Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek

Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek

(golek@ifd.uni.wroc.pl)

www.pe.ifd.uni.wroc.pl

Wykład 4.

Energia elektryczna

W energetyce krajowej jak i międzynarodowej powszechnie zamienia się rozmaite zasoby

energii na energię elektryczną. Przewaga energii elektrycznej nad innymi formami energii polega na łatwości i ekonomiczności jej transportu na znaczne odległości.

Zamieniane na energię elektryczną są różne zasoby: paliwa jak węgiel czy ropa naftowa,

paliwa jądrowe, energia rzek i wiatrów, bieżąca

energia słoneczna. Energia paliw zamieniana jest

najpierw na energię mechaniczną z wydajnością

30 – 40% (jest to wymuszanie wirowania turbin

sprzężonych z generatorami) a następnie na

elektryczną z wydajnością bliską 100%.

Elektrownie wiatrowe.

Przy średnicy wirnika turbiny wiatrowej około 50 m jedna siłownia wiatrowa może dać do około 1 MW mocy zależnie od obecności i natężenia wiatrów.

Takie siłownie mogą zaspakajać potrzeby lokalne w regionach o większym natężeniu wiatrów (np. nad Bałtykiem).

Uproszczony schemat elektrowni wiatrowej.

Elektrownia słoneczna

Wykorzystuje energię (bieżącą) promieniowania słonecznego poprzez

konwersję fotowoltaiczną, konwersję fotochemiczną lub fototermiczną.

Przed wejściem do atmosfery moc promieniowania wynosi około 1400 W na metr kwadratowy prostopadły do promieni słonecznych z czego około

1000W/m² dociera do powierzchni Ziemi. Średnie roczne nasłonecznienie

zależy od szerokości geograficznej i od pogody. W Polsce nasłonecznienie to wynosi około 1100 kWhm^-2rok^-1.

Elektrownie wodne

Elektrownie wodne dostarczają około 20% światowej energii elektrycznej.

Elektrownie wodne dzielą się na przepływowe i szczytowo-pompowe, które służą tylko do magazynowania energii wyprodukowanej w inny sposób.

Elektrownie cieplne

Elektrownie cieplne dzielimy na konwencjonalne i jądrowe. W tych

elektrowniach paliwo jądrowe lub konwencjonalne jest źródłem energii cieplnej, która służy do odparowania wody i przegrzania pary wodnej. Para wodna

porusza turbinę, która z kolei napędza generator energii elektrycznej.

Elektrownie cieplne jądrowe

Elektrownie jądrowe wykorzystują energię pochodzącą z rozszczepienia jąder atomów (uranu naturalnego lub wzbogaconego w izotop U235) do

odparowania wody i przegrzania pary wodnej. Para wodna porusza turbinę, która z kolei napędza generator energii elektrycznej.

Konstrukcja generatora

W obwodach prądu sinusoidalnego wyróżniamy:

1. Moc czynna

P = UIcos ϕ [W], ϕ - różnica faz między U i I, 2. Moc bierna

Q = UIsin ϕ [war] lub [var] lub [VAR], 3. Moc zespolona

S = UI* = Scos ϕ W + jSsin ϕ war.

4. Moc pozorna

S = |S| = UI [VA],

5. Współczynnik mocy: cos ϕ (jest idealny gdy cos ϕ = 1)

U oraz I - wartości skuteczne! U oraz I - wartości skuteczne

zespolone! (VAR = Volt-Amps-Reactive)

Przypomnienie.

Co to jest Wartość skuteczna? (ang. RMS = root mean square).

„Wartość skuteczna to taka wartość stała, która może zapewnić taki skutek jak dana wartość zmienna.” Wartości skuteczne periodycznych napięć i prądów zdefiniowane są jako:

U_sk (danego U) to taka wartość, że napięcie stałe o tej wartości, w czasie T, n•T (T = okres przebiegu) lub w bardzo długim, w porównaniu do okresu, czasie zapewnia

identyczny skutek energetyczny jak samo U – czyli identyczną ilość energii w odbiorniku:

Σ_ΔTi ΔT_i [U(t_i)]²/R = T(U_sk)²/R . To samo dotyczy I_sk. I_sk oraz samo I skutkują tą samą ilością energii w czasie T, n•T lub bardzo długim okresie czasu.

Dla przebiegów sinusoidalnych: całka z [U_msin(ωt)]² po całym okresie T to połowa całki z [U_msin(ωt)]² + [U_mcos(ωt)]² = (U_m)²⋅1 zatem dla przebiegu sinusoidalnego wartość

skuteczna jest pierwiastek z 2 razy mniejsza od amplitudy. Wartości skuteczne używamy do obliczeń energii lub mocy. Mierniki napięć i prądów zwykle pokazują wartości

skuteczne.

Gdy obciążenia (odbiorniki mocy) źródeł napięcia sinusoidalnego mają częściowo charakter indukcyjny lub pojemnościowy to między napięciem i prądem może występować znaczna różnica faz. To przesunięcie fazowe decyduje o ilości przekazywanej mocy do obciążenia. Zwykły iloczyn chwilowych wartości napięcia i prądu nazywamy mocą chwilową p = ui =

U_mI_msin(ωt)sin(ωt - ϕ) = (1/2)U_mI_m[cos(ϕ) - cos(2ωt - ϕ)] = UI[cos(ϕ) - cos(2ωt - ϕ)]. Widać, że ze wzrostem przesunięcia fazowego między napięciem i

prądem maleje wartość przekazywanej mocy tak jak maleje cos(ϕ).

We wzorze na moc chwilową:

p = U

_sk

I

_sk

[cos( ϕ ^{) - cos(2} ω ^{t -} ϕ ^)]

mamy dwa składniki, z których pierwszy UIcos ϕ jest niezależny od czasu i równy wartości średniej.

Drugi składnik UIcos(2 ω ^{t -} ϕ ) z biegiem czasu oscyluje symetrycznie wokół zera.

Gdy cos( ϕ ) <1 średnia moc: p < UI, a chwilowa wartość mocy

bywa momentami ujemna czyli momentami moc wraca do źródła.

Moc chwilowa

p = U_sk I_sk [cos(ϕ^{) - cos(2}ω^{t -} ϕ^)]

Moc zespolona

S = UI* = Scosϕ W + jSsinϕ var.

Pierwszy składnik nazywamy mocą czynną: P = UIcos

ϕ

. Obok mocy czynnej definiujemy moc bierną jako Q = UIsin(

ϕ

^).

Geometryczna suma tych mocy S = [(UIcos

ϕ

^{)2 + (UIsin}

ϕ

^)2]0,5 = UI nazywana jest mocą pozorną:

S = (P

²

+Q

²

)

^0,5

, [S] = VA,

[P] = wat, [Q] = war lub VAR,

cos ϕ = P/S, sin ϕ = Q/S, tg ϕ = Q/P.

ϕ - różnica faz między napięciem i prądem!

Moc zespolona

S = UI* = Scos ϕ W + jSsin ϕ war.

S = (P

²

+Q

²

)

^0,5

, [S] = VA,

cos ϕ = P/S, sin ϕ = Q/S, tg ϕ = Q/P.

Prosty zapis (przypomnienie).

Po opanowaniu zapisu zespolonego w elektrotechnice dostrzegamy, że

podobnie jak wartości skuteczne (lub amplitudy) napięć i prądów różnica faz między napięciem i prądem jest istotną wielkością w analizie i obliczeniach elektrotechniki.

W elektrotechnice ważną wielkością jest też pulsacja ω, ale ta wielkość jest niezmienna i wynosi 2π50 rad/s i wszyscy o tym wiemy (w Ameryce ω ^{= 2}π60).

Te fakty doprowadziły do stosowania uproszczonego zapisu, w którym pomijamy pulsację (o której przecież wszyscy wiedzą):

Zamiast przykładowo: U = U

_max

e

^{j(ωt + π/4)}

piszemy po prostu: U = U

_skut.

∠π /4.

Wykonujemy działania:

np. ^U

_L

^{= IX}

_L

^{= (5} ∠ - π /4 A)(3 ∠π /2 Ω ) = 15 ∠π /4 V.

Moc zespoloną wyliczamy ze wzoru: S = UI* a nie S = UI.

Dlaczego?

Przykładowo jeżeli napięcie i prąd pozostające w zgodnej fazie zapiszemy w postaci: U = 50 ∠π /4, I = 2 ∠π /4 wtedy

wyrażenie S = UI* = 50 ∠π /4 × 2 ∠ - π /4 =

100 ∠ ( π /4- π /4) = 100 ∠ 0 = 100 W + j0 VAR jest poprawnym wynikiem bo φ = 0 i cosφ =1.

Natomiast stosując (S ≠ ) UI = 50 ∠π /4 × 2 ∠π /4 = 100 ∠π /2 = 0 W + j 100 VAR – wynik błędny.

Wyrażenie: S =UI daje poprawny wynik gdy albo U albo I wyrażone jest z fazą początkową „0” czyli albo U = U∠0 albo I = I∠0.

Zatem moc zespolona to iloczyn

skutecznego zespolonego napięcia i skutecznej zespolonej sprzężonej

wartości prądu

^{S = UI*}

. Część rzeczywista

mocy zespolonej to moc czynna P a część

urojona to moc bierna Q.

Impedancja: Z = Ue

^{j(ωt +α)}

/Ie

^{j(ωt +β)}

=  Z  e

^j(α-β)

=  Z  e

^jϕ

.

R =  Z  cos ϕ - rezystancja, X =  Z  sin ϕ - reaktancja.

Moc czynna: P = (½)U

_m

I

_m

cos ϕ = (½)(U

_m²

/  Z  )cos ϕ = (½)I

_m²

 Z  cos ϕ .

P = U

_sk

I

_sk

cos ϕ = UIcos ϕ = (U

²

/  Z  )cos ϕ = I

²

 Z  cos ϕ = I

²

R, (odnotujmy, że ϕ mieści się w przedziale -90° do +90° gdzie cos ϕ jest dodatnie co zgadza się z zawsze dodatnią wartością R)

Moc bierna: Q = U

_sk

I

_sk

sin ϕ = UIsin ϕ = (U

²

/  Z  )sin ϕ = I

²

 Z  sin ϕ = I

²

X,

(odnotujmy, że dla

ϕ ^z

przedziału -90° do +90° sinϕ zmienia znak co zgadza się ze zmianą znaku X przy zmianie przewagi X_L nad X_C, gdy X_L przeważa X i sinϕ są dodatnie a gdy przeważa X_C: X i sinϕ ^są

ujemne).

Moc zespolona: S = UI* = P + jQ = UIcos ϕ + jUIsin ϕ

= U(U/Z)* = UU*/Z* = U

²

/Z* = I

²

Z

²

/Z* = I

²

ZZ*/Z* = I

²

Z = I

²

R + jI

²

X,

Ponieważ Q - część reaktywna mocy jest związana z reaktywną częścią obciążenia jej znak zależy od znaku tej urojonej (reaktywnej) części obciążenia czyli od tego czy reaktancja obciążenia jest indukcyjna czy

pojemnościowa. To prowadzi do ważnego stwierdzenia:

Jeżeli obciążenie zawiera reaktancję indukcyjną, wtedy kąt między napięciem a prądem jest dodatni – prąd

opóźnia się względem napięcia. W związku z tym, gdy ϕ (i Q) są dodatnie mówi się, że „współczynnik mocy jest opóźniony” (w literaturze angielskiej: „lagging power

factor”). I przeciwnie, przy obciążeniu typu

pojemnościowego, Q i ϕ będą ujemne a współczynnik mocy nazwiemy wyprzedzającym (w literaturze

angielskiej: „leading power factor”), bo wtedy prąd w

obciążeniu będzie wyprzedzał napięcie.

Poprawianie cos ϕ

cos ϕ = współczynnik mocy = power factor = pf.

Z przykładu 4.1 widać, że eliminowanie reaktywnej część

impedancji zwiększa odsetek mocy dostarczonej do odbiornika.

Takie eliminowanie reaktywnej impedancji nazywa się korekcją (poprawianiem) współczynnika mocy - cos ϕ . Wartość cos ϕ , gdzie ϕ jest różnicą faz między napięciem i prądem w odbiorniku. Ten współczynnik mocy odgrywa istotną rolę w energetyce

zmiennoprądowej. Gdy cos ϕ = 1 źródło wymusza najmniejszą wartość prądu przy dostarczaniu określonej mocy P do odbiorcy.

Gdy obciążenie posiada reaktancję indukcyjną prąd opóźnia się za napięciem, gdy

natomiast obciążenie zawiera reaktancję pojemnościową prąd wyprzedza napięcie.

Przykład 4.3. Wyliczyć moc zespoloną w odbiorniku a następnie dokonać korekty współczynnika mocy do jedności. (Używamy wartości skutecznych).

Przykład 4.4. Czy można korygować powyższy układ przez szeregowe włączenie odpowiedniego kondensatora?

Odpowiedź uzyskamy z analizy prostego przykładu pokazanego na rysunku, gdzie obciążenie w postaci zespolonej Z = 50 + j86,7 Ω jest korygowane szeregowo włączonym kondensatorem o impedancji równej – j86,7 Ω.

Wnioski: Przy równoległym włączeniu korekty prąd z

elektrowni jest mniejszy i mniejsze straty na linii przesyłowej.

To jest najważniejszy argument za stosowaniem korekty równoległej z punktu widzenia elektrowni.

Przy szeregowej korekcie możemy przekroczyć dopuszczalne natężenie prądu uzwojeń odbiornika – argument ważny dla odbiorcy energii.

Dlaczego korekta równoległa daje mniejsze straty? Łopatologicznie wyjaśniając możemy powiedzieć, że przy równoległym połączeniu korekty powstaje lokalny układ L i C i prąd przeładowywania kondensatora przez indukcyjność

występuje tylko lokalnie, nie płynie przez linię przesyłową! Natomiast przy szeregowym połączeniu w obwód rezonujący jest szeregowo włączona linia przesyłowa!

Czy można korygować współczynnik mocy cos ϕ poprzez

monitorowanie natężenia prądu i jego minimalizację?

Deformacja krzywej napięcia

Sieć energetyczna jest obciążana rozmaitymi urządzeniami dużej mocy zawierających tyrystory lub inne elementy gwałtownie włączające i

wyłączające pobór mocy. Skutek działania takich obciążeń to deformacja napięcia sinusoidalnego.

Do określenia stopnia deformacji stosowany jest tzw. współczynnik odkształcenia napięcia THD

_U

(ang. total harmonic distorsion)

zdefiniowany jako:

U

₁

= wartość skuteczna napięcia pierwszej harmonicznej,

U

_i

= wartość skuteczna napięcia i-tej harmonicznej.

Wartość THD

_U

nie powinna przekraczać 5%.

Watomierze

dzielimy na: indukcyjne, elektrodynamiczne i

ferrodynamiczne. Watomierz elektrodynamiczny (najczęściej spotykany) służy do pomiaru pobieranej mocy w obwodach prądu stałego i zmiennego. Zawiera 4 zaciski, dwie cewki – nieruchomą prądową o znikomej impedancji i ruchomą napięciową o dużej impedancji. Cewka prądowa jest włączana szeregowo a napięciowa równolegle do obciążenia. Dzięki takiemu podłączeniu watomierz mierzy moc czynną P = Re(S) = Re(VI*).

Liczniki energii elektrycznej

– to mierniki całkujące pobieraną przez obciążenia moc. Stosowane są liczniki indukcyjne i elektroniczne. Są też liczniki energii biernej.

Licznik indukcyjny

jest maszyną indukcyjną w której aluminiowa tarcza porusza się pod wpływem wirowego pola magnetycznego generowanego przez dwie cewki. Jedna z cewek zawiera prąd proporcjonalny do napięcia na

obciążeniu a druga prąd proporcjonalny do prądu w obciążeniu. Powstający moment napędowy jest proporcjonalny do iloczynu chwilowych wartości

napięcia i prądu.

Moment ten jest równoważony przez moment hamujący proporcjonalny do

szybkości obrotów tarczy. Moment hamujący uzyskuje się dzięki umieszczeniu tarczy między biegunami magnesu trwałego.

Liczniki elektroniczne

zawierają specjalizowane układy scalone, które generują impulsy o częstotliwości proporcjonalnej do iloczynu prądu i napięcia w monitorowanym obwodzie elektrycznym. Ilość impulsów jest przeliczana i zamieniana na informacją o ilości pobranej energii.

E-E-M. lista 04

1. Po włączeniu pewnego odbiornika do sieci 220 V pojawił się prąd o wartości skutecznej 10 A z fazowym opóźnieniem π/3. Oblicz pobór mocy, wartość

współczynnika mocy i narysuj trójkąt mocy.

2. Oblicz wartość C taką aby współczynnik mocy (cosφ) wynosił 1. Wiadomo, że Us = 311 cos(314t) V,

Z₀ = 1 + j1 Ω, Z_G = 1 + j 0,1 Ω.

3. Dobierz wartość C w układzie z zadania 2 tak aby uzyskać minimalny prąd Is. Wiadomo, że teraz:

Us = 220 ∠0 V, Z = 7∠0,2 Ω.

4. Ile wyniesie minimalny prąd Is gdy w zadaniu 3

zastosujemy niewłaściwą korektę: zamiast równoległego włączenia kondensatora C włączymy go szeregowo?

5. Narysować sposób podłączenia watomierza do układu obok i obliczyć jego wskazania.

6. Jak podłączyć watomierz aby zmierzyć moc

wydzielaną w samym rezystorze 5 Ω z poprzedniego zadania, ile ta moc wynosi.

Odpowiedź do 2.

Oblicz wartość C taką aby współczynnik mocy (cosφ) wynosił 1. Wiadomo, że Us = 311 cos(314t) V,

Z = R + jX = 1 + j1 Ω, Z_G = R_G + jX_G = 1 + j 0,1 Ω.

Rozw. Poprawiamy cosϕ do wartości cosϕ = 1 w sytuacji gdy linia przesyłowa

wykazuje pewną indukcyjność. Jednak gdy zapiszemy impedancję linii w postaci wykładniczej:

Z_G = (1,01)^0,5e^j5,7°= 1,005e^j5,7° widzimy, że przesunięcie fazowe między prądem a spadkiem napięcia na tej linii jest znikome i wynosi tylko: arctg(X/R) = arct0,1 = 5,7°,

a cos5,7°= 0,995 ≅ 1.

Zatem pominiemy ten efekt przy rozwiązywaniu zadania. (dodajmy, że typowe wartości stosunku X/R dla linii energetycznych są mniejsze od 0,1.

Ponadto odbiorca energii powinien zadbać tylko aby jego urządzenie było poprawnie

skompensowany i wykazywało cosϕ = 1 lokalnie, czyli zgodność fazy prądu i spadku napięcia na jego zaciskach. Zatem spadek napięcia U_o będzie częścią U_s i może mieć nieco inna fazę niż U_S.

Wyrażenia na moc zespoloną odbiornika przed korektą (bez pojemności C) ma postać:

S = P +jQ = U₀I^*= U₀(U₀/Z)^* = U₀²/Z^* = U₀²/(1 - j) = U₀²(1 + j)/2

Aby skompensować współczynnik mocy dołączamy pojemność C taką aby:

Q_C = -Q = -U₀²/2 , wiemy że Q_C = U₀²/(X_C) -> X_C = U₀²/Q_C = U₀²/(-U₀²/2) = -2 (czyli –j2 Ω), X_C = -1/ωC -> C = -1/ωX_C = -1/(-314·2) = C = = 0,0016F

Ilustracja graficzna dla C = 0,0016 F Us = 311 cos(314t) V,

Z

₀

= R + jX = 1 + j1 Ω = 1,41 ∠ 45 ° ,

Z

_G

= R

_G

+ jX

_G

= 1 + j 0,1 Ω . Z

_C

= -j1/(314·0,0016) = -j2 Ω

Z

_w1

= Z

_C1

·Z

₀

/(Z

_C1

+ Z) = -j2 Ω · (1 + j1)/(-j2 + 1 + j) = (2 -j2)/(1-j)

= (2 -j2)(1+j)/(1+1) = (2 + 2 – j2 + j2)/2 = 4/2 = 2 Ω = 2e

^j0°

Ω , Z

_G

= (1,01)

^0,5

e

^j5,7°

= 1,005e

^j5,7

I = I

_ZG

= U/(Z

_w1

+ Z

_G

) = (311 ∠ 0)/(2 + 1 +j0,1) = (311 ∠ 0)/(3+j0,1) ≅ (311 ∠ 0)/(3,001 ∠ 1,9 ° ) ≅ 104 ∠ -1,9 ° A

U

₀

= IZ

_w1

≅ 104 ∠ -1,9 ° V· 2 ∠ 0 ° Ω ≅ 208 ∠ -1,9 °

U

_G

= IZ

_G

≅ 104 ∠ -1,9 ° V·1,005 ∠ 5,7 ° Ω ≅ 104 ∠ 3,8 ° Widać że: U

_S

= U

_G

+ U

₀

I₀ = U₀/Z₀ = (208∠-1,9° V)/(1,41∠45°) = 148∠-46,9° A I_C = U₀/Z_C = (208∠-1,9° V)/(2∠-90°) = 104∠88,1° A