Imi¦ i nazwisko:
1 2 3 4 5 P
Analiza matematyczna 1 Kolokwium 2.
Wrocªaw, 22 grudnia 2009
1. Niech f(x) = exx−1.
(a) Wyznacz pochodn¡ funkcji f.
(b) Udowodnij, »e granic¡ f0 w punkcie 0 jest liczba 12. 2. Niech f(x) = ln(12 + x2)
1
2 + x2 . (a) Wyznacz f0(x).
(b) Udowodnij, »e warto±ci¡ najmniejsz¡ funkcji f jest liczba (−2 ln 2), a warto±ci¡
najwi¦ksz¡ liczba 1e. 3. Oblicz caªk¦ nieoznaczon¡ Z
√ 1
x + 1 + x + 1dx. 4. Oblicz caªk¦ nieoznaczon¡ Z x
(cos x)2 dx.
5. Udowodnij, »e wielomian x5− 5x3+ 6 ma pierwiastek w przedziale (1, 2).
Podpowiedzi:
• ff (x)0(x) caªkuje si¦ przez podstawienie y = f(x)
• liczenie granic uªatwia reguªa de l'Hospitala
• funkcja ci¡gªa ma wªasno±¢ Darboux
• (tg x)0= 1
(cos x)2
• (ln x)0=1x
Mateusz Kwa±nicki
