1 Ocena praktycznego zastosowania metody dekompozycji i ekwiwalentowania
1.1 Wstęp
Jednym z istotnych parametrów opisu niezawodności działania sieci kanalizacyjnej jest wartość oczekiwana ładunku nieodprowadzonych wskutek awarii ścieków. Wartość tę moż- na oszacować posługując się na przykład metodą grafów [Bobowski 1985], [Galpierin, Stiekłow 2000], [Wieczysty 1990] opartą na teorii procesów Markowa. Jednakże Ju. A.
Jermolin i M. I. Alieksjejew [Jermolin, Alieksjejew 2012] zaproponowali alternatywną metodę obliczenia parametrów sieci kanalizacyjnej, którą nazwali metodą dekompozycji i ekwiwalentowania (dalej MDE).
Celem niniejszej pracy jest porównanie tych metod w zastosowaniu do obliczenia warto- ści oczekiwanej ładunku nieodprowadzonych ścieków na przykładzie bardzo prostego sche- matu sieci kanalizacyjnej.
1.2 Metoda grafów
Metoda grafów polega w tym zagadnieniu na obliczeniu prawdopodobieństw PSi wszyst- kich stanów Si rozpatrywanej sieci (ewentualnie gałęzi sieci), a następnie przemnożenie ich przez sumaryczne wydatki QSi tych odcinków, z których w danym stanie ścieki nie zostaną odprowadzone. Suma tych iloczynów daje szukaną wartość oczekiwaną.
Aby móc obliczyć prawdopodobieństwa poszczególnych stanów, konstruuje się macierz intensywności przejść Λ, w której elementy diagonalne Λij (i = j) odpowiadają prawdopodo- bieństwu opuszczenia tego stanu (1 minus prawdopodobieństwo pozostania w danym sta- nie), elementy powyżej diagonalnej Λij (i < j) odpowiadają prawdopodobieństwu przejścia do stanu Si wskutek naprawy stanu Sj, natomiast elementy poniżej diagonalnej Λij (i > j) odpo- wiadają prawdopodobieństwu przejścia do stanu Si wskutek awarii stanu Sj.
Macierz ta jest macierzą quasi stochastyczną, której kolumny spełniają własność:
0
i
ij (1)
Z własności tej bezpośrednio wynika więc fakt, iż elementy diagonalne spełniają zależ- ność:
j
i ji
ii (2)
W praktycznym zastosowaniu przyjmuje się wartości asymptotyczne (stacjonarne) praw- dopodobieństw PSi, zakładając że proces jest ergodyczny. W takim wypadku mogą być one obliczone jako rozwiązania układu równań, które symbolicznie może być zapisany równa- niem macierzowym:
0
ΠΛ (3)
gdzie Π reprezentuje wektor granicznych prawdopodobieństw.
Układ taki jest oczywiście nieoznaczony, więc, celem eliminacji nieoznaczoności, dowolne równanie zastępuje się warunkiem:
1
i PSi (4)co prowadzi do zastąpienia odpowiedniego wiersza macierzy Λ wektorem jedynek oraz za- stąpienia odpowiedniej pozycji w wektorze 0 wartością 1.
Dalsze postępowanie jest już prostym zagadnieniem rachunku macierzowego.
1.3 Metoda dekompozycji i ekwiwalentowania
Metoda dekompozycji i ekwiwalentowania (MDE) [Jermolin, Alieksjejew 2012], traktująca sieć kanalizacyjną jako graf typu drzewo [Królikowska, Kubala 2015], polega na kolejnym zastępowaniu struktur Y-kształtnych, które składają się z dwóch krawędzi zewnętrznych (liści grafu) połączonych w węźle macierzystym, oraz krawędzi mającej koniec w tym węźle krawędzią ekwiwalentną. Przykłady takich struktur przedstawia rys. 1.
Rys. 1. Graf sieci kanalizacyjnej, w którym zaznaczono struktury Y-kształtne, które ulegną zastąpieniu krawędziami ekwiwalentnymi.
Otrzymując nową strukturę sieci, w kolejnym kroku postępujemy ponownie, aż całą sieć (albo interesującą nas gałąź sieci) zastąpimy jednym kanałem ekwiwalentnym.
W strukturze grafu można zatem wyróżnić Y-kształtne struktury składające się z trzech krawędzi, z których dwie, połączone w węźle macierzystym, zakończone są liśćmi. Na rys. 1.
struktury te zaznaczone są obrysami.
Na etapie zamiany obliczane są wydatek ekwiwalentny struktury qe będący prostą sumą wydatków qi kanałów konstruujących zastępowaną strukturę oraz wartość oczekiwaną nie- odprowadzonych ścieków Qe. Jako wartość pomocniczą oblicza się również bezwymiarowy współczynnik γe, który dla pojedynczego kanału jest rozumiany jako iloraz intensywności uszkodzeń λ i odnowy μ:
i i
i
(5)
W trakcie obliczania parametrów kanału ekwiwalentnego przyjmuje się założenie, że prawdopodobieństwo awarii dwóch lub więcej kanałów jednocześnie jest znacząco mniejsze od prawdopodobieństwa awarii pojedynczego kanału i w strukturze grafu stanów struktury Y-kształtnej takich stanów nie uwzględnia się (rys. 2).
Rys. 2. Schematyczne przedstawienie zastąpienia struktury Y-kształtnej jednym kanałem ekwiwalent- nym (rys. 2a) oraz odpowiadające temu zabiegowi grafy stanów tego fragmentu sieci (rys. 2b).
Przy takim założeniu struktura Y-kształtna, jak na rys. 2a, może przyjmować 4 stany: 0 – wszystkie trzy kanały są sprawne, 1 – kanał k1 jest niesprawny, 2 – kanał k2 jest niesprawny i 3 – kanał k3 jest niesprawny, natomiast przejścia pomiędzy tymi nimi następują z odpo- wiednią intensywnością uszkodzeń (λ1, λ2, λ3) lub odnowy (μ 1, μ 2, μ 3). Dla tak określonej struktury grafu stanów ich prawdopodobieństwa wyrażają się wzorami:
3 2 1
3 3
3 2 1 2 2
3 2 1 1 1
3 2 1 0
1 1 1 1
1
S S S S
P P P P
(6)
Znając wartości prawdopodobieństw stanów i wydatki poszczególnych kanałów, jesteśmy w stanie obliczyć wartość oczekiwaną Q nieodprowadzonych ze struktury ścieków.
Podobnie czynimy dla struktury ekwiwalentnej, którą określają tylko dwa stany: 0 – kanał jest sprawny oraz e1 – kanał jest niesprawny. Przyjmując dla tego kanału oznaczenia strumieni intensywności uszkodzeń i odnowy jako λe1 i μe1 oraz odpowiadający im bezwymiarowy parametr γe1, otrzymujemy następujące prawdopodobieństwa stanów:
1 1 1
1 0
1 1
1
e e Se
e S
P P
(7)
Postępując analogicznie, również tutaj obliczamy wartość oczekiwaną Qe nieodprowadzo- nych ze struktury ścieków.
Przyjmując kluczowe założenie, że:
Qe
Q (8)
i porównując odpowiednie wzory analityczne na te wielkości, jako funkcje γi oraz qi, jesteśmy w stanie obliczyć zarówno γe1, jak i Qe oraz PSe1. Rozumiane jako prawdopodobieństwo uszkodzenia całej redukowanej struktury.
W tym miejscu celowo nie podajemy explicite wzorów analitycznych na te wielkości, gdyż autorzy metody wprowadzili do niej, jak się okazało, niepotrzebnie silne założenia ograniczające jej stosowalność, a mianowicie [Jermolin, Alieksjejew 2012]: 1) tylko kanały będące liśćmi w strukturze grafu sieci mają niezerowe wydatki qi oraz 2) sieć jest drzewem binarnym, to jest, poza węzłami będącymi końcami liści, każdy węzeł jest połączeniem tylko dwóch kanałów dopływowych i jednego odpływowego.
Jak udało się pokazać [Królikowska, Kubala 2015], warunek 1) nie jest potrzebny i rezygnacja z niego jedynie nieznacznie komplikuje odpowiednie wzory analityczne na wielkości γe1, oraz Qe. Z warunku 2) można zrezygnować, wprowadzając do struktury grafu sieci fikcyjne kanały uzupełniające o zerowym wydatku i zerowej wartości parametru γ.
Pozwala to rozpatrywać również węzły, do których dochodzą więcej niż dwa kanały dopływowe, a także węzły z jednym kanałem dopływowym.
Dla tak zmodyfikowanych założeń odpowiednie wzory analityczne dla wielkości γe1, oraz Qe kształtują się następująco:
q T q Q q
3 2 1
1 1 3 1 3 2 1 2
1
(9)
oraz
32
2 1
2 2
33 1
3 2 1 13
11 1 q 1 q 1 q
q q q
e
(10)
przy czym T jest czasem, dla którego obliczana jest wartość oczekiwana nieodprowadzonych ścieków. Jeżeli zrezygnujemy z tego czynnika, to otrzymamy wielkość jednostkową w czasie.
Biorąc pod uwagę, że:
q q q
T pQe e1 1 2 3 (11)
łatwo również obliczyć wartość PSe1.
Dla potrzeb dalszych rozważań podajemy jeszcze rozwiązania dla struktury, gdzie wystę- puje jedynie jeden kanał dopływowy, to znaczy takiej, w której nie występuje kanał k3 na rys. 2a oraz nie jest obecny stan 3 na rys. 2b.
Dla takiego układu wartość γe1 jest prostą konsekwencją równania (10):
2
12
1 1 2 1 1 2
1 q
q
q q
e
(12)
natomiast wartość Q bezpośrednio wynika z równania (9):
q q TQ
2 1
1 1 2 1 2
1
(13)
przez proste podstawienie zerowych wartości q3 i γ3.
Pełne procedury otrzymania wzorów analitycznych dla poszczególnych przypadków, w tym dla przypadku więcej niż dwóch kanałów dopływających, podane zostały we wspom- nianej już pracy [Królikowska, Kubala 2015].
1.4 Dokładność metody dekompozycji i ekwiwalentowania
Pomimo tak złagodzonych założeń metody, zawiera ona jednak uproszczenia, które po- tencjalnie mogą wpłynąć na ostateczny wynik obliczeń wartości oczekiwanej nieodprowa- dzonych ścieków. Przede wszystkim w mocy pozostaje założenie o zaniedbywalnie małym prawdopodobieństwie jednoczesnego uszkodzenia dwu lub więcej kanałów w zwijanej stru-
kturze. Również sam fakt stopniowej redukcji poprzez dekompozycję struktury sieci powo- duje, że w rozpatrywanych kolejnych krokach nie uwzględniamy stanów pozostałej jej części.
Aby ocenić dokładność metody, rozpatrzyliśmy prostą strukturę sieci kanalizacyjnej pew- nego małego miasta południowej Polski [Królikowska 2010], zredukowaną do trzech kolekto- rów. Trzymając się konsekwentnie oznaczeń sieci kanalizacyjnej jako drzewa ukorzenionego (jak na rys. 2), numerację prowadzimy odwrotnie do kierunku spływu ścieków. Tak więc wę- zeł w0 jest końcowym zbiornikiem sieci, kanał k1 prowadzi od węzła w1 do w0, kanał k2 prowadzi od węzła w2 do w1, a kanał k3 od węzła w3 do w2. Widać więc, że mamy do czy- nienia z przypadkiem, kiedy wszystkie struktury redukowane wskutek dekompozycji zawiera- ją tylko jeden kanał wlotowy, odpowiada to przypadkowi zastosowania równań (12) i (13).
Dla takiej struktury sieci przestrzeń stanów rozpatrywanych w metodzie grafów jest na- stępująca:
S0 – stan, w którym wszystkie kanały są sprawne;
S1 – stan, w którym kanał k3 jest uszkodzony;
S2 – stan, w którym kanał k2 jest uszkodzony;
S3 – stan, w którym kanał k1 jest uszkodzony;
S4 – stan, w którym uszkodzone są kanały k3 i k2;
S5 – stan, w którym uszkodzone są kanały k3 i k1;
S6 – stan, w którym uszkodzone są kanały k2 i k1;
S7 – stan, w którym uszkodzone są wszystkie kanały.
Przyjmując wyznaczone na podstawie badań jednostkowe intensywności uszkodzeń oraz odnowy odpowiednio równe [Królikowska 2010] λ0 = 0,4∙10–4km–1h–1 = 0,35 km–1a–1, μ0 = 0,1 h–1,otrzymujemy następujące parametry kanałów (tab. 1).
Tab. 1. Parametry kanałów analizowanej sieci wymagane do obliczeń obiema rozpatrywanymi meto- dami.
Kanał Długość [km] Wydatek [Qn] Intensywność
uszkodzeń [h–1] Intensywność
odnowy [h–1] Parametr γ [-]
k1 1,0 0,16 0,000040 0,1 0,0000040
k2 0,8 0,21 0,000032 0,1 0,0000032
k3 5,5 0,63 0,000220 0,1 0,0000220
Dla takiego zestawu parametrów obliczone prawdopodobieństwa poszczególnych stanów oraz sumaryczne wydatki kanałów z których w danym stanie nie zostaną odprowadzone ście- ki są następujące (tab. 2).
Tab. 2. wartości prawdopodobieństw stanów analizowanej sieci, sumaryczne wydatki nieodprowa- dzonych ścieków oraz iloczyny tych wielkości.
Stan Prawdopodobieństwo stanu PSi
Sumaryczne wydatki
QSi [Qn] PSi∙QSi [Qn]
S0 0,99708679925 0,00 0
S1 0,00219359096 0,63 1,381962·10–3
S2 0,00031906778 0,84 2,680169·10–4
S3 0,00039883472 1,00 3,988347·10–4
Stan Prawdopodobieństwo stanu PSi
Sumaryczne wydatki
QSi [Qn] PSi∙QSi [Qn]
S4 0,00000070195 0,84 5,896372·10–7
S5 0,00000087744 1,00 8,774364·10–7
S6 0,00000012763 1,00 1,276271·10–7
S7 0 1,00 2,807796·10–10
W ostateczności otrzymana wartość oczekiwana nieodprowadzonych ścieków, obliczona metodą grafów, jako suma wartości z kolumny 4 tabeli 2, wynosi Q = 0,002050409 Qn.
Jak łatwo zauważyć, w rozpatrywanym przypadku MDE wymaga jedynie dwukrotnego za- stosowania redukcji. Oznaczając przez γe2, Qe2 oraz qe2 parametry pierwszej redukcji (kanałów k3 i k2 do kanału ke2), a przez γe1, Qe1 oraz qe1 parametry drugiej redukcji (kanałów ke2 i k1 do kanału ke1) otrzymujemy następujące wyniki (tab. 3.).
Tab. 3. Wyniki obliczeń poszczególnych parametrów metody KDE dla rozpatrywanej sieci.
Kanał ekwiwalentny γei qei [Qn] Qei [Qn]
e2 0,0019689171 0,84 0,001650640
e1 0,0020532435 1,00 0,002049036
Należy zauważyć, że Qe1 odpowiada szukanej wartości oczekiwanej nieodprowadzonych ścieków, natomiast Qe2 odpowiada sumie wartości kolumny 4 tab. 2 dla stanów 1, 2 i 3, co daje wartość 0,001650569.
Jak widać, w obu przypadkach wartości Qe1 i Qe2 są prawie identyczne z odpowiadającymi im wartościami wyliczonymi metodą grafów.
1.5 Wnioski
Porównując otrzymane wyniki obiema metodami dochodzimy do wniosku, że MDE daje wystarczająco dokładne wyniki dla obliczeń wartości oczekiwanej nieodprowadzonych ścieków. Oczywiście rozpatrywany przypadek jest bardzo prosty i można się zastanawiać, czy ewentualne odchylenia od wartości obliczonych metodami bardziej ścisłymi nie będą narastać w miarę wzrostu liczby elementów sieci lub jej złożoności strukturalnej. Należałoby więc przeprowadzić dalszą analizę, przede wszystkim wpływu rozległości sieci na dokładność obliczeń.
