1 grudnia 2015 Analiza matematyczna II-kolokwium II Denicja 1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 1 grudnia 2015

Analiza matematyczna II-kolokwium II

Denicja 1. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R oraz V^k oznacza k-krotny produkt kartezja«ski przestrzeni V. Przeksztaªcenie f : V^k → W nazywamy k-liniowym (form¡ k-liniow¡), je»eli jest ono liniowe ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienna z osobna, tzn. dla dowolnych j = 1, 2, . . . , k dowolnych wektorów v1, . . . vj, v_j⁰, . . . vk ∈ V oraz skalarów r, s ∈ R zachodzi:

f (v1, . . . , rvjs + v_j⁰, . . . , vk) = rf (v1, . . . , vj, . . . , vk) + sf (v1, . . . , v⁰_j, . . . , vk)

Denicja 2. k-tensorem na przestrzeni liniowej V nazywamy ka»e przeksztaªcenie k-liniowe f : V^k → R. Zbiór wszystkich k-tensorów na przestrzeni linowej V oznaczamy przez T^k(V ).

Denicja 3. Przestrze« V^∗= T¹(V )nazywamy przestrzeni¡ dualn¡ (sprz¦»on¡) do V.

Denicja 4. Iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych V1, V2 nazywamy przestrze« wektorow¡ E wraz z dwuliniowym odwzorowaniem φ : V1 × V2 → E takim, »e dla ka»dej przestrzeni wektorowej F i dla ka»dego odwzorowania dwuliniowego ψ : V1× V2→ F istnieje jednoznaczne odwzorowanie f : E → F takie, »e:

f ◦ φ = ψ.

Denicja 5. Dla tensorów f ∈ T^k(V ), g ∈ T^l(V )deniujemy iloczyn tensorowy ⊗ : T^k(V ) × T^l(V ) → T^k+l(V )za pomoc¡ wzoru:

(f ⊗ g)(v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+l) = f (v1, . . . , vk)g(vk+1, . . . , vk+l).

Niech ukªad wektorów {e1, . . . , en} b¦dzie baz¡ przestrzeni V, a {e^∗1, . . . e^∗₂ b¦dzie baz¡ do niej dualn¡ tzn.

e^∗_i(ej) = δij=

(1 dla i = j, 0 dla i 6= j.

Wówczas

a) e^∗i1⊗ . . . ⊗ e^∗_ik
(ej1, . . . , ej_k) = δi1j1· . . . · δi_kj_k

b) dla dowolnego wektora x = Pⁿ

j=1

xⁱei,mamy e^∗i(x) = xⁱ

c) dla dowolnych wektorów x1=

n

P

j=1

xⁱ₁ei, . . . , xk=

n

P

j=1

xⁱ_kei mamy e^∗i1⊗ . . . ⊗ e^∗_i

k
(v1, . . . , vk) = xⁱ₁¹· . . . · xⁱ_k^k Twierdzenie 1. Niech {e1, . . . , e_n} jest baz¡ przestrzeni V. Wówczas ukªad {e^∗i₁, . . . , e^∗_i

k} jest baz¡ przestrzeni T^k(V ),gdzie (i1, i2, . . . , ik= 1, 2, . . . , n).Ponadto dimT^k(V ) = n^k.

Denicja 6. Tensor ω ∈ T^k(V )nazywamy antysymetrycznym (sko±nie symetrycznym) je»eli

∀_σ∈Sk∀_{v1,...,vk∈V} ω(v₁, . . . , v_k) = sgn σ ω(v_σ(1), . . . , v_σ(k)), gdzie Sn oznacza zbór wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.

Zbiór wszystkich k-liniowych tensorów antysymetrycznych okre±lonych na przestrzeni V oznaczamy poprzez Λ^k(V ).

Z dowolnego k-tensora mo»na otrzyma¢ k-tensor antysymetryczny poprzez operacj¦ alternacji.

Denicja 7. Niech ω ∈ T^k(V ).Operacj¦ alternacji (Alt) deniujemy wzorem Alt(ω)(v1, . . . , vk) := 1

k!

X

σ∈S_k

sgn σω(v_σ(1), . . . , v_σ(k))

Iloczyn tensorowy tensorów antysymetrycznych zazwyczaj nie jest tensorem antysymetrycznym. Uzyskamy to poprzez operacj¦ iloczynu zewn¦trznego.

Denicja 8. Niech ω ∈ Λ^k(V ) oraz η ∈ Λ^l(V ). Iloczyn zewn¦trzny tensorów antysymetrycznych ∧ : Λ^k(V ) × Λ^l(V ) → Λ^k+l(V )deniujemy wzorem:

ω^k∧ η^l= (k + l)!

k! · l! Alt(ω^k⊗ η^l).

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 1 grudnia 2015

Denicja 9. Niech φ : V1 → V2, gdzie V1, V2 s¡ przestrzeniami liniowymi sko«czonego wymiaru. Okre±lamy operacj¦ cofania tensorów φ^∗: T^k(V2) → T^k(V1)dan¡ wzorem:

φ^∗ ω)(v1, . . . , vk) := ω(φ(v1), . . . , φ(vk)
, gdzie ω ∈ T^k(V2)oraz v1, . . . vk ∈ V1.

Wªasno±ci cofania:

1) φ^∗ jest liniowe,

2) niech φ : V1→ V₂ oraz ψ : V2→ V₃,wówczas (ψ ◦ φ)^∗= φ^∗◦ ψ^∗, 3) je»eli φ = idV, to φ^∗= id_Tk(V ),

4) φ^∗(ω ⊗ η) = φ^∗(ω) ⊗ φ^∗(η), 5) φ^∗◦ Alt = Alt ◦φ^∗,

6) niech φ : V1→ V₂ oraz ω ∈ Λ^k(V₂),to φ^∗(ω) ∈ Λ^k(V₁), 7) φ(ω ∧ η) = φ^∗(ω) ∧ φ^∗(η).

Fakt 2. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad R wymiaru sko«czonego z baz¡ {e1, . . . , en}. Wówczas zbiór wszystkich iloczynów zewn¦trznych postaci:

e^∗_i1∧ . . . ∧ e^∗_i1, gdzie 1 ≤ i1< i2< . . . < ik≤ n stanowi baz¦ przestrzeni Λ^k(V ),a jej wymiar wynosi ⁿ_k
.

Denicja 10. Niech M ⊂ Rⁿ (otwarty) oraz niech Λ^k(M )b¦dzie zbiorem wektorów antysymetrycznych na prze- strzeni stycznej TxM. k-form¡ ró»niczkow¡ na M nazywamy odwzorowanie ω : M → Λ^k(M )takie, »e

ω(x) ∈ Λ^k(TxM ), ∀x∈M. Zbiór k-form ró»niczkowych na M oznaczamy przez F^k(M ).

Zatem ω jest form¡ ró»niczkow¡ stopnia k je»eli w ka»dym punkcie M jest k-liniow¡ form¡ antysymetryczn¡.

Niech wektory e1(x), . . . , en(x)tworz¡ baz¦ przestrzeni TxM b¦d¡c¡ wektorami jednostkowymi o kierunkach osi wspóªrz¦dnych (czyli przesuni¦cie bazy standardowej e1, . . . , en do punktu x). Wówczas wprowadzaj¡c oznaczenie e^∗_i(x) := dxioraz korzystaj¡c z faktu, »e zbiór wszystkich iloczynów zewn¦trznych postaci: e^∗i1∧. . .∧e^∗_i1, gdzie 1 ≤ i₁< i₂< . . . < i_k≤ nstanow¡ baz¦ przestrzeni Λ^k(V )mamy, »e iloczyny zewn¦trzne postaci

dxⁱ¹∧ . . . ∧ dx^ik, gdzie 1 ≤ i1< i2< . . . < ik≤ n stanowi¡ baz¦ przestrzeni k-form ró»niczkowych F^k(M ).Zatem

ω(x) = X

1≤i₁<i₂<...<i_k≤n

ωi₁...i_k(x) dxⁱ¹∧ . . . ∧ dx^ik, (1) gdzie ωi1...ik(x) = ω e_i1(x), . . . , e_ik(x)
.

Twierdzenie 3.

e^∗_i1∧ . . . ∧ e^∗_ik(v1, . . . , vk) =         

e^∗_i1(v1) e^∗_i2(v1) . . . e^∗_i

k(v1) e^∗_i1(v2) e^∗_i2(v2) . . . e^∗_i

k(v2) ... ... . . . ...

e^∗_i1(vk) e^∗_i2(vk) . . . e^∗_ik(vk)          Denicja 11. (ró»niczka zewn¦trzna)

Je»eli f ∈ F⁰(M )b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡, wówczas ró»niczk¡ zewn¦trzn¡ f nazywamy ró»niczk¦ df :

df =

n

X

i=1

∂f

∂xⁱdxⁱ.

Je»eli ω ∈ F^k(M ), gdzie k ≥ 1 jest postaci (1) oraz wspóªczynniki ωi₁...i_k(x) s¡ ró»niczkowalne, to jej ró»niczka zewn¦trzn¡ jest (k + 1)-form¡ postaci:

dω(x) = X

1≤i1<i2<...<ik≤n n

X

j=1

∂ω_i1...ik(x)

∂x^j dx^j∧ dxⁱ¹∧ . . . ∧ dx^ik.

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 1 grudnia 2015

Denicja 12. Niech M ⊂ Rⁿ.Form¦ ró»niczkow¡ ω ∈ F^k(M )nazywamy zamkni¦t¡ (kocyklem) wtw. gdy dω = 0.

Denicja 13. Form¦ ró»niczkow¡ ω ∈ F^k(M )nazywamy dokªadn¡ (kobrzegiem) wtw. gdy istnieje η ∈ F^k−1taka,

»e ω = dη.

Twierdzenie 4. (wªasno±ci ró»niczki zewn¦trznej) Zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci form ró»niczkowych:

a) je»eli ω, η ∈ F^k(M ),to d(ω + η) = dω + dη;

b) d(dw) = 0

c) je»eli ω ∈ F^k(M ), η ∈ F^l(M ),to d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^kω ∧ dη Denicja 14. (cofanie form ró»niczkowych)

Niech f : M1 → M₂ b¦dzie odwzorowaniem gªadkim obszaru M1 ⊂ Rⁿ¹ w obszar M2 ⊂ Rⁿ². Ponadto niech f⁰(x) : TxM1→ T_{f (x)}M2 b¦dzie odpowiadaj¡cym mu przeksztaªceniem stycznym w punkcie x :

f⁰(x)(h¹, . . . , hⁿ¹) =









∂f¹(x)

∂x¹ h¹ · · · ^∂f_∂x¹_n1^(x)hⁿ¹

... ... ...

∂fⁿ²(x)

∂x¹ h¹ · · · ^∂f_∂xⁿ²_n1^(x)hⁿ¹







 oraz ω ∈ F^k(M2).

Okre±lamy dla formy ró»niczkowej ω k-form¦ ró»niczkow¡ f^∗ω : F^k(M2) → F^k(M1),która w punkcie x ∈ M1

na ukªadzie k wektorów stycznych do M1 (u1, . . . , uk ∈ TxM1)wyra»a si¦ wzorem f^∗ω(x) u₁, . . . , u_k
= ω(f (x)) f⁰(x)u₁, . . . , f⁰(x)u_k
.

Twierdzenie 5. Niech f : M1→ M2 b¦dzie odwzorowaniem gªadkim obszaru M1 ⊂ Rⁿ¹ w obszar M2⊂ Rⁿ² oraz ω ∈ F^k(M₂). Wówczas

f^∗ω(x) = X

1≤i1<i2<...<ik≤n1 1≤j1<j2<...<jk≤n2

ωi₁...i_k f (x)
∂ (f

j₁, . . . , f^jk)

∂(x¹, . . . , x^ik)(x) dxⁱ¹∧ . . . ∧ dx^ik,

Fakt 6. (wªasno±ci cofania form ró»niczkowych)

Niech f : M1 → M₂ b¦dzie odwzorowaniem gªadkim obszaru M1 ⊂ Rⁿ¹ w obszar M2 ⊂ Rⁿ², niech ω, η ∈ F(M2), niech g b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na M2 oraz λ ∈ R. Wówczas

a) f^∗(ω + η) = f^∗(ω) + f^∗(η);

b) f^∗(λω) = λf^∗(ω);

c) f^∗(g · ω) = (g ◦ f )f^∗(ω);

d) f^∗(ω ∧ η) = f^∗(ω) ∧ f^∗(η);

e) je»eli f1: M1→ M2 oraz f2: M2→ M3, to (f2◦ f1)^∗= f₁^∗◦ f₂^∗; f) f^∗(dω) = d(f^∗ω).

3