . , C , D ) -

- f [ < ) ( A ) ,B , . .. . , C ,d] - p [ v ( B ) fA , C,D] -

- H[x(c)tA,B,...,D )]

w tedy:

f ( A , B , C,D) - x [0 ( A ) , y ( B ) ,X (C ),D J

Tw ierdzenie 3 .4 . N ieoh:

f ( x ) « f ( A , B , C ,D ,B ) -

- F ^ ( A , B ,C )D ,B ] • G |y (A ,B ,D )f C ,E ] -

- . . . . - h[xCa, . . . ,c,d) ,b,e]

w tedy:

f ( A , B t . . . . f C ,D ,E ) - K f p ( A ) , y ( B ) , . . . . t X ( c ) , 0 ( d ) , e ]

50 Ja n P iech a

4 . Ite ra c y .jn y model dekompozycji Tw ierdzenie 4 .1 . N iech:

f(x)

» f ( A , B , C ) = f[î> (A ,B ),c] = G [ v ( A ) , B , c ] w tedy:

f (A ,B ,C ) = P [? [V (A ),B ],C ]

Słuszność tw ie rd z e n ia możemy z ilu stro w a ć następującym przykładem :

P rz yk ła d 4.1

Fu nkcja lo g ic z n a op isan a na zbiorze sz e ściu zmiennych X = ■{x1, x „,

\ V 1 2

x^, x^, X g l , dana je s t w p o s ta c i m atryc p o d z ia łu , przedstaw ionych na r y s . 4.1 i r y s . 4 .2 .

x1x3X5X6

X2X4 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

f(x)

R ys. 4.1

Z b ió r ograniczony A = | x .j, x^, x^, X g j, z b ió r wolny B = jx 2 , x^j.

x2x3x4X6

X4X5 1 1 1 ■1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

R ys. 4.2

f(x)

O dekompozycji fu n k c ji p rzełąc zają cy ch 51

Z b ió r ograniczony jl = | x 1, x ^ j, z b ió r wolny B' •= j x 2, x^, x^j Otrzymujemy:

f ( x ) - I'Jii(x 1,x 3 ,x5 ,x 6 ),x 2,x4J - g|V(x1 ,x 5 ),x 2,x 3 ,x4 ,x 6J

W yróżnić tu można tr z y ch arakterystyczn e podzbiory:

C - { x i , x5} , D - { x 3 , x g }, E o {x 2, x j

Przyjm ijm y:

0 ( * J| ^ » * 5 »*6 )• " ^i*3*5^6 + X1X3*5X6 + X1X3X5X6 + X1 % X5 % +

+ x1x3; 5x6 + X ^ ^ X g

V ( * , , X g ) o 3 ^ * 5 +

Rozpatrzmy fu n kcję (x^ » x ^ x ^ X g ) okazuje s ię , że można dokonać de­

kom pozycji t e j fu n k c ji ze zbiorem ograniczonym

|x ^ » x ^ j

^{. R ys.}

4 .3 :

*3*6 1 1

1 1

1 1

i > ( x 1 , x 3 , x 5 , X g )

R y s. 4.3

52 Jan Piecha

“ ? [v (x 1,x5 ),x 3 ,x 6j

v C * ,,* ^ ) - + x , ^

f(x ., ,x5,x 3 ,x 6,x 2,x 4 ) = P |p [v (x 1 ,

3

^ ),x 3,x 6J ,x2 ,x4

Przypadek te n można u o g ó ln ić do s y t u a c ji, gdy sto p n i kaskady je s t k ,

5 . Zastosowania metody

P rz y dużej lic z h ie zmiennych czas trw a n ia procesu syn tezy oraz mi­

n im a liz a c ji metodą Mc C luskey’ a je s t hardzo d łu g i, metoda s ta je s ię ma­

ło p rzyd atn a. Algorytm m in im a liz a c ji Gimpela ze względu na rozbudowaną t a b lic ę pokryć (C C ), je s t jeszcze b a rd z ie j czasochłonny. D la k la s y fu n k c ji podlegających dekom pozycji, według przedstaw ionych schematów, czasy syn tezy i m in im a liz a c ji s ie c i lo g iczn ych można znacznie s k ró c ić : Z b ió r zmiennych X u leg a ro z b ic iu na rozłączne podzbiory. Proces mi­

n im a liz a c ji może s ię odbywać rów nolegle w poszczególnych podzbiorach.

Bardzo is to tn y je s t fa k t, że przedstaw iony alg oiytm może być stosowany d la ograniczonej lic z b y zmiennych, jako że o p arty je s t na a n a liz ie sia^

te k Kamaugha fu n k c ji. Ocena, czy fu n k cja o dowolnej lic z b ie zmien­

nych podlega dekompozycji może być dokonana p rz y u życiu algorytm u, któ­

r y przedstawiono w zesz. N r 20, n in ie js z e j s e r i i .

Innym aspektem zagadnienia je s t możliwość r e a liz a c ji fu n k c ji lo g ic z ­ nych na elem entach o założonej lic z b ie w e jść. Gdy fu n k cja podlega de­

kom pozycji w ie lo k ro tn e j zgodnie z tw ierd zen iam i: 3.3 i 3 .4 , bierzem y pod uwagę (w-1) ograniczeń

f(x ),

gdzie: w je s t lic z b ą w ejść e le ­ mentu.

O dekompozycji fu n k c ji p rzełączają cy ch

53

Na p rzykład :

f ( X ) = f ( A , B , . .

f[v(a) ,b, . . .

g[v(b)',a, . . . w e jś c ia 1 * (w-1 )

h[k(c) ,a,b, . . . , D ,eJ »

k[« (d) ,a,b, .

w e jście w

skąd:

<P (A ), V ( b ) , . . . ,

x(c)

- pokryw ają w e jś c ia od 1 do (w-1 ) ...D ,E , . . . . - pokryw ają w e jś c ie w.

6. lit e r a t u r a

[ l ] R . l . Ashenhurst - The decom position o f Sw itch in g Functions Annals Com putation.Lab. v o l. 29 Cambridge Mass H arvard U n iv . 1957.

[

2

J Y . Yun-Shen Shen and A rch ie Me K e lla r . An Algorithm fo r th e D is­

ju n c tiv e Decom position o f Sw itch in g Fu n ctio n s. IE E E Transactions on Computers v o l. C-19 No. 3 1970.

Si Jan P iech a

ABOUT DECOMPOSITION OP SWITCHING HJNCTIONS

S u m m a r y

The pq?er p resents th re e models o f s w itch in g fu n c tio n s . The problem o f m in im a lisa tio n o f fu n c tio n which can be decomposed is d iscused .

OB AEK0tül03ULhV. JlEPEKJlBSAUiiWC fcyHKUEK P e 3 e u e

B C T a T b e n p e ^ C T aB JieH o TpH u o j e j i n fle K o n n o 3 HUHH nepeujiEM aDim oc $ y H sm tH , Jlp e jC T a B s e H o n o j x o j x B o n p o c y UHUHUaJiHoamm n ep eK S D H an n iix ifyHKUKM, n o j s e - xaomHX jeKounoBHUM M c o r Jia c H o on peje'sëH H U M c u e u a u .