Elektrotechnika i elektronika (konspekt) Franciszek Gołek

Elektrotechnika i elektronika (konspekt) Franciszek Gołek

(golek@ifd.uni.wroc.pl)

www.pe.ifd.uni.wroc.pl

Wykład 7 i 8.

Maszyny elektryczne prądu zmiennego

Układy trójfazowe

Gdy umieścimy trzy uzwojenia 1-1’, 2-2’

i 3-3’ tak jak na rys. (a), kąt między kolejnymi ramkami wynosi tu 120° to

wirujący magnes w ich środku wygeneruje siły elektromotoryczne SEM, które będą

się różnić między sobą fazą o 120° i można je

zapisać jako I) e

_U

= E

_Um

sin( ω t), II) e

_V

= E

_Vm

sin( ω t - 2 π /3), III) e

_W

= E

_Wm

sin( ω t - 4 π /3) = E

_Wm

sin( ω t +

2 π /3). Dopóki obwody te nie są ze sobą połączone nazywamy je nieskojarzonymi (rys. b). Łącząc taki układ w gwiazdę lub w trójkąt uzyskujemy

trójfazowy układ skojarzony (powszechnie zwany

układem trójfazowym, rys. c). Układy trójfazowe są

powszechnie stosowane w elektroenergetyce.

Układy trójfazowe skojarzone możemy łączyć na dwa sposoby:

połączenie w trójkąt (deltę ∆ ) i w gwiazdę (Y). Przy połączeniu w gwiazdę mamy dwie możliwości: trójprzewodowa (a b i c) lub

czteroprzewodowa – z przewodem neutralnym.

Warto zauważyć, że przy symetrycznym obciążeniu wszystkich faz suma wektorowa napięć podobnie jak suma wektorowa

prądów wyniesie zero w każdej chwili.

U

_an

= U

_an

∠ 0°,

U

_bn

= U

_bn

∠ -120°,

U

_cn

= U

_cn

∠ -240° = U

_cn

∠ 120°,

Często operujemy wartościami: U

_an

= U

_bn

= U

_cn

= U

_skuteczne

Relacje między napięciami fazowymi i międzyfazowymi.

Gdy obciążenie w układzie trójfazowym jest symetryczne to moduły prądów są identyczne a same prądy są względem siebie przesunięte o 120° ich suma w przewodzie neutralnym zeruje się. Gdy obciążenie jest niesymetryczne to w przewodzie neutralnym (przy połączeniu w gwiazdę) płynie prąd niezerowy będący niezerową sumą prądów fazowych.

Gdy obciążenie w układzie trójfazowym połączonym w Y (gwiazdę) jest symetryczne to moduły napięć

międzyfazowych są √ 3 razy większe od modłów napięć fazowych. To samo dotyczy operowania wartościami

skutecznymi.

Przykładowo U

_1n

= U ∠ Φ, U

_2n

= U ∠ (Φ - 2 π /3), U

_3n

= U ∠ (Φ + 2 π /3),

U

₁₂

= U

_1n

– U

_2n

= U ∠ Φ – U ∠ (Φ - 2 π /3)

= U ∠ Φ + U ∠ (Φ + π - 2 π /3)

= U ∠ Φ + U ∠ (Φ + π /3),

= √ 3U ∠ (Φ + π /6),

U_ab = U_an – U_bn = U∠0°- U∠-120°

= U∠0°+ U∠60° = √3U∠30°

U_bc = U∠-120°- U∠120° = √3U∠-90°

U_ca = U∠120°- U∠0° = √3U∠150°

U_an + U_bn + U_cn = 0 podobnie:

I_n = I_a + I_b + I_c = (U_an + U_bn + U_cn)/Z= 0 Moc: dla uproszczenia niech Z = R p_a(t) = (U_acosωt)²/R = (U_a²/R)(cos ωt)²

= (U_a²/R)(1/2)(1 + cos2ωt) = (U_skutecz²/R)(1 + cos2ωt) = (U²/R)(1 + cos2ωt),

p_b(t) = (U_bcos(ωt – 120°)²/R = (U²/R)[1 + cos(2ωt - 240°)]

= (U²/R)[1 + cos(2ωt +120°)],

p_c(t) = (U_ccos(ωt – 240°)²/R = (U²/R)[1 + cos(2ωt - 120°)].

p(t) = p_a(t) + p_b(t)+ p_c(t) = 3U²/R + (U²/R)[cos(2ωt) + cos(2ωt - 120°) + cos(2ωt + 120°)] =

= 3U²/R = stała wartość! Cała moc chwilowa nie pulsuje! Gdy jest symetria!

Jeżeli Z_a = Z_b = Z_c = Z_Y∠ϕ to mamy moc zespoloną:

dla każdej fazy S = UI* = P + jQ = UI*cosϕ + jUI*sinϕ gdzie U i I* - wartości skuteczne. Razem: S_Total = S_T =

= 3P + j3Q =√[(3P)² + (3Q)²]∠ϕ. Moc pozorna:

S_T= 3 √[(UIcosϕ)² + (UIsinϕ)²] = 3UI, P_T = S_Tcosϕ.

Przykład. Obliczyć moc P_o dostarczaną z generatora trójfazowego do obciążenia w układzie jak na rysunku mając dane:

U_an = 480∠0° V, U_bn = 480∠-2π/3 V,

U_cn = 480∠2π/3 V, Z = 2 + j4 = 4,47∠(1,107)Ω, R_line = 2 Ω, R_neutral = 10 Ω.

(stosować wartości skuteczne napięć).

Rozw. Ponieważ układ jest zrównoważony

(tj. symetrycznie obciążony) możemy stosować

obliczenia dla jednej fazy. Prąd w linii „neutral” jest równy 0 oraz U_nn’ = 0.

P_a = I² R_o

I = U_an/(Z + R_line) = (480∠0)/(2 + j4 + 2) = (480∠0)/(5,657∠π/4)

= 84,85 A !

P_a = I² R_o = (84,85)² × 2 = 14,4 kW.

Komentarz: warto odnotować, że przy symetrycznym obciążeniu w przewodzie neutralnym jednak prąd wynosi 0 A, nie ma tam spadku napięcia, dzieje się tak dzięki zerowej sumie prądów z wszystkich trzech faz. Dlatego pomijamy R_neutral.

Zdarza się, że generator trójfazowy w układzie gwiazdy jest obciążony odbiornikiem mocy w układzie delta (trójkąta) jak na rysunku.

W tej sytuacji prądy w obciążeniach Z_∆ będą wynosić (zobacz na stronie 6 dlaczego Umiędzyfazowe = √3U_fazowe):

Zatem prąd w Z_Δ jest √3 razy większy niż płynełoby przez Z_Y. Okazuje się, że prądy w liniach czyli I_a, I_b i I_c będą aż 3-krotnie większe niż w sytuacji, gdy obciążenia były połączone w gwiazdę:

(I_a)_∆ = U_ab/Z – U_ca/Z = (1/Z)(U_an – U_bn – U_cn + U_an) = (1/Z)[2U_an – (U_bn + U_cn)] =

= 3U_an/Z

Zatem i pobierana moc będzie tu 3-krotnie większa:

Linie przesyłowe niskiego napięcia do około 1 kV oraz napięć średnich (1 – 30 kV) budowane są jako kablowe w sieci miejskiej i napowietrzne jako rejonowe (poza miastem i na terenach wiejskich).

Linie wysokiego napięcia, 110 kV i wyższe (220, 400 i 750 kV), są przeważnie budowane jako napowietrzne sporadycznie budowane są jako kablowe (na terenach o znacznej gęstości zabudowy) wynika to z faktu, iż linie kablowe są kilkukrotnie droższe od napowietrznych.

Podstawowymi elementami linii napowietrznych są: przewody fazowe, przewody odgromowe, słupy (konstrukcje wsporcze), izolatory, osprzęt (przewodowy i izolatorowy) oraz uziomy słupów.

W liniach średniego napięcia słupy są wykonane z żelbetonu lub rur stalowych.

W liniach wysokiego napięcia stosowane są słupy stalowe kratowe lub rurowe.

Słupy transmisyjne

(wynik projektowania słupów o małej masie – czyli oszczędnych

i dużej wytrzymałości nie zawsze jest pozytywny: w wyniku oblodzenia przewodów zniszczenia mogą przeważyć nad oszczędnościami!)

Zadaniem izolatorów jest nie tylko podtrzymywać przewody ale też eliminować prądy

upływności!

Linie wysokiego napięcia od linii niskiego

napięcia oddzielają transformatory (zanurzone w

oleju!).

Wytwarzanie

wirującego pola

magnetycznego

Fundamentalną zasadą działania maszyn prądu przemiennego jest wytwarzanie wirującego pola magnetycznego, które wymusza obroty wirnika z prędkością zależną od prędkości wirowania pola magnetycznego.

Prądnice (generatory) prądu przemiennego (zmiennego) są produkowane jako jednofazowe lub jako wielofazowe. W śród wielofazowych mamy do czynienia niemal wyłącznie z

trójfazowymi.

Maszyny synchroniczne

Maszyny synchroniczne budowane są zarówno jako prądnice i jako silniki.

Obecnie większość energii elektrycznej jest produkowana przez generatory synchroniczne trójfazowe, które stosowane są przede wszystkim w

elektrowniach, w Polsce instalowane są jednostki o mocy nawet 500 MW.

Silniki synchroniczne stosowane są do napędu maszyn a zwłaszcza tam gdzie wymagana jest stała prędkość obrotowa. Silniki synchroniczne trójfazowe są budowane na duży zakres mocy; aż do 50 000 KM.

Jednofazowe silniki synchroniczne stosowane są w zakresie małych mocy (poniżej 0,1 KM). Brak komutatorów w maszynach prądu zmiennego oznacza bark problemów związanych z komutatorami (ścieranie szczotek itp.).

Maszyny synchroniczne podobnie jak maszyny prądu stałego składają się z twornika i wzbudzenia (czasem nazywanego magneśnicą). W przypadku maszyn synchronicznych jednak

magneśnicą zwykle jest wirnik a twornikiem stojan (przeciwnie do maszyn prądu stałego). Gdy w układzie przedstawionym obok dwubiegunowy wirnik wiruje z prędkością 3000 obr/min (czyli 50 obr/s) to w 3 uzwojeniach stojana generowane będą trzy siły elektromotoryczne o częstotliwości 50 Hz i przesunięte

względem siebie o +/-120°. Będzie to napięcie trójfazowe!

Prędkość wirowania przy większej ilości par biegunów p i częstotliwości napięcia f = 50 Hz jest

mniejsza i wynosi: n = f/p obr/s

Przykładowo przy czterech biegunach mamy ich dwie pary: n = 50/2 = 25 obr/s = 1500 obr/min

bo przy jednym obrocie mamy 2 cykle zmian pola.

W praktyce liczbę par biegunów w generatorach dyktuje napęd: gdy mamy szybkie turbiny parowe

wystarczy 1 lub 2 pary, dla powolnych hydroturbin trzeba więcej! Dolny rysunek pokazuje ideę ułożenia uzwojeń.

Odnośnie skoku uzwojeń stojana należy dodać, że połączone szeregowo

składniki (części uzwojeń) prowadzą do sumowania nie zawsze idealnie zgodnych w fazie części SEM.

Mówimy wtedy, że tzw. „pitch factor”

k_p = cos(α/2) < 1 jest mniejszy od jedności.

Dla wyższych harmonicznych

k_pn = cos(nα/2) i przy nα/2 = 90º mamy

cenne wyeliminowanie n-tej harmonicznej.

Rotor może mieć geometrię wystających

nabiegunników (bieguny jawne) albo geometrię walca (bieguny utajone) z zanurzonymi w slotach uzwojeniami.

Geometria cylindryczna jest łatwiejsza w analizie, gdyż taki rotor praktycznie nie zmienia pola

stojana w czasie wirowania. Takie maszyny mogą pracować z dużymi prędkościami do 3000 obr/min.

Maszyny z rdzeniami jawnymi budowane są do małych prędkości, do 750 obr/min.

Dodać należy, że chociaż nie ma w tych maszynach komutatorów to jednak, dla wymuszenia prądu stałego wzbudzenia (namagnesowania) w wirniku, konieczne są

kontakty ślizgowe czyli szczotki ślizgające się po wirujących pierścieniach.

Moment obrotowy T

maszyny z cylindrycznym wirnikiem możemy wyrazić przy pomocy natężenia stałego prądu wirnika I_f oraz natężenia zmiennego

prądu stojana I_s:

T = k I_s(t) I_f sin(γ),

γ - kąt między polami stojana a wirnika, k – stała maszyny. Albo:

T = k√2I_ss sin(ω_et) I_f sin(γ ),

I_ss – wartość skuteczna I_s, ω_e – pulsacja prądu (częstość elektryczna).

Uwzględniając zależność czasową γ = γ0 + ω_mt, gdzie γ0 – kąt początkowy, ω_m – prędkość kątowa (mechaniczna) wirnika, można napisać, że:

T = k√2I_ssI_f sin(ω_et) sin(ω_mt + γ₀)

= k(√2/2)I_ssI_f cos[(ω_m − ω_e)t − γ₀] − cos[(ω_m + ω_e)t + γ₀]

Widać, że średnia wartość będzie niezerowa tylko wtedy gdy (ω_m − ω_e) = 0 tzn. gdy silnik obraca się synchronicznie z wirującym polem (ma prędkość synchroniczną) i wtedy T jest sumą wartości stałej i pulsującej z częstością

2ω_e. Ta pulsacja wzięła się z powodu rozważań tylko jednej fazy, zastosowanie wielu faz redukuje ten efekt do zera i zapewnia stały moment obrotowy. Mamy zatem:

〈 T 〉 = k√2I

_ss

I

_f

cos( γ

₀

)

Model jednej fazy silnika synchronicznego pokazuje rys obok. Uzwojenie wirnika

reprezentuje rezystancja R_f i indukcyjność L_f. Jedno uzwojenie stojana reprezentuje rezystancja R_s, indukcyjność L_s oraz

Indukowana (wsteczna) SEM E_b. Bilans napięć stojana możemy zapisać jako:

U_s = E_b + I_s(R_s + jX_s)

gdzie X_s reprezentuje efektywną reaktancję stojana (z uwzględnieniem magnetyzacji).

Moc silnika pochodzącą od jednej fazy możemy wyrazić jako:

P_wy = ω_sT = U_sI_scos(Θ)

gdzie Θ - różnica faz między U_s i I_s. Zakładając, że R_s ≈ 0 możemy wnosić, że moc tracona jest do zaniedbania i moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej:

P_1Φ = P_we = P_wy = ω_sT = U_sI_scos(Θ), z wykresu:

E_bsin(δ) =I_sX_s cos(Θ), mnożąc przez U_s:

E_bU_ssin(δ) = U_sI_sX_s cos(Θ) = P_1Φ X_s, Zatem cała moc maszyny

trójfazowej wyniesie:

Ponieważ, jak widać, kąt δ ma wpływ na moc maszyny nazywamy go kątem mocy.

Prądnice (generatory) synchroniczne zwykle

pracują przy kącie mocy w przedziale 15° do 25°.

Silniki natomiast pracują niemal w całym zakresie 0° - 90°. Po osiągnięciu δ = 90° silnik jednak

zwalnia i wypada z biegu synchronicznego, wtedy odpowiednie zabezpieczenie wyłącza silnik.

Maksymalny moment obrotowy (nazywany momentem zrównania Pull-out) jest ważnym parametrem silnika synchronicznego.

Całkowity moment obrotowy możemy wyrazić jako:

gdzie m – jest liczbą faz. Dla 3 faz otrzymamy:

Przykład. Obliczyć wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie E

_b

i kąt mocy wirnika δ dla pełnego obciążenia silnika synchronicznego. Dane: nominalne napięcie międzyfazowe: 460 V; 3 Φ (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 opóźnienie; prąd stojana przy pełnym obciążeniu 12,5 A, Z

_s

= 1 + j12 Ω .

Rozwiązanie.

Na jedną fazę w połączeniu

gwiazdowym przypada prąd i napięcie:

 I

_S

 = 12,5 A,  U

_S

 = 460/ √ 3 = 265,6 V, S = 3 U

_s

I

_s

= 3 × 12,5 × 265,6 = 9959 VA.

Ze schematu zastępczego mamy:

E

_b

= U

_s

– I

_s

(R

_s

+ iX

_s

)

= 265,6 V – (12,5 ∠ -45° A) × (1 + j12 Ω ) = 265,6 V – (12,5 ∠ -45°

A) × (12,04 ∠ 85,23° Ω ) = 265,6 V – 150,52 ∠ 40,23°=

265,6 V – (115,3 + j96,8) V = 150,3 – j96,8 V = 179 ∠ -32,8° V

δ = -32,8°

Przykład. Obliczyć prąd stojana I

_s

, prąd linii I

_Lin

(połączenie ∆ ) oraz indukowane napięcie silnika synchronicznego 3-fazowego.

Dane: 208 V; 45 kVA, 50 Hz, 3 Φ; pf 0,8 wyprzedzający; Z

_s

= 0 + j2,5 Ω . Straty (tarcie) P

_str

=1,5 kW, straty w rdzeniu P

_core

= 1 kW;

obciążenie P

_o

= 15 KM (1 KM = 0,746 kW).

Rozw.

Moc wyjściowa wynosi: P_out = 15 KM×0,746 kW/KM = 11,19 kW

Moc wejściowa (elektryczna) P_in = P_out + P_mech + P_core + P_{el i inne} = 11,19 + 1,5 + 1 + 0 = 13,69 kW.

Prąd I

_Lin

= P

_in

/( √ 3 U

_s

cos Θ ) = 13690 W/( √ 3 × 208 V × 0,8) = 47,5 A.

Przy połączeniu w trójkąt ∆ , prąd twornika I

_s

= I

_Lin

/ √ 3 = 47,5 A/ √ 3 ∠ arccos0,8 = 27,4 ∠ 36,87° A.

SEM E

_b

obliczymy z bilansu napięć (II prawo Kirchhoffa):

E

_b

= U

_s

– jX

_s

I

_s

= 208 ∠ 0° V – j2,5 Ω (27,4 ∠ 36,87° A) = 208 ∠ 0° + 68,5 ∠ -53,13 = 208 + 41,1 – j54,8 V= 249,1 – j54,8 V =

255 ∠ -12,4° δ = -12,4°

Silniki synchroniczne nie należą do najbardziej rozpowszechnionych z wielu powodów.

Jednym z nich jest wymóg stałej szybkości, który można obejść tylko gdy zbuduje się zasilanie o zmiennej częstotliwości. Ponadto konieczne jest oddzielne zasilanie prądem stałym i prądem zmiennym.

Silniki indukcyjne obchodzą te przeszkody i są najszerzej stosowanymi dzięki ich konstrukcyjnej prostocie.

Jako prądnice nie mają zbyt wielu zalet i zastosowań.

Maszyny indukcyjne (asynchroniczne)

Maszyny indukcyjne są maszynami na prąd przemienny i mogą być używane jako

prądnice, silniki a nawet jako hamulce. Maszyny indukcyjne są koncepcyjnie podobne do maszyn synchronicznych z tą tylko różnicą, że ich wirniki mają prostsze obwody

elektryczne, są to przewodzące pręty zagłębione w materiale wirnika i zwarte na końcach. Są silniki trójfazowe – stosowane w przemyśle (silniki wiatraków, pomp,

obrabiarek itp., komercyjnie dostępne od 1 do 10 000 KM), są jednofazowe – stosowane w gospodarstwach domowych i usługach i są też dwufazowe – stosowane w napędach specjalnych i automatyce. Dzięki sensorom i mikroprocesorowym sterownikom silniki indukcyjne mogą być stosowane nawet w precyzyjnych układach sterowania,

serwomechanizmach. Regulację prędkości silników indukcyjnych można dokonywać poprzez regulację napięcia lub regulację napięcia i częstotliwości, przez zmianę ilości biegunów, przez zastosowanie rheostau w wirniku. Ze względu na konstrukcję wirnika silniki indukcyjne dzielą się na pierścieniowe i klatkowe. W obu przypadkach zasada działania polega na indukowaniu prądów w wirniku polem magnetycznym stojana.

Oddziaływanie wirującego pola stojana z polem wyindukowanych prądów wirnika

wytwarza moment obrotowy. Ponieważ indukcja może tu zachodzić tylko przy różnych prędkościach wirnika i pola stojana (konieczny jest niezerowy ruch względny prętów i pola magnetycznego) dlatego funkcjonuje też nazwa: „maszyny asynchroniczne”.

Wirujące pole magnetyczne uzyskuje się wówczas, gdy co najmniej dwa uzwojenia stojana są geometrycznie przesunięte względem siebie a prądy w nich występujące są przesunięte w fazie. Przez odpowiednią geometrię wykonania uzwojeń stojana i wirnika realizowane jest pole stojana Φ(n_s) wirujące z prędkością synchroniczną n_s oraz pole wirnika (rotora) Φ(n) wirujące z prędkością asynchroniczną n. Prędkość synchroniczna n_s zależy od częstotliwości f prądu stojana i geometrii uzwojeń – czyli ilości par

biegunów p, które tworzą uzwojenia.

Oddziaływanie tych pół wymusza obroty wirnika w kierunku obrotów wirującego pola stojana. Wirnik obraca się z prędkością mniejszą niż prędkość synchroniczna tj. niż wirujące pole stojana bo pole musi przecinać przewody by w nich indukował się prąd.

Brak kontaktów elektrycznych rotora (brak szczotek itp.) w silnikach indukcyjnych zapewnia ich prostotę wykonania. Gdy do wirnika przyłożymy zewnętrzny napęd

wymuszający obroty to otrzymamy generator, który (dzięki prostocie – brak oddzielnego obwodu wzbudzenia i dzięki elastyczności w odniesieniu do szybkości obrotów) ma

zastosowanie w wiatrakowych elektrowniach. Ich wadą jest duża indukcyjność i przez to trzeba stosować kompensację pojemnościową aby zmniejszyć przesunięcie fazowe

między prądem a napięciem.

Załóżmy, że wirnik w postaci klatki metalowej (rys. obok) zostanie umieszczony w stojanie

gdzie wytwarzane jest wirujące pole magnetyczne.

To wirujące pole będzie indukowało w metalowych prętach wirnika prądy elektryczne zależne od

indukowanej SEM i impedancji wirnika.

W pierwszej chwili gdy po włączeniu prądów w stojanie wirnik jeszcze spoczywa to pole magnetyczne pochodzące od jego

indukowanych prądów jest synchroniczne z polem stojana (pola stojana i wirnika są wtedy przez chwilę w stałej względem siebie konfiguracji). Wtedy właśnie generowany jest startowy moment obrotowy. Gdy ten moment obrotowy jest wystarczający

wirnik zaczyna się obracać i przyspieszać aż do osiągnięcia prędkości pracy. Prędkość pracy jest oczywiście niższa od

prędkości synchronicznej n

_s

(bo przy synchronicznej prędkości nie było by indukowanych SEM i prądów w wirniku – zero mocy!).

Załóżmy, że ta prędkość wirnika wynosi n wtedy prędkość wirującego pola stojana względem obracającego się wirnika wyniesie: (n_s – n). Względna różnica tych prędkości nazywa się poślizgiem s:

Wartość znamionowa s_N zawiera się zwykle w przedziale 2 – 4% (0,02 – 0,04).

Prędkość wirnika n to prędkość mechaniczna:

Poślizg oczywiście zależy od obciążenia i konstrukcji silnika (klatkowy, pierścieniowy, dużej lub małej mocy).

Częstotliwość prądu w uzwojeniach wirnika f_r jest

znacznie niższa od częstotliwości synchronicznej f_s i wynosi:

Stąd prędkość pola magnetycznego wirnika względem

samego wirnika n_r jest też mała, przy p = liczba par biegunów wynosi:

Podkreślmy raz jeszcze, że dzięki istnieniu pewnej prędkości względnej między strumieniem stojana i wirnikiem będą indukowane napięcia i w konsekwencji prądy w wirniku. Ale prądy wirnika jak i strumienie przez nie generowane

podążają za wirującym strumieniem stojana - mają tę samą prędkość n _s= n _r + n – prędkość synchroniczną! Strumień wirnika (sprzężony z, i podążający za

strumieniem stojana) możemy traktować jako synchroniczny strumień wsteczny

(reakcyjny) „pokonywany” przez moc dostarczaną do stojana. Przy stałym obciążeniu oba pola Φ_s i Φ_r są względem siebie nieruchome, tworzą stały kąt.

Przykład. Obliczyć poślizg s wirnika przy pełnym obciążeniu oraz częstotliwość indukowanego napięcia f

_R

przy prędkości

nominalnej w czterobiegunowym (p = 2) silniku indukcyjnym.

Wiadomo, że nominalne napięcie wynosi 230 V, 60 Hz i prędkość przy pełnym obciążeniu: n = 1725 obr/min.

Rozwiązanie.

Prędkość synchroniczna silnika wynosi n_s = f/(p) obr/s = f×60/(p) obr/min = 60×60/2 = 1800 obr/min.

Poślizg wynosi s = (n_s – n)/n_s = (1800 – 1725)/1800 = 0,0417.

Częstotliwość indukowanego napięcia w wirniku wynosi:

f_R = sf = 0,0417×60 = 2,5 Hz.

Silnik indukcyjny podobnie jak transformator ma dwa zestawy uzwojeń, uzwojenia stojana i uzwojenia wirnika, sprzężonych magnetycznie. Zatem silnik indukcyjny można opisać z pomocą układu zastępczego - wirującego transformatora. Z racji symetrii układu faz wystarcza analiza jednej fazy, której schemat

zastępczy ilustruje rysunek na następnej stronie.

R_s – rezystancja stojana przypadająca na jedną fazę. R_R – rezystancja

wirnika (rotora) przypadająca na jedną fazę. X_s – reaktancja stojana X_R – reaktancja wirnika

na 1f. X_m – reaktancja wzajemna (mutual) magnetyzacji. R_c – rezystancja

„równoważna” stratom w rdzeniu (core-loss equivalent resistance).

E_s = k_sn_sΦw szczelinie – indukowana SEM na 1f w stojanie. E_R – indukowana SEM na 1f w wirniku (rotorze), E_R jest proporcjonalna do poślizgu s (E_R = sE_R0) gdzie E_R0 jest wielkością SEM gdy wirnik stoi.

E_s w uzwojeniu pierwotnym (stojana) jest sprzężone z E_R w uzwojeniu wtórnym (wirnika) z efektywnym stosunkiem ilości zwoi N_s/N_R. Uwzględniając poślizg s, możemy zapisać, że indukowana w wirniku SEM:

E_R = sE_R0, również X_R = ω_RL_R = 2πf_RL_R = 2πsfL_R = sX_R0, gdzie X_R0 = 2πfL_R jest reaktancją wirnika przed rozpoczęciem ruchu (maksymalna wartość f_{R max} = f).

Prąd wirnika wyniesie zatem:

I_R = E_R/(R_R+jX_R) = sE_R0/(R_R+jsX_R0) = E_R0/(R_R/s + jX_R0)

Prąd, napięcie i impedancja z obwodu wtórnego

(z obwodu wirnika)

mogą być „transformowane”

do obwodu pierwotnego (obwodu stojana) przez

odpowiednie przekładnie uzwojeń.

Przetransformowana SEM wyniesie:

E₂ = (N_s/N_R)E_R, Prąd: I₂ = I_R/(N_s/N_R), rezystancja:

R₂ = (N_s/N_R)²R_R - ale odczuwana w stojanie

wartość zależy od s i wynosi: R₂/s = R2 (straty w Cu) + R₂(1-s)/s (mechaniczne obciążenie), reaktancja przetransformowana: X₂ = (N_s/N_R)²X_R0.

Analiza przykładowego silnika indukcyjnego

o parametrach: 460 V, 60 Hz, 4-bieguny, s = 0,022, P = 14 KM,

R_s = 0,641 Ω, R₂ = 0,332 Ω, X_s = 1,106 Ω, X₂ =0,464 Ω, X_m = 26,3 Ω,

Zakładamy symetryczne obciążenia czyli analizujemy co przypada na jedną fazę oraz pomijamy straty w rdzeniu R_c = 0. Wyliczmy n; ωm; I_s; pf; T.

Wyliczamy n: Prędkość synchroniczna wynosi N_s = (f/p)×(60s/min) =

((60 Hz)/(2 pary biegunów))×(60s/min) = 1800 obr/min.

Mechaniczna prędkość wirnika n = (1 – s)n_s = (1 – 0,022)1800 obr/min = 1760 obr/min.

ω_m = (1 – 0,022) ω_s = 0,978×2×3,14×60/(2 pary biegunów) = 184,4 rad/s Obliczamy I_s; U_s/Z_total

Z₂ = R₂/s + jX₂ = 0,332/0,022 + j0,464 Ω = 15,09 + j0,464 Ω = 15,1∠1,76° ,

Impedancje rotora i magnetyzacji możemy zastąpić przez : Z = 1/(1/jX_m + 1/Z₂)

= 1/(1/j26,3 + 1/(15,1∠1,76°)) = 1/(-j0,038 + 0,0662 ∠-1,76°) = 1/(-j0,038 + 0,06617 – j0.002) = 1/(0,06617 – j0,04) = 1/(0,0773∠31,2°) = 12,93 ∠31,2°, Z_total = Z_s + Z = 0,641 + j1,106 + 12,93 ∠31,2° = 0,641 + j1,106 + 11,06 + j6,69

= 11,71 + j7,79 = 14,06∠33,6°, zatem I_s = U_s/Z_total = (460/√3∠0°)/14,06∠33,6° = 18,89∠-33,6° A

pf = cosϕ = cos33,6° = 0,883, Przeliczamy P_out = 14KM = 14×746 kW = 10,444kW, z tego mamy:

T = P_out/ω_m = (10444 W)/(184,4 rad/s) = 56,64 Nm

Przykład: Parametry silnika: 500 V, 3 Φ, 50 Hz, p = 4 pary, s = 0,05, P = 14 kM, i jego uzwojeń:

R_s = 0,13 Ω, R’_R =0,32 Ω, X_s = 0,6 Ω,

X’_R = 1,48 Ω, admitancja opisująca straty w rdzeniu i induktancję wzajemną

Y_m = G_C + jB_m = 0,004 – j0,05 Ω^-1,

Stosunek uzwojeń (przekładnia) stojana do wirnika: 1/α = 1/1,57.

Obliczyć: I_S, pf i T. Obliczenia: na jedną faze. Zaniedbać straty mechaniczne.

R₂ = R’_R×(1/α)² = 0,32×(1/1,57)² = 0,13 Ω,

X₂ = X’_R×(1/α)² = 1,48×(1/1,57)² = 0,6 Ω, Z = R_s + R₂/s + j(X_s + X₂) =

= 0,13 + 0,13/0,05 + j(0,6 + 0,6) = 2,73 + j1,2 Ω. Zgodnie z uproszczonym schematem:

I₂ = U_s/Z = (500/√3∠0)/(2,73 + j1,2) = (288,7∠0)/(2,98∠23,73°) = 88,7 – j39 A = 96,9∠-23,73°.

I_R = U_sG_s = 288,7 V × 0,004 Ω^-1 = 1,15 A, I_m = jU_sB_m = -j288,7 V × 0,005 Ω^-1 =

= -j14,4 A, I₁ = I₂ + I_R + I_m = 88,7 – j39 +1,15 – j14,4 A = 89,85 – j 53,4 A.

Wejściowy pf = Re(I₁)/I₁ = 89,85/104,5 = 0,86. Moment obrotowy T = 3P/ω_s

= (3I₂²R₂/s)/(2πf/p) = (3×96,9²×0,13/0,05)/(314/4) = 933 Nm

Zależność momentu obrotowego od szybkości wirnika przedstawia rys obok. Punkt „a” określa

startowy moment obrotowy.

Punkt „b” ilustruje minimalny moment rozruchowy. Ze wzrostem prędkości kątowej wirnika jego reaktancja maleje

ponieważ maleje częstotliwość indukowanego napięcia - zdeterminowana różnicą między prędkością kątową wirnika i wirującego pola stojana. Moment obrotowy jest maksymalny gdy indukcyjna reaktancja wirnika zrówna się z jego rezystancja. Ta maksymalna wartość momentu jest też nazywana momentem krytycznym - punkt „c”. Powyżej tej prędkości moment spada do wartości

zerowej przy zrównaniu prędkości rotora z prędkością synchroniczną n_s (ω_e).

Punkt „d” ilustruje nominalną wartość momentu obrotowego. Ogólna formuła dla wyznaczania stacjonarnej charakterystyki moment - prędkość (poślizg s) jest podana poniżej.

Złożoność tej formuły oraz występujące efekty nieliniowe powodują, że układy

z silnikami indukcyjnymi muszą być analizowane z pomocą programów symulacyjnych.

Gdy jednak precyzyjna analiza nie jest konieczna można korzystać z bardzo uproszczonych schematów zastępczych przykładowo biorąc pod uwagę tylko R_s –

rezystancję stojana, X’_r – reaktancję przejściową, i napięcie wsteczne E’s za reaktancją przejściową.

W praktyce zasadniczym problemem bywa

dobór odpowiedniego silnika do danego zadania.

W przypadku silników indukcyjnych zależnie od konstrukcji ich charakterystyki mogą różnić

się kształtem pozwalając na dobór odpowiedniego wariantu.

Charakterystyki czterech podstawowych klas silników A, B, C i D ilustruje rysunek obok.

Silniki indukcyjne po procesie rozruchu pracują z prawie stałą prędkością (choć zależną od obciążenia). Gdyż zachodzi konieczność zmiany prędkości to

pewną możliwość daje zmiana ilości biegunów uzwojenia stojana:

Przy przełączaniu i manipulowaniu uzwojeń istnieje jednak ryzyko pomyłki i zniszczenia silnika.

Inna możliwość to regulacja poślizgu można ją uzyskać

zmieniając napięcie zasilania. Daje to jednak mały zakres zmian, zmiany są dopuszczalne w zakresie powyżej punktu c.

Innym rozwiązaniem w silnikach z wirnikiem z uzwojeniem jest dodanie do obwodu wirnika regulowanej rezystancji.

Tu choć zmienia się nieco charakterystyka silnika to

zmiany są również w małym zakresie – powyżej punktu c.

Obie powyższe metody mają wspólną wadę: wnoszą

dodatkowe straty. Pod tym względem znacznie lepszym rozwiązaniem jest jednoczesna regulacja częstotliwości i napięcia zasilania.

Silniki indukcyjne jednofazowe.

Ich zaletą jest zasilanie z sieci jednofazowej (gospodarstwa domowe); ich moc jest niewielka, do 5 kW. Budowane są głównie z wirnikami klatkowymi. Ponieważ jedno uzwojenie wytwarza pole pulsujące (nie wirujące, które nie może rozruszać wirnika) stojany tych silników zawierają dwa uzwojenia: robocze i pomocnicze - rozruchowe.

Uzwojenie robocze zajmuje około 2/3 obwodu stojana a pomocnicze około 1/3 tego obwodu. Osie uzwojeń są przesunięte o kąt 90°. Przez uzwojenie pomocnicze prąd płynie tylko w czasie rozruchu do momentu uzyskania prędkości n ≈ 0,8 n_s, poczym zostaje ono odłączone od źródła napięcia (np. wyłącznikiem odśrodkowym) aby zmniejszyć straty na zbędne grzanie. Przesunięcie fazowe strumieni równe przesunięciu fazowemu prądów w tych uzwojeniach uzyskuje się przez szeregowe

włączenie kondensatora lub rezystora do uzwojenia pomocniczego (lub użycie uzwojenia z większą rezystancją).

Są też silniki indukcyjne jednofazowe z nieodłączanym kondensatorem po rozruchu – mają one prostszą konstrukcję i oferują pewien kompromis

pomiędzy charakterystykami rozruchu i pracy.

Lepszy kompromis można jednak osiągnąć stosując dwa kondensatory: jeden o małej pojemności dla uzyskania stałego przesunięcia faz i poprawienia

charakterystyki pracy, oraz drugi o znacznie większej pojemności dla poprawienia charakterystyki rozruchowej.

Silnik zwartobiegunowy.

Ten typ silnika, o mocy do 0,05 kM, pracuje na nieco innej zasadzie. Stojan w tym silniku ma wystające bieguny, które zawierają zwarciowe cewki w postaci uzwojenia otaczającego część każdego bieguna. Strumień w części bieguna otoczonej takim zwojem opóźnia się w stosunku do strumienia w pozostałej części tego samego bieguna. Daje to efekt wirowania pola w kierunku części otoczonej zwojem i w konsekwencji zapewnia rozruchowy moment obrotowy.

Silniki z jednoczesną regulacją częstotliwości i napięcia zasilania.

Utrzymując stały stosunek U_s/f_s można zmieniać prędkość wirnika utrzymując stały moment obrotowy. Schemat blokowy takiego rozwiązania przedstawia poniższy rysunek.

Takie rozwiązanie jest coraz szerzej stosowane dzięki szybkiemu rozwojowi możliwości elektroniki.

Ponadto to rozwiązanie można zaliczać do tzw. specjalnych maszyn elektrycznych stosowanych w nowoczesnych dziedzinach inżynierii jak robotyka, sprzęt kosmiczny, automatyka itp.

Innymi tego typu rozwiązaniami są np.: silniki bezszczotkowe, silniki o zmiennej reluktancji lub silniki krokowe, gdzie ma miejsce naturalne sprzężenie

pomiędzy elektromechanicznymi urządzeniami i układami logiki cyfrowej.

Silniki bezszczotkowe.

Chociaż często nazywane są silnikami prądu stałego to w rzeczywistości nie są to silniki prądu stałego lecz zwykle maszynami synchronicznymi ze stałym magnesem. Nazwę uzasadnia nie

konstrukcja lecz fakt, że ich charakterystyka pracy przypomina charakterystykę silnika bocznikowego (ze stałym prądem wytwarzającym pole). Taką

charakterystykę uzyskuje się dzięki zasilaniu, którego częstotliwość jest zawsze identyczna z częstotliwością obrotów wirnika.

Uzyskuję się to w falowniku (ang. inverter) DC-AC zawierającym tranzystory

przełączane z częstotliwością odpowiadającą prędkości wirnika. Falownik zatem czerpie energię ze źródła prądu stałego i generuje prąd zmienny o zmiennej

częstotliwości. Tak więc użytkownik podłącza silnik do źródła prądu stałego ale prąd w uzwojeniach jest prądem zmiennym.

W efekcie silnik bezszczotkowy prądu stałego jest silnikiem synchronicznym, w którym kąt momentu obrotowego δ jest

utrzymywany stałym dzięki odpowiedniemu prądowi wzbudzenia.

Silnik taki zawiera czujnik obrotów optyczny lub halotronowy zapewniający formowanie zasilania o odpowiedniej, zgodnej częstotliwości. Warto podkreślić, iż zamiana komutacji

szczotkowej na elektroniczną stwarza szerokie możliwości konstrukcyjne dla silników bezszczotkowych.

Idea działania silników bezszczotkowych.

W silnikach bezszczotkowych

prądu stałego ciepło wydziela się w stojanie (tam jest uzwojenie) a nie w wirniku (jak w innych silnikach prądu stałego) dlatego są one łatwiejsze do chłodzenia. Silniki te mogą z łatwością być budowane jako wodoszczelne. Magnes wirnika jest wykonywany z takich materiałów jak Sm-Co lub ceramiczne magnesy - ferryty. Silniki tego typu mogą być budowane na moce do 250 kW i prędkości 50 000 obr/min. Sensor będąc zainstalowanym wewnątrz silnika musi być odporny na wibracje i odpowiedni zakres temperatur. Silnik bezszczotkowy jest podobny do standardowego

silnika na prąd stały z magnesem trwałym i można go opisywać prostymi wyrażeniami:

U – przyłożone napięcie, k_a – stała armatury = k_T – stała momentu obrotowego, ω_m – prędkość mechaniczna (wirnika), R_s = rezystancja uzwojenia, T – moment obrotowy, I – prąd silnika (armatury). Silniki bezszczotkowe mają większy

moment obrotowy i mniejszą bezwładność od zwykłych silników prądu stałego.

Zastosowanie między innymi w układach sterujących, napędach dysków komputerowych i pojazdach elektrycznych.

Uwagi o falownikach

Gdy w falowniku zastosuje się modulację szerokości impulsu (MSI = ang. PWM - Pulse Width Modulation), to równocześnie ze zmianą częstotliwości można regulować wartość skuteczną napięcia wyjściowego a zatem też wartość mocy. Falowniki pozwalają nie tylko regulować obroty silników ale również umożliwiają ich łagodny start. Są więc

stosowane w rozmaitych urządzeniach np. do zmiany prędkości obrotowej bębna pralki, w nowoczesnych tramwajach, stanowią element składowy niektórych zasilaczy

impulsowych.

Dawniej stosowane były falowniki tyrystorowe, obecnie pracują one na tranzystorach polowych lub IGBT (tranzystory bipolarne z izolowaną bramką).

Wyróżnia się:

Falowniki napięcia – zasilane źródłem napięciowym (z kondensatorem o dużej pojemności).

Falowniki prądu – zasilane ze źródła prądowego (z dławikiem o znacznej indukcyjności).

Falowniki przemysłowe tzw. przemienniki częstotliwości (stosowane przy regulacji prędkości obrotowej silników elektrycznych).

falowniki zasilane 1-fazowo z wyjściem 3-fazowym falowniki zasilane 3-fazowo z wyjściem 3-fazowym Falowniki z charakterystyką liniową.

Falowniki z charakterystyką nieliniową.

Silnik uniwersalny.

Okazuje się, że w odpowiednim silniku prądu stałego można połączyć

szeregowo uzwojenie stojana oraz (poprzez komutator) uzwojenie wirnika.

Przy takim połączeniu silnik prądu stałego może być zasilany ze źródła prądu przemiennego i też będzie działał!

Silniki krokowe –

zamieniają informację cyfrową na ruch i poruszają się

„krocząc” (wykonując określone ułamki obrotu). Chociaż zasada działania była znana od lat 1920-tych ich znaczące zastosowania pojawiły się dopiero w erze komputeryzacji – wszędzie tam, gdzie konieczne jest pozycjonowanie. Silniki krokowe dzielą się na trzy kategorie:

1) Silniki krokowe z magnesem trwałym w wirniku, PM (permanent magnet). Siła występuje między magnesem trwałym wirnika a impulsowo sterowanymi

elektromagnesami stojana. Dzięki obecności magnesu trwałego bez zasilania

występuje tu pewien opór przy zewnętrznej próbie ruszenia osi wirnika. Dostępne wykonują 4 do 200 kroków na jeden obrót.

2) Silniki krokowe ze zmienną reluktancją VR (variable reluctance). Są to silniki bez magnesu trwałego, czyli z wirnikiem magnetycznie miękkim (wąska histereza, o znikomej pozostałości magnetycznej) zawierającym liczne zęby (występy).

Podczas sterowania siła wynika z dążenia wirnika do minimalizacji reluktancji (oporu magnetycznego przez redukcję szczelin tam gdzie aktualnie wymuszany jest strumień magnetyczny prądem uzwojeń stojana). Ten silnik nie wykazuje oporu osi wirnika po wyłączeniu sterowania elektrycznego. Typowo dostępne wykonują 24 do 200 kroków na jeden obrót.

3) Silniki hybrydowe HB są kombinacją silników PM i VR. Silnik HB zawierają dwa sektory miękkiej magnetycznie stali na obwodzie wirnika oraz osiowo usytuowany (osiowo namagnesowany) magnes wewnątrz wirnika. Dostępne wykonują 72 do 800 kroków na jeden obrót.

U podstaw zasady działania wszystkich silników krokowych jest siła z jaką wirnik układa się do aktualnego pola magnetycznego stojana tak aby uzyskać minimum energetyczne. Pole stojan jest sterowane (zmieniane) sekwencją

impulsów elektrycznych. Ta sekwencja decyduje o kolejnych pozycjach wirnika czyli o kierunku kroczenia i szybkości.

Najważniejszą cechą tych silników jest to, że kąt obrotu wirnika jest

proporcjonalny do ilości impulsów wejściowych oraz błąd tego kąta jest mały i nie kumuluje się z ilością impulsów (i wielkością obrotu). Ponadto trwale

utrzymuje swoją aktualną pozycję bez potrzeby stosowania hamulca!

Wariant z magnesem trwałym, realizuje kroki o długości zależnie od ilości biegunów.

Typowymi są: 7,5, 11,25, 15, 18, 45 lub 90°. Wariant VR zawiera ząbkowany żelazny wirnik a moment obrotowy pojawia się jako skutek oddziaływania zębów wirnika z

elektromagnetycznie wzbudzanymi zębami stojana, tu krok zwykle wynosi 15°. Wariant hybrydowy zawiera wielo-zębowy wirnik z trwałym polem osiowym i stojan i jest

mieszaniną dwóch poprzednich wariantów.

Silniki z przełączaną reluktancją VR

Panuje przekonanie, że ten typ silnika ze względu na niską cenę stanowi bazę dla napędów elektrycznych i hybrydowo-elektrycznych pojazdów, wyciągów itp.. Dzięki możliwości pracy z różnymi prędkościami znajduje coraz szersze zastosowanie w

przemyśle (i napędach motoryzacyjnych). Obwód magnetyczny w tych silnikach stanowi tylko żelazo i powietrze - magnes trwały jest zbędny. Wirnik ma wystające żelazne

bieguny i gdy popłynie prąd przez uzwojenie pojawia się moment obrotowy wymuszający zgodność osi biegunów wirnika z osią namagnesowanych w danym momencie biegunów stojana. Gdy θ = 0 moment obrotowy znika bo osiągnięte jest minimum reluktancji a

przez to minimum magazynowanej energii. Uzwojenia takiego silnika są wzbudzane impulsami prądu w synchronizacji z bieżącą pozycją wirnika. Szybkość wirnika jest zatem zdeterminowana częstotliwością prądów w uzwojeniach stojana.

Zakładając, że induktancja uzwojenia jest sinusoidalną funkcją pozycji wirnika możemy zapisać: L(θ) = L’’ + L’cos2θ

(2 bo para biegunów). Niech prąd w uzwojeniu wyraża się przez:

i(t) = I_msin(ωt), Zmagazynowana energia magnetyczna wynosi: W_m = (1/2)L(θ)i²(t), Strumień skojarzony: _ψ(θ) = L(θ)i(t)

Przykłady silników o różnej ilości faz

Silniki HB

Łączą zalety silników PM i VR,

są jednak droższe i bardziej złożone.

Krok wynosi: Δθ = 360º/Nt, N – liczba faz (par uzwojeń), t – liczba zębów wirnika.

Silniki krokowe mogą wykazywać wpadanie w rezonans przy pewnych szybkościach sterowania (wymuszania kroków).

Zjawisko to można wyeliminować przez stosowanie mikro-kroków lub przez zmianę tempa wykonywania kroków.

Silnik krokowy tarczowy PM

Mnogość konfiguracji wyprowadzeń

Mody pracy uzwojeń.

1) Unipolarny – proste sterowanie ale mniejszy moment obrotowy bo tylko połowy uzwojeń są jednocześnie aktywne. 2) Bipolarny – bardziej złożone sterowanie ale większy moment obrotowy bo całe uzwojenia są lepiej

wykorzystywane.

Przykład.

Przedstaw sekwencje prądów I₁ i I₂ dla silnika krokowego jak na rysunku obok, aby uzyskać scenariusze obrotu: a) pełen krok i jedna faza,

b) pełen krok i obie fazy, c) kroki połówkowe.

Rozwiązanie

Widać, że obecność tylko jednego prądu ustawia wirnik wzdłuż biegunów stojana, a obecność obu prądów I₁ i I₂ ustawia wirnik w pozycji między biegunami stojana łatwo Odgadnąć następujące odpowiedzi:

Widać, że Δθ = 360º/(liczba faz)⋅ (liczba biegunów)

Elektrotechnika i elektronika Lista 07.

1. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia w układzie trójfazowym przy połączeniu

gwiazda – gwiazda wiedząc, żę U_an = 480∠0 V i symetrycznie U_bn i U_cn, Z_Y = 2 + j4 Ω, R_line = 2 Ω, R_neutral = 10 Ω.

2. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia w układzie trójfazowym przy połączeniu

gwiazda – trójkąt wiedząc, żę U_an = 480∠0 V i symetrycznie U_bn i U_cn, Z_∆ = 5 –j2 Ω, R_line = 2 Ω, R_neutral = 10 Ω.

3. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia uzyskanego z połączenia równoległego obciążeń z zadania 1 i 2 i przy identycznym źródle energii.

4. Oblicz wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie E_b i kąt mocy wirnika δ dla pełnego

obciążenia silnika synchronicznego.

Dane: nominalne napięcie międzyfazowe: 460 V;

3 Φ (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 opóźnienie;

prąd stojana przy pełnym obciążeniu I_s = 12,5 A,

Z_s = 1 + j12 Ω. (Obliczać wg. schematu: ile na jedną fazę.)

5. Oblicz wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie E_b i kąt mocy wirnika δ dla pełnego obciążenia silnika synchronicznego. Dane: nominalne napięcie

międzyfazowe: 380 V; 3 Φ (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 a) wyprzedzanie, b) opóźnienie; prąd stojana przy pełnym obciążeniu 10 A, Z_s = 0 + j2 Ω.

6. Obliczyć poślizg s wirnika przy pełnym obciążeniu oraz częstotliwość indukowanego napięcia f_R przy prędkości nominalnej w czterobiegunowym silniku indukcyjnym.

Wiadomo, że nominalne napięcie wynosi 200 V, 50 Hz i prędkość przy pełnym obciążeniu: n = 1450 obr/min.

Elektrotechnika i elektronika Lista 08 .

1. Wykazać, że w bezszczotkowym 2-fazowym silniku

zasilanym przebiegiem sinusoidalnym prądu, jak na rys. obok I₁= I_msinωt I₂ = I_mcos ωt może występować stały

(gładki – bez pulsacji) moment obrotowy.

2. Znajdź sekwencje włączeń wyłączników SA, SB, SC i SD aby uzyskać kolejne kroki obroty po 45º.

3) Mając dane: Liczba zębów (występów) wirnika i stojana t = 4, Liczba faz m = 3. Oblicz wielkość kroku Δθ.

4) Wyznacz najmniejszą wartość kroku w krokowym silniku hybrydowym HB jak na rys. a i b.

Przykładowa tabliczka na silniku Indukcyjnym

MOD – model (numer modelu lub numer identyfikacyjny).

FR – (od „Frame”) specyfikuje rozmiar i cechy konstrukcyjne.

AMB (lub MAX AMB) – określa maksymalną dopuszczalna temperaturę otoczenia.

INS. CL. – określa klasę

izolacji np. A (105 °C), B (130

°C) itd..

SERV FACT (service factor) współczynnik określający dopuszczalne przekroczenie mocy nominalnej.

CODE – litera (od A do V z pominięciem I, O i Q) oznacza jeden z 19 granicznych

stosunków startowej mocy kVA na kM.

DUTY – określa mod pracy (np. CONT oznacza pracę ciągłą)

Elektrotechnika i elektronika kol-1.

1. Oblicz natężenie prądu w rezystorze 90 Ω, rys. 1.

2. Dla układu z rys. 1 oblicz układy Thevenina i Nortona. Jaki prąd pojawi się w odbiorniu o rezystancji 45 Ω po podłączeniu do

zacisków AB.

3. Obliczyć zawadę odbiornika mocy z rys. 3 oraz przesunięcie fazowe φ między przyłożonym napięciem U =100cos((100rad/s)t)V a natężeniem prądu. Na ile Faradów zmienić pojemność w tym układzie aby cosφ = 1. Oblicz moc wydzielaną przed i po korekcie.

4. Narysuj wykres wskazowy napięć i prądów w zadaniu 3.

5. Obliczyć moc P dostarczaną z generatora trójfazowego do obciążenia w układzie jak na rys. 5 mając dane:

Uan(skuteczne) = 141∠0° V, Z = 1 + j, R_line = 0 Ω, R_neutra = √2 Ω.

6. Generator 36 kW, 240 V, pracuje z obciążeniem równym połowie nominalnego i sprawnością 90%. Oblicz moc pobieraną przez

generator oraz moc strat.

7. Silnik indukcyjny o parametrach 380 V, 50 Hz, P = 31,4 kW, 4 bieguny, pod pełnym obciążeniem jego wirnik obraca się z

prędkością n = 1200 obr/min. Oblicz: prędkość synchroniczną, poślizg i moment obrotowy.

Elektrotechnika i elektronika kol-1, odpowiedzi i rozwiązania z przesadą.

2. U_T = U_rozwarcia = U_{90 Ohm} = (90Ω)·(1 A) = 90 V I_zwarcia = 2 A jest to suma (superpozycja) prądów z obu źródeł, jak na rysunku obok.

R_T = R_N = (U_rozwarcia)/I_zwarcia = 90/2 = 45 Ω, U_T = U_rozwarcia = 90V, I_N=2A,

.

Elektrotechnika i elektronika kol-1, odpowiedzi.

3. Vs = 311cos(314t) V -> U_skuteczne = 220 V -> U = 220 ∠0 V, ω = 100rad/s, Z = (Z_RL)(Z_c)/(Z_RL + Z_C) = (1 + jωL)(1/jωC)/(1 + jωL + 1/jωL) =

(1 + j100⋅0,01)(1/j100⋅0,01)/(1+j100⋅0,01 + 1/j100⋅0,01) Ω = (1+j)⋅(-j)/(1 + j - j) Ω = (1-j)/1 Ω = (√2∠-45°). W odbiorniku przeważa pojemność, kąt φ jest ujemny! Należy

zmniejszyć pojemność. Obliczymy jaka powinna być wypadkowa pojemność, zatem policzymy co powinno być dołączone równolegle do gałęzi RL zamiast kondensatora 100 mF.

S = P + Q_L = UI^* = (220∠0)[(220∠0)/(1 + j)]* = (220∠0)²/(1 – j) = (220∠0°)²/(√2∠-45°) = (48400/√2)∠45° VA = (48400/√2)( √2/2)W + j(48400/√2)(√2/2) VAR.

= 24200 W + j 24200 VAR -> P = 14200 W, Q_L = j(24200) VAR.

Q_C = -j24200 VAR = U(U/Z_C)* = U²/Z_C* -> Z_c* = U²/Q_C = 220²/(-j24200) = j2 Ω,

Z_c = -j2 = -j/ωC -> -j2 = -j/100C -> C = 1/200 F = 5 mF. Wniosek: zmienić 10 mF na 5 mF!

Przed korektą P = 24200 W. Po korekcie S = UI* = (220∠0)[(220∠0)/Zpo korekcie

Zpo korekcie = (1 + j100⋅0,01)(1/j100⋅0,005)/(1+j100⋅0,01 + 1/j100⋅0,005) Ω =

(1+j)⋅(-j2)/(1 + j – j2) Ω = (2– j2)/(1-j) = 2 Ω (to normalne bo obw. równoległy ma największa impedancje w rezonansie)

Zatem S = UI* = (220∠0)[(220∠0)/2 = 24200 W -> Ppo korekcie = 24200 W.

Komentarz: to po co ta korekta? Przed korekta prąd był większy i większe straty na niezerowej oporności linii przesyłowej (pominiętej w tym zadaniu)!

I_przed=220V/(√2∠-45°) =155,6 ∠45°A -> Iskutecz. Przed = 155,6 A I_po = 220V/(2∠0) = 110 ∠0) A -> Iskuteczne po = 110 A