Analiza Matematyczna Kolokwium 1 Zestaw D Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć lim

(1)

Analiza Matematyczna Kolokwium 1 Zestaw D

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim p

3

4 − 8 √ n p 5 + 7 √

³

n

Rozwi¸ azanie

n→∞ lim p

3

4 − 8 √ n p 5 + 7 √

³

n = lim

n→∞

p

6

4 − 8 √

⁶

n ³ p 5 + 7 √

⁶

n ²

= lim

n→∞

√

6

n

√

6

n

3

q 4/ √

⁶

n ³ − 8 q

5/ √

⁶

n ² + 7

=

√

3

√ −8

7 = −2 √ 7 7

Zadanie 2

Prosz¸e znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji h(x) = 2x ² − 5

x − 2 Rozwi¸ azanie

Asymptot¸ a ukośn¸ a (pochył¸ a) funkcji f : (c, +∞) → R przy x → ∞ nazywamy tak¸ a prost¸ a o równaniu y = ax + b, dla której lim _x→∞ [f (x) − (ax + b)] = 0.

Z równości tej wynika że 0 = lim _x→∞ f (x)−(ax+b)

x = lim _x→∞ h _{f (x)}

x − a i

. Wobec czego a = lim _x→∞ ^{f (x)} _x = ^2x _x

2

−2x

²

⁻⁵ = 2

b = lim _x→∞ (f (x) − ax) = lim _x→∞ h

2x

²

−5

x−2 − 2x i

= lim _x→∞ ^4x−5 _x−2 = 4

Prosta o równaniu y = 2x + 4 jest asymptot¸ a ukośn¸ a wykresu funkcji f w +∞. Analo- gicznie stwierdzamy, że ta sama prosta jest asymptot¸ a wykresu funkcji w −∞ .

Ponadto lim _x→−2

⁻

^2x _x−2

²

⁻⁵ = +∞, lim _x→−2

⁺

^2x _x−2

²

⁻⁵ = −∞ Wykres funkcji f posiada asymp- tot¸e pionow¸ a a obustronn¸ a o równaniu x = 2.

Zadanie 3

Prosz¸e wyprowadzić z definicji pochodnej funkcji w punkcie - wzór na pochodn¸ a funkcji f (x) = 3 sin 2x

1

(2)

w punkcie x ∈ R.

Prosz¸e wykorzystać wzór na różnic¸e funkcji sinus.

Rozwi¸ azanie

f ⁰ (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

3 sin 2(x + h) − 3 sin 2x

h =

= lim

h→0

3 · 2 sin

2(x+h)−2x 2

cos

2(x+h)+2x 2

h = lim

h→0

6 sin h cos(2x + h)

h = 6·1 cos 2x = 6 cos 2x

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = x ²

x ² + 1

Rozwi¸ azanie

Obliczamy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego i pochodn¸ a rz¸edu drugiego funkcji w punkcie x f ⁰ (x) = 1 − _x

2

¹ +1

⁰

= _(x

2

^2x +1)

²

f ⁰⁰ (x) ^2(x

²

⁺¹⁾

²

_(x ^−2x·2(x

2

+1)

⁴ ²

^+1)2x = ^2(x

²

_(x ^+1)(1−3x

2

+1)

⁴ ²

Analiza Matematyczna Kolokwium 1 Zestaw D Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć lim

Analiza Matematyczna Kolokwium 1 Zestaw D

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim p

4 − 8 √ n p 5 + 7 √

n

Rozwi¸ azanie

n→∞ lim p

4 − 8 √ n p 5 + 7 √

n = lim

n→∞

p

4 − 8 √

n 3 p 5 + 7 √

n 2

= lim

n→∞

√

n

√

n

q 4/ √

n 3 − 8 q

5/ √

n 2 + 7

=

√

√ −8

7 = −2 √ 7 7

Zadanie 2

Prosz¸e znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji h(x) = 2x 2 − 5

x − 2 Rozwi¸ azanie

Asymptot¸ a ukośn¸ a (pochył¸ a) funkcji f : (c, +∞) → R przy x → ∞ nazywamy tak¸ a prost¸ a o równaniu y = ax + b, dla której lim x→∞ [f (x) − (ax + b)] = 0.

Z równości tej wynika że 0 = lim x→∞ f (x)−(ax+b)

x = lim x→∞ h f (x)

x − a i

. Wobec czego a = lim x→∞ f (x) x = 2x x

−2x

−5 = 2

b = lim x→∞ (f (x) − ax) = lim x→∞ h

2x

−5

x−2 − 2x i

= lim x→∞ 4x−5 x−2 = 4

Prosta o równaniu y = 2x + 4 jest asymptot¸ a ukośn¸ a wykresu funkcji f w +∞. Analo- gicznie stwierdzamy, że ta sama prosta jest asymptot¸ a wykresu funkcji w −∞ .

Ponadto lim x→−2

2x x−2

−5 = +∞, lim x→−2

2x x−2

−5 = −∞ Wykres funkcji f posiada asymp- tot¸e pionow¸ a a obustronn¸ a o równaniu x = 2.

Zadanie 3

Prosz¸e wyprowadzić z definicji pochodnej funkcji w punkcie - wzór na pochodn¸ a funkcji f (x) = 3 sin 2x

1

w punkcie x ∈ R.

Prosz¸e wykorzystać wzór na różnic¸e funkcji sinus.

Rozwi¸ azanie

f 0 (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

3 sin 2(x + h) − 3 sin 2x

h =

= lim

h→0

3 · 2 sin 

2(x+h)−2x 2

 cos 

2(x+h)+2x 2



h = lim

h→0

6 sin h cos(2x + h)

h = 6·1 cos 2x = 6 cos 2x

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = x 2

x 2 + 1

Rozwi¸ azanie

Obliczamy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego i pochodn¸ a rz¸edu drugiego funkcji w punkcie x f 0 (x) = 1 − x

1 +1

n ³ p 5 + 7 √

n ²

n ³ − 8 q

n ² + 7

Prosz¸e znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji h(x) = 2x ² − 5

Asymptot¸ a ukośn¸ a (pochył¸ a) funkcji f : (c, +∞) → R przy x → ∞ nazywamy tak¸ a prost¸ a o równaniu y = ax + b, dla której lim _x→∞ [f (x) − (ax + b)] = 0.

Z równości tej wynika że 0 = lim _x→∞ f (x)−(ax+b)

x = lim _x→∞ h _{f (x)}

. Wobec czego a = lim _x→∞ ^{f (x)} _x = ^2x _x

⁻⁵ = 2

b = lim _x→∞ (f (x) − ax) = lim _x→∞ h

= lim _x→∞ ^4x−5 _x−2 = 4

Ponadto lim _x→−2

^2x _x−2

⁻⁵ = +∞, lim _x→−2

^2x _x−2

⁻⁵ = −∞ Wykres funkcji f posiada asymp- tot¸e pionow¸ a a obustronn¸ a o równaniu x = 2.

f ⁰ (x) = lim

3 · 2 sin

cos

Prosz¸e znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegi¸ecia wykresu funkcji f (x) = x ²

x ² + 1

Obliczamy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego i pochodn¸ a rz¸edu drugiego funkcji w punkcie x f ⁰ (x) = 1 − _x

¹ +1

= _(x

^2x +1)

f ⁰⁰ (x) ^2(x

⁺¹⁾

_(x ^−2x·2(x

^+1)2x = ^2(x

_(x ^+1)(1−3x

⁾

Wykres funkcji f jest wkl¸esły, gdy f ⁰⁰ (x) < 0 dla x ∈ (−∞, −1/ √

3, ∞). Wykres funkcji f jest wypukły, gdy f ⁰⁰ (x) > 0 dla x ∈ (−1/ √