MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ... ... Nr indeksu ...
1. (1+1) Pomiędzy 6 dzieci rozdano 30 jednakowych cukierków. Na ile sposobów można to zrobić, jeżeli:
a) dopuszczamy, że niektóre z dzieci nic nie dostały;
b) żądamy, aby każde dziecko dostało przynajmniej dwa cukierki.
2. (3p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an, którego funkcją tworząca jest f (x) = (x + 1)e2x.
3. (2p). Zachodzi tożsamość
m 0
k k
+
m 1
k k − 1
+
m 2
k k − 2
+...+
m k
k 0
=
m + k k
. Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby od-
powiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
4. (2p.) Czy prawdą jest, że n! = O(2n)?. Odpowiedź dokładnie uzasad- nij, obliczając odpowiednią granicę!
5. (1p.+1p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = 7an+1 − 12an; b) an+3 = 3an+2− 3an+1 + an.
Wsk.do b) : Równanie charakterystyczne ma pierwiastek potrójny.
6. (2p.) Na ile sposobów można pokolorować ściany ośmiościanu, używa- jąc wszystkich 4 danych kolorów?
7. (1+1) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 2n: b) bn = 2n + 5.
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 9 pól kwa- dratu 3 × 3 przy użyciu 2 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy za
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1 GRUPA B RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ... ... Nr indeksu ...
1. (1p.+1p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = 5an+1 − 6an; b) an+3 = 6an+2 − 12an+1 + 8an. Wsk. do b) Równanie ma pierwiastek potrójny.
2. (1+1) Pomiędzy 7 dzieci rozdano 35 jednakowych cukierków. Na ile sposobów można to zrobić, jeżeli:
a) dopuszczamy, że niektóre z dzieci nic nie dostały;
b) żądamy, aby każde dziecko dostało przynajmniej trzy cukierki.
3. (1p+1p.) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 3n: b) bn = 3n− 5.
4. (2p). Zachodzi tożsamość 1
n 1
+ 2
n 2
+ 3
n 3
+ ... + n
n n
= n2n−1.
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby od- powiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
5. (2p.) Czy prawdą jest, że: n2 = Ω(n ln n)? Odpowiedź dokładnie uza- sadnij, obliczając odpowiednią granicę!
6. (2p.) Na ile sposobów można włożyć 5 listów do 5 kopert (po jednym do koperty) tak, aby żaden list nie trafił do właściwej koperty?
7. (3p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an, którego funkcją tworzącą jest f (x) = (x + 2)e−x.
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 12 pól prostokąta 4×3 przy użyciu 3 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne, gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego przez obrót o 180◦ lub symetrię?
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1 GRUPA C
RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ... ... Nr indeksu ...
1. (1p.+1p.) Ile rozwiązań ma równanie x1+ x2+ ... + x9 = 27 w liczbach całkowitych: a) nieujemnych; b) dodatnich?
2. (2p.) Czy prawdą jest, że n3 = Θ(n3)? Odpowiedź dokładnie uzasad- nij, obliczając odpowiednią granicę!
3. (2p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an, którego funkcją tworzącą jest f (x) = 2−xx .
4. (2p). Zachodzi tożsamość
m 0
k k
+
m 1
k k − 1
+
m 2
k k − 2
+...+
m k
k 0
=
m + k k
.
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby od- powiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
5. (1+1) Ile spośród funkcji f : {1, 2, 3, 4} −→ {1, 2, ..., 8} jest: a) rosną- cych: b) niemalejących?
6. (1p.+2p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = −4an+1+ 5an; b) bn+2 = −2bn+1 − 2bn.
7. (1p+1p.) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 3n: b) bn = 3n+ 5n
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 8 pól koła przy użyciu 2 kolorów, jeśli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne, gdy jedno z nich można otrzymać z drugiego przez obrót?
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 1 GRUPA D RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE!
KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT!
Imię i nazwisko ... ... Nr indeksu ...
1. (1p+1p.) Znajdź funkcję tworzącą dla ciągu an = 3n: b) bn = 3n− 2n
2. (2p). Zachodzi tożsamość 1
n 1
+ 2
n 2
+ 3
n 3
+ ... + n
n n
= n2n−1.
Powyższą tożsamość można wykazać, rozwiązując na dwa sposoby od- powiednie zadanie. Sformułuj to zadanie i wykaż tożsamość.
3. (1+1) Ile spośród funkcji f : {1, 2, 3, ..., 8} −→ {1, 2, 3, 4} jest: a) nierosnących: b) ”na”?
4. (1+1) Ile rozwiązań ma równanie x1 + x2 + ... + x8 = 25 w liczbach
całkowitych: a) nieujemnych; b) dodatnich?
5. (1p.+2p.) Znajdź rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego:
a) an+2 = 2an+1 + 8an; b) bn+2 = 2bn+1− 2bn.
6. (2p.) Znajdź wyraz ogólny ciągu an, którego funkcją tworząca jest f (x) = 1−xx32.
7. (2p.) Czy prawdą jest, że n = O(ln2n)? Odpowiedź dokładnie uza- sadnij, obliczając odpowiednią granicę.
8. (2p.) Na ile istotnie różnych sposobów można pokolorować 6 pół koła
