Wykład 7 Pole skalarne i wektorowe

Wykład 7

Pole skalarne i wektorowe

1. Funkcja wielu zmiennych 2. Pochodna cząstkowa.

3. Gradient

4. Dywergencja 5. Rotacja

Funkcja jednej zmiennej

Zmienna niezależna

) sin(t y 

Zmienna zależna

0 1 2 3 4 5 6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t y

Wykres y=f(t)

jest krzywą płaską

Funkcja wielu zmiennych

) cos(

)

sin(x y

z  

Zmienna

zależna Zmienna

niezależna Zmienna

niezależna

Pochodna cząstkowa

• Pochodna z funkcji jednej zmiennej

(względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji;

• Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych to pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;

Pochodna cząstkowa

• Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe;

• Pochodna cząstkowa jest gradientem

powierzchni w kierunku danym przez tę

zmienną, względem której liczono pochodną:

 

 x

z pochodna cząstkowa względem x

Przykład

• Pochodna cząstkowa funkcji:

• względem x (traktujemy y jako stałą):

• względem y (traktujemy x jako stałą):

( , )

f x y   y x

(

) f y x 2

x x x

  

  

 

(

) f y x 1

y y

  

 

 

Pole skalarne i wektorowe

• Pole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura)

• Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych (np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).

Pole skalarne i wektorowe

• Pole skalarne:

• np.

) , (x y f

f 

2

) 2

,

(x y x y

f  

yz z

x z

y x

f ( , , )  ²  2 

Pole skalarne i wektorowe

• Pole wektorowe (2D) :

• np.

( , ) x y  [ ( , ), ( , )] f x y g x y F

2 2 2 2

( , ) x y  x  y  [ x ,  y ]

F i j

( , , ) x y z  2 xz  y

 cos( ) y

F i j k

Pole skalarne i wektorowe

Wybrzeże litewskie

Temp. powierzchniowa Kierunek i siła wiatru

Gradient funkcji skalarnej ^{ f}

0 1

2 3

4 5

6

0 1 2 3 4 5 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y x z

krzywa ^C

𝛕

 f

𝜽

𝛻𝑓 jest wektorem, którego wartość jest równa szybkości zmian wzdłuż krzywej C w punkcie P i wskazuje kierunek

maksimum szybkości zmian.

P

f f f

f x y z

    

  i   j   k  

, , grad

f f f

f f

x y z

    

      

 

Operator Gradientu

Operator gradientu:

lub:

Operator gradientu działając na funkcję skalarną daje wektor

Przykład

• Oblicz gradient funkcji:

• Gradient :

3 3 1 3

) 1 ,

(x y  x³  y³  x  y  f

f , f

f x y

   

       

2 1

 

 x x

f   ² 1



 y

y f



^1,

¹ 

f x y

     

Źródłowość pola

Strumień wektora pola

Poprzez analogię do opisanego wyżej zjawiska przepływu cieczy wprowadzimy teraz pojęcie strumienia  wektora 𝑨 przez

zamkniętą powierzchnię S. Elementarny strumień d :

𝑨 𝒏

𝒅𝑺 = 𝒏𝒅𝑺

𝑨 ∙ 𝒏

𝑑𝛷 = 𝐴 ⋅ 𝑑𝑆

Strumień wektora pola

∆𝛷 = 𝑬_𝒊 ∙ ∆𝑺_𝒊 = 𝑬_𝒊 ∙ ∆𝑺_𝒊 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝜽 𝛷 = lim

∆𝑺_𝒊→𝟎 𝑬_𝒊 ∙ ∆𝑺_𝒊

= 𝑬 ⋅ 𝑑𝑆

𝑆

Strumień wektora pola-

twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

• Można pokazać, że strumień wektora pola przez powierzchnię zamkniętą jest równy:

Zatem dywergencja jest przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego

∅ = 𝑨 ⋅ 𝒅𝑺 = 𝒅𝒊𝒗𝐴 ∙ 𝒅𝑽

𝑆 𝑉

Operator dywergencji

• Niech natężenie prądu cieczy lub gazu reprezentuje pewien wektor pola 𝐣 , tzn.

• Miarą źródłowości pola jest dywergencja.

[ ( , , ), ( , , ), ( , , )] u x y z v x y z w x y z

 j

+

Operator dywergencji

• Rozważmy skalar:

• Jeśli 𝜵 • 𝐣 > 0 ciecz wypływa ze źródła

• Jeśli 𝜵 • 𝒋 < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu

[ , , ] [ , , ] u v w x y z

u v w

x y z

  

   

  

  

  

  

j

Operator dywergencji

• Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną

• Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową

div u v w

x y z

  

     

  

j j

[ , , ] u v w

j 

Operator rotacji

• Niech wektor indukcji pola magnetycznego 𝑩 obraca się

• Obrót charakteryzuje

wektor rotacji, który jest prostopadły do płaszczyzny w której obraca się wektor 𝑩

• Jego kierunek określa reguła śruby prawoskrętnej

𝒓𝒐𝒕𝑩

Operator rotacji

• Operator rotacji wektora pola:

[ , , ] [ , , ] u v w x y z

  

   

   V

w v u w v u

y z z x x y

           

   V      i       j      k

Operator rotacji

• W postaci macierzowej:

x y z

u v w

w v u w v u

y z z x x y

  

  

  

           

                       

i j k

v

i j k

 ^{1 y}

 ^{ 0 1   0 x }

      v i   j   k

 

xy y z

x y z

    

v i j k

2

( )

x y z

xy y z x y z

  

  

  

  

i j k

v

 ^y

¹  ^x

    v  i   j k

Przykład

Oblicz rot v dla:

Sens fizyczny rotacji

• Dla płynącej cieczy, rot v oznacza, że mamy do czynienia z wirami:

– rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu;

– jego kierunek określa reguła prawej dłoni;

• Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi:

– rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż tej osi;

– długość rot v jest równa podwojonej prędkości kątowej.

Podsumowanie

• Gradient

– Maksimum szybkości zmian i kierunek maksymalnej szybkości zmian pola

skalarnego

– skalar  vektor

• Dywergencja

– Wskazuje źródło pola – wektor  skalar

• Rotacja

– Określa obrót wektora pola – wektor  wektor

 f

  v

  v

Operator Laplace’a

• uwaga: div(grad f ) pisze się tak:

• To jest operator Laplace’a

• Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in.

( f )

f

    

2 2 2

2 2 2

( )

f f f

f x x y y z z

f f f

x y z

 

         

                 

  

  

  