Imi¦ i nazwisko:
1 2 3 4 P
Analiza matematyczna 1 Kolokwium 2
Wrocªaw, 29 stycznia 2009
1. Student wªa±nie sko«czyª pisa¢ kolokwium z algebry i za 24 godziny ma kolokwium z analizy. Jedzenie, picie, mycie si¦, rozmowa z rodzicami itp. zajmuj¡ studentowi 4 godziny dziennie, zatem zostaªo mu 20 godzin na spanie i nauk¦. Niech t oznacza czas po±wi¦cony na nauk¦, wyra»ony w godzinach; mamy wi¦c 0 ≤ t ≤ 20. Wynik studenta na kolokwium z analizy, wyra»ony w punktach, mo»na przybli»y¢ wzorem
f (t) = t32 log320 t .
Ile czasu powinien student po±wi¦ci¢ na nauk¦, »eby uzyska¢ najlepszy mo»liwy wynik? Ile punktów uzyska wtedy na kolokwium?
Prawidªowe wyniki to t = 20e−23 ≈ 10h 16 min, f(t) ≈ 20 p.
Wskazówka: log3x =ln xln 3.
2. Korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala, oblicz granic¦
x→0lim(cos x)x21 .
3. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci, oblicz caªk¦ nieoznaczon¡
Z ln x x2 dx.
4. Oblicz caªk¦ nieoznaczon¡
Z 1 − cos x
(1 + cos2x) sin xdx.
Mateusz Kwa±nicki
